INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓNVER TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

VER VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN

GENERAL

VER C.F.S.

VER EJEMPLO DEL C.F.S.

VER C.F.T.

VER EJEMPLO DEL C.F.T.

VER WROSKIANO

VER PRIMER EJEMPLO APLICADO A WROSKIANO

VER BIBLIOGRAFÍA

VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO A

WROSKIANO

INTRODUCCIÓN

La forma general de representa un ecuación diferencial de segundo orden es:

𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥

Se van a tener dos soluciones, es decir:

𝑦1 𝑦 𝑦2

Y también dos constantes, o sea:

𝐶1 𝑦 𝐶2

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TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

Si 𝑦1 ^ 𝑦2 son soluciones de la ecuación diferencial

𝑦′′ + 𝑦´ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 0

entonces la función

𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2

que también es solución de la ecuación diferencial.

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EJEMPLO DE VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL APLICADO A UNA ECUACIÓN DIFERENCIALEJEMPLO:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

Donde:𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑦2 = 3 cos 𝑥

SOLUCIÓN:

Partiendo de la función general:𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2

𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥

𝑦′ = 𝐶1 cos 𝑥 − 3𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑦′′ = −𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO

Se remplaza estos resultados con la ecuación diferencial del problema:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

−𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥 = 0

−𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥

0 = 0

Entonces se dice que:

∴ 𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝐶2 cos 𝑥

Si es solución y se comportará como solución general de la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑦 = 0.

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CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES (C. F. S.)

El conjunto de soluciones 𝑦1, 𝑦2 se llama fundamental de la ecuación diferenciallineal 𝑦′′ + 𝑦′ ∗ 𝑃 𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑞 𝑥 = 0 si cualquier solución de la ecuación se puedaexpresar como una combinación lineal de 𝑦1 ^ 𝑦2 y con sus constantes apropiadas.Para que 𝑦1, 𝑦2 sean un conjunto fundamental de soluciones deben ser linealmenteindependientes.

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EJEMPLO REFERENTE AL C. F. S.

EJEMPLO:

𝑦′′ + 𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Se forma un conjunto de soluciones:2 cos 𝑥 , −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.

−𝑠𝑒𝑛 𝑥, 5 cos 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.

𝑠𝑒𝑛 𝑥, 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.

−3 cos 𝑥 , 2 cos 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝐶. 𝐹. 𝑆.

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CONJUNTO FUNDAMENTAL TÍPICO (C. F. T)

Es el conjunto fundamental donde las funciones que lo conforman tiene coeficiente uno.

𝑦1, 𝑦2 𝐶. 𝐹. 𝑆. → 𝑦1 ^ 𝑦2 son linealmente independientes

𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 solución general

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EJEMPLO REFERENTE AL C. F. T.

EJEMPLO:

𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑒𝑠 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 5 cos 𝑥

SOLUCIÓN:

𝐶. 𝐹. 𝑇. 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥

Regresando al ejemplo: 𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2

𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO

WROSKIANO

Y para encontrar 𝐶1 𝑦 𝐶2 nos tienen que dar dos condiciones o dos puntos de la solución. Para probar:

Wroskiano: El Wroskiano de “n” funciones se define como:

𝑊 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 =

𝑦1 . . . 𝑦𝑛. . . . . . . . .

𝑦1𝑛−1 . . . 𝑦𝑛

𝑛−1

Si 𝑊 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 ≠ 0, entonces 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 son linealmente independientes

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EJEMPLO APLICADO AL WROSKIANO

EJEMPLO: Determinar si las soluciones

𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑦2 = cos 𝑥

son linealmente independiente o linealmente dependientes

SOLUCIÓN:

De la fórmula de Wroskiano, existen dos soluciones, entonces:

𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

Así que solo basta con las dos soluciones y realizar la primera derivada en cada solución, es decir:

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𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑦2 = cos 𝑥

𝑦1′ = cos 𝑥 y 𝑦2

′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥

Entonces, sustituyendo:

𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

=𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

= −𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos2 𝑥

= −1 ≠ 0

Por lo tanto las funciones 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 cos 𝑥 son linealmente independientes. Por lo tanto se tiene que:

𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝐶. 𝐹. 𝑆.

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EJEMPLO APLICADO AL WROSKIANO

EJEMPLO: Determinar si

𝑒6𝑥 , 𝑒−2𝑥

son un C.F.S. de

𝑦′′ − 4𝑦′ − 12𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

Así que solo basta con las dos soluciones y realizar la primera derivada en cada solución, es decir:REGRESAR AL CONTENIDO

𝑦1 = 𝑒6𝑥 y 𝑦2 = 𝑒−2𝑥

𝑦1′ = 6𝑒6𝑥 y 𝑦2

′ = −2𝑒−2𝑥

Entonces, sustituyendo:

𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

𝑊 𝑒6𝑥, 𝑒−2𝑥 = 𝑒6𝑥 𝑒−2𝑥

6𝑒6𝑥 −2𝑒−2𝑥= 𝑒6𝑥 𝑒−2𝑥

6𝑒6𝑥 −2𝑒−2𝑥

= −2𝑒4𝑥 − 6𝑒4𝑥

= −8𝑒4𝑥 ≠ 0

∴ 𝑒6𝑥, 𝑒−2𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝐶. 𝐹. 𝑆.

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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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