CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

CURVA PLANA

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones𝑥 = 𝑓 𝑡 y 𝑦 = 𝑔 𝑡 se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llamael parámetro. Al conjunto de puntos 𝑥, 𝑦 que se obtiene cuando t varía sobreel intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas y a lagráfica, junta, es a lo que lo nombran como curva plana, que se denota por C.

TRAZADO DE CURVA

𝑥 = 𝑡2 − 4 𝑦 𝑦 =𝑡

2; −2 ≤ 𝑡 ≤ 3

SOLUCIÓN:

Haciendo la tabulación mediante las ecuaciones paramétricas que brinda el problema, seobtienen los resultados plasmados en una tabla:

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 - ½ 0 ½ 1 3/2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS

ELIMINACIÓN DE UN PARÁMETRO

Ecuaciones paramétricas

Despejar “t” de una de las ecuaciones

Sustituir en la otra ecuación

Ecuación rectangular

EJEMPLO APLICADO A LA ELIMINACIÓN DE UN PARÁMETRO

EJEMPLO: Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro

𝑥 =1

𝑡 + 1𝑦 𝑦 =

𝑡

𝑡 + 1, 𝑡 > −1

SOLUCIÓN:

𝑥 =1

𝑡 + 1=

1

𝑡 + 1

𝑥2 =1

𝑡 + 1

1

𝑥2 = 𝑡 + 1

𝑡 =1

𝑥2− 1

Ahora, de la ecuación “y”

𝑦 =𝑡

𝑡 + 1

Se reemplaza “𝑥 =1

𝑥2 − 1” en esta ecuación:

𝑦 =

1𝑥2 − 1

1𝑥2 − 1 + 1

𝑦 =

1 − 𝑥2

𝑥2

1𝑥2

𝑦 =𝑥2 1 − 𝑥2

1 𝑥2

∴ 𝑦 = 1 − 𝑥2

RESULTADO GRÁFICO DEL EJEMPLO APLICADO A LA ELIMINACIÓN DE UN PARÁMETRO

EJEMPLO APLICADO A LA ELIMINACIÓN DE UN PARÁMETRO

EJEMPLO: Emplear trigonometría para eliminar el parámetro “𝜃”:

𝑥 = 3 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

SOLUCIÓN:

Utilizando la identidad trigonométrica:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃 = 1

Se sabe que:

𝑥 = 3 cos 𝜃𝑥

3= cos 𝜃

cos 𝜃 =𝑥

3

Y también:

𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑦

4= 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑦

4

Reemplazando:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃 = 1

𝑦

4

2

+𝑥

3

2

= 1

𝑥

3

2

+𝑦

4

2

= 1

Entonces:

∴𝑥2

9+

𝑦2

16= 1

Representa una ecuación de una elipse con centro en el origen.

RESULTADO GRÁFICO DEL EJEMPLO APLICADO A LA ELIMINACIÓN DE UN PARÁMETRO

HALLANDO LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS PARA UNA GRÁFICADADA.

EJEMPLO: Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.

𝑦 = 1 − 𝑥2

SOLUCIÓN:

La pendiente 𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥tiene un punto (𝑥, 𝑦)

Si 𝑡 = 𝑥, entonces la ecuación tiene lo siguiente:

𝑦 = 1 − 𝑥2

𝑦 = 1 − 𝑡2

Y la pendiente es:

𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑚 =𝑑

𝑑𝑥1 − 𝑥2

𝑚 = −2𝑥

Despejando “x”:

𝑥 = −𝑚

2

Reemplazando en la ecuación del problema:

𝑦 = 1 − 𝑥2

𝑦 = 1 − −𝑚

2

2

𝑦 = 1 −𝑚2

4

Entonces, las ecuaciones paramétricas son:

∴ 𝑥 = −𝑚

2𝑦 𝑦 = 1 −

𝑚2

4

RESULTADO GRÁFICO DEL HALLAZGO DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS

CURVA SUAVE

Una curva C representa por 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡 en un intervalo 𝐼 se dice quees suave si 𝑓′ y 𝑔′ son continuas en 𝐼 y no simultáneamente 0, exceptoposiblemente en los puntos terminales de 𝐼. La curva C se dice que es suave atrozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de 𝐼.

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.