C u r s o : Matemática

Material N° 08

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

CONCEPTOS

ECUACIÓN es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementosdesconocidos llamados incógnitas.

RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación es (son) el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) quesatisface(n) la igualdad.

CONJUNTO SOLUCIÓN es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de laecuación.

RESOLVER UNA ECUACIÓN es encontrar el (los) valor(es) que reemplazados en laecuación en lugar de la incógnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debedespejar o aislar la incógnita.

ECUACIONES EQUIVALENTES son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, se muestra una balanza en perfecto equilibrio. ¿Cuál es la ecuación querepresenta la situación ilustrada?

A) 12x = 18B) 12 – x = 18C) 12 + x = 18D) x + 18 = 12E) -18 – x = 12

2. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) solución igual a 2?

I) x – 2 = 4II) 2x + 1 = 5

III) 3 – x = 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

fig. 1

12 kg 18 kg

2

3. La raíz o solución de la ecuación 6(2x + 4) = 24 es

A) -4B) 0C) 3D) 4E) 36

4. Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a

A) -20B) -12C) -4D) 12E) 20

5. La fórmula de Einstein E = m · c2 relaciona energía (E) y masa (m) de un objeto, dondec es la velocidad de la luz. Entonces, la ecuación que determina la masa m es

A) m = E · c2

B) m = E · c

C) m =2

E

c

D) m =Ec

E) m =2cE

6. En la ecuación 3x + 6k – 9 = 0, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución seax = -1?

A) -4B) -2C) 1D) 2E) 4

7. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación 2x = 4,6?

A) 6,4x102

B) 46x2 C) 0,2x = 46

D)1046

x2

E) x = 23

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ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnitaes 1. Siendo esta una ecuación con exponentes cardinales. Toda ecuación de primer gradoen una variable puede expresarse en la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y x la incógnita que hay que determinar.

ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES

Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan cantidadesconocidas.

EJEMPLOS

1. Encuentre el valor de x en la ecuación 4x – 12 = 0

A) 0B) 3C) 4D) 6E) 12

2. Encuentre el valor de x en la ecuación ax + 2 = a, con a 0

A) -2B) 2

C) 1 –2a

D) 1 +2a

E)1a

3. Si bx – 5 = -bx, con b 0, entonces el valor de x es

A) -5B) 0C) 5

D) - 52b

E) 52b

4

4. Si ax – 2 = bx – 4, entonces el inverso aditivo de x es

A) 2a b

B) -2a b

C) 6a b

D) -6a b

E) a b2

5. Si 6(x – 6) = m(x – m) y m = -1, entonces x es igual a

A) -5B) -1

C)57

D) 1E) 5

6. Si a = 2 en la ecuación a2 · x – 2 = a – 4x, entonces el recíproco de x es

A) -2

B) -12

C)12

D) 2E) indeterminado.

7. En la ecuación mx + 9 = m2 – 3x, el valor de x es

A) m – 3B) m + 3C) -3D) 3E) -3 y 3

8. Si a(x – b) = x + b, entonces x =

A)2ba

B) a + b

C)b a

a

D)b(a + 1)

a 1

E)b(a 1)

a + 1

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ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores.Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de losdenominadores que aparecen.

Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis. Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad. Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro. Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida. Comprobar el resultado con la ecuación dada.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación x + 23

= -1?

A) -9B) -5C) -1

D)13

E) 1

2. Six3

– 2x = 5, entonces x – 1 es igual a

A) -16B) -4C) -3D) -2E) 2

3. En la ecuación 3 –x2

– 1 –x3

= 7 – x +x2

, el valor de x es

A) -36B) -30C) -15D) -12,5

E) -317

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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Sepueden dar tres casos:

Caso 1: Si a 0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA.

Caso 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES.

Caso 3: Si a = 0 y b 0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La ecuación,2x + 1 = 3x + 2 , tiene solución única.II) La ecuación, 4x + 5= +x + 2 3x + 2 no tiene solución.

III) La ecuación, 2x + 2 = 2 x + 1 tiene infinitas soluciones.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro m para que la ecuación mx + m = 2x + 2, tengainfinitas soluciones?

A) m = -2B) m = 2C) m -2D) m 2E) m = 2 ó m = -2

3. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación px – 1 = 4x + p no tengasolución?

A) p = -4B) P = -1C) p -1D) p = 4E) p 4

4. ¿Qué valor(es) debe tener p para que la ecuación en x,72

x – px = 3 -x2

tenga siempre

solución negativa?

A) p < -4B) p > 4C) p 4D) p < 4E) p = 4

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ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO

Con a 0, a, b y c coeficientes reales.

Se resuelve, por medio de la definición de valor absoluto.

Caso 1: Si c = 0, entonces tenemos ax + b = 0 y la ecuación a resolver es: ax + b = 0.

Caso 2: Si c < 0, entonces la no hay solución.

Caso 3: Si c > 0

Si ax + b ≥ 0 se resuelve ax + b = c, entonces tenemos x =c b

a

Si ax + b < 0 se resuelve ax + b = -c, entonces tenemos x = -c + b

a

Obteniendo que el conjunto solución está formado por dos soluciones:

EJEMPLOS

1. La ecuación 2x + 5 = 1 tiene

A) Como única solución, x = -6B) Como única solución, x = -3C) Como única solución, x = -2D) Dos soluciones, x = -6 y x = -2E) Dos soluciones, x = -3 y x = -2

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera con respecto al conjunto solución de laecuación 2x – 4 = 6?

A) Tiene dos soluciones racionales positivas.B) Tiene dos soluciones racionales negativas.C) Tiene dos soluciones racionales de distinto signo.D) Tiene solo una solución racional positiva.E) Tiene solo una solución racional no positiva.

ax + b = c

S =c + b c b

- ,a a

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RESPUESTAS

DMTRMA08

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 C D B A C D D

3 y 4 B C E A E D A D

5 B B C

6 E B D B

7 E C

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