2013 iii clase_05

La más fundamental

de las ciencias

Cifras significativas e incertidumbre – Clase 05

Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por: • La precisión y exactitud de los instrumentos de medida

• La interacción del método de medición con el mesurando

• La definición del objeto a medir

• La influencia del observador u observadores que realizan la

medición

Cifras significativas e incertidumbre

2007 - Hugo Vizcarra

Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres.

𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥 Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x. Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre absoluta. Una forma de expresar la medida es:

𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥



2010 - Hugo Vizcarra 4

También es posible expresar la incertidumbre en relación al valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre relativa porcentual y se expresa en %.

𝜀% =∆𝑥

𝑥 ∙ 100%

Ejemplos:

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4%

Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%



La precisión de un instrumento o de un método de medición esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser detectada con él) .

Un vaso se llena con agua 5 veces y en cada vez se mide su masa con el mismo instrumento: 𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔

Se puede decir que el método y/o instrumento es preciso.

Precisión y exactitud

Poca precisión


La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔.

Entonces llegaríamos a la conclusión de que nuestra balanza o método de medición tiene una calibración deficiente. Por lo tanto nuestras medidas son precisas pero poco exactas.

Exactitud

Mucha precisión pero poca exactitud

Pre

cisi

ón

Exactitud

Precisión y exactitud


Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo: I. Incertidumbre introducida por el instrumento

• Incertidumbre de apreciación ap

La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición.

• Incertidumbre de exactitud exac

Representa la incertidumbre absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.

Fuentes de incertidumbre


II. Incertidumbre de interacción int Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir.

III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def

Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión.

En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como:

2 2 2 2 2

int .......nom ap def exac

Fuentes de incertidumbre


Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en sistemáticos y estadísticos. I. Incertidumbre sistemática

Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.

II. Incertidumbre estadística o aleatoria est

Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual probabilidad por exceso o por defecto.

2 2 2 2 2 2 2

int .......est nom est ap def exacx

Clasificación de la incertidumbre


Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con la regla representada.

Medición directa


El primer paso es alinear lo mejor posible el cero de la regla con el limite inferior de la imagen, tal como se observa en la figura.

Medición directa

cm

5

3

2

1

6

4


Si ampliamos un poco la zona de medición con una lupa, observamos que no sabemos con precisión cuál es la medida. En todo caso esta se encuentra comprendida entre:

4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚

Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor forma de expresar la medida es:

𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Medición directa

5

6

4 LUPA 4


Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición directa con un instrumento, es conveniente identificar con claridad:

Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad.

∆𝐿 = ±0,1 𝑐𝑚

2= ±0,05 𝑐𝑚

Medición directa

Instrumento Regla

Cantidad física a medir Longitud

Unidad de medida del instrumento cm

Sensibilidad o mínima división 0,1 cm


La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida (en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre (en este caso ±0,05 𝑐𝑚).

𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida:

𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚

ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.

Medición directa

cm

5

3

2

1

6

4


Medición directa

Instrumento Regla




Incertidumbre asociada 0,05 cm

La medida es: 𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Tiene tres cifras significativas

cm

5

4

3

2

1

6


Medición directa

Instrumento Regla






Tiene tres cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.


Instrumento Regla



Sensibilidad o mínima división 1 cm



Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Medición directa


α

¿Cuál es la medida de α?

Medición directa


Instrumento Transportador

Cantidad física a medir Ángulo

Unidad de medida del instrumento °

Sensibilidad o mínima división 1°

Incertidumbre asociada 0,5°

La medida es: 𝛼 = 44,5° ± 0,5°

Tiene tres cifras significativas Notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Medición directa


Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la figura, la balanza registra 19 g.

En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es ± 1 𝑔.

Medición directa


Instrumento Balanza

Cantidad física a medir Masa

Unidad de medida del instrumento g

Sensibilidad o mínima división 1 g

Incertidumbre asociada 1 g

La medida es: M= 19 𝑔 ± 1 𝑔 Tiene dos cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales (cero decimales).

Medición directa


Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la medida. Los valores obtenidos son:

Medición directa - Incertidumbre aleatoria

Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔

7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,39



El tiempo más representativo o más probable es el promedio.

𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠

Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la incertidumbre absoluta se determina según:

∆𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑡𝑚𝑖𝑛

2

∆𝑡 = 1,54 𝑠 − 1,32 𝑠

2= 0,11 𝑠


Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es:

𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠

Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre.

𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠

Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre tiene el mismo número de decimales.


OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales. Así, la suma será: 12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm

Medición indirecta


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras significativas y, en el resultado, se conservará solamente un número de cifras igual al de dicho factor. Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás escribirlo entonces con dos cifras significativas. 11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2

Medición indirecta

mma 97,75,12) 2625,99 m

3 C.S. 3 C.S.

26,99 m3 C.S.

mmb 0,25,2) 2 35m

2 C.S. 2 C.S.

20,5 m2 C.S.

Medición indirecta


mNc 5,48,2) Nm6,122 C.S. 2 C.S.

Nm132 C.S.

s

m8

3 C.S.

4 C.S.

s

m00,8

3 C.S.

s

md

0,15

0,120)

Medición indirecta


) 2,8 4000m

e ss

11200m

2 C.S. 4 C.S.

41,1 10 m2 C.S.

0,089442719m

3 C.S.

3 C.S.

28,94 10 m

3 C.S.

1,20)

150

kNd

kPa

Medición indirecta

4 214,8 3,847076812m m

210,00 3,16227766s s

23,85m

3,162s

210,0 3,16227766 3,16m m m

3 C.S. 3 C.S.

4 C.S. 4 C.S.

3 C.S. 3 C.S.

Medición indirecta


(25,4 ) 0,428935133sen

22(0,25 )

0,0490873854

mm

0,429

2 24,9 10 m

3 C.S. 3 C.S.

2 C.S. 2 C.S.

s

m

s

m

s

m2,316227766,310

2

2

2 C.S. 2 C.S.

Medición indirecta

Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas.

Medición indirecta – propagación de la incertidumbre



1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus incertidumbres absolutas se suman.

𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏

𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏

𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏



2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus incertidumbres relativas porcentuales se suman.

𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎

𝑎∙ 100%

𝐵 = 𝑏 ±∆𝑏

𝑏∙ 100%

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎 ∙ 𝑏 ±∆𝑎

𝑎+∆𝑏

𝑏∙ 100%

𝐴

𝐵=

𝑎

𝑏±

∆𝑎

𝑎+∆𝑏

𝑏∙ 100%



2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error relativo porcentual se multiplica por el exponente.

𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎

𝑎∙ 100%

𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 ± 𝑛∆𝑎

𝑎+∆𝑏

𝑏∙ 100%


Se mide la base y la altura de un rectángulo: b = 28,45 cm 0,05 cm h = 5,35 cm 0,05 cm Determine el área de este rectángulo. Solución: Área = largo x Ancho A = (28,45 cm 0,05 cm) x (5,35 cm 0,05 cm) Á = 28,45 cm×5,35 cm 28,45 cm×0,05 cm 0,05 cm×5,35 cm 0,05 cm×0,05 cm



A = 152,2075 cm2 1,4225 cm2 0,2675 cm2 0,0025 cm2

Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman. A = 152 cm2 1,6925 cm2

Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa, por lo tanto:

A = 152 cm2 2 cm2



Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido.

𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ±0,05

28,45 𝑐𝑚+

0,05

5,35 𝑐𝑚∙ 100%

A = 152,2075 cm2 1,1 % A = 152,2075 cm2 1,69 cm2

La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que:

A = 152 cm2 2 cm2



Dados las siguientes cantidades medidas: A = 9,25 s 0,01 s B = 5,50 s 0,01 s Calcule las siguientes operaciones: A + B A – B A×B A B A3


A + B = (9,25 s + 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s 0,02 s A – B = (9,25 s - 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s 0,02 s

A×B = (9,25 s × 5,50 s) (0,01

9,25+

0,01

5,50) ∙ 100%

A×B = 50,875 s2 0,290% = 50,875 s2 0,1475 s2 A×B = 50, 9 s2 0,1 s2



A B = (9,25 s 5,50 s) (0,01

9,25+

0,01

5,50) ∙ 100%

A B = 1,681818 0,290% = 1,681818 0,004876

A B = 1,682 0,005 En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la incertidumbre no puede ser cero.

A3 = (9,25 s)3 3 (0,01

9,25) ∙ 100%

A3 = 791,453125 s3 2,566875 s3 A3 = 791 s3 3 s3




Bibliografía

Este material tiene fines enteramente educativos

Las imágenes de las diapositivas 1, 5, 6, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19 y 21 son tomadas de Internet.

Las reglas en las figuras de las páginas 11, 12, 13, 16 y 17 han sido dibujadas por mi.

La imagen de las diapositivas 7 es mi dibujo.

Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez

El método científico aplicado a las ciencias experimentales de Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.

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