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LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA
Si una curva suave C está dada por 𝑥 = 𝑓 𝑡 y 𝑦 = 𝑔 𝑡 y C no se corta a sí misma en elintervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco deC en ese intervalo está dada por:
𝑆 = 𝑎
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
𝑆 = 𝑎
𝑏
𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2𝑑𝑡
CÁLCULO LA LONGITUD DE ARCO
EJEMPLO: Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:
𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 𝑦 𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 , (0,2𝜋)
SOLUCIÓN: Derivando la ecuación paramétrica “x”:
𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑
𝑑𝑡5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 = 5
𝑑
𝑑𝑡cos 𝑡 −
𝑑
𝑑𝑡cos 5𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡
Derivando la ecuación paramétrica “y”:
𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 5
𝑑
𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 −
𝑑
𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 5𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:
𝑎 = 0 , 𝑏 = 2𝜋 ,𝑑𝑥
𝑑𝑡= −5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡 ,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡
Sustituyendo:
𝑆 = 𝑎
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
𝑆 = 0
2𝜋
−5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡 2 + 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡 2𝑑𝑡
𝑆 = 0
2𝜋
25 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 50 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 25 𝑠𝑒𝑛25𝑡 + 25 cos2 𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 + 25 cos2 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 0
2𝜋
25 + 25 − 50 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 25 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 − 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 − 2 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 − cos 𝑡 − 5𝑡 + cos 𝑡 + 5𝑡 − cos 𝑡 − 5𝑡 − cos 𝑡 + 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 − cos −4𝑡 + cos 6𝑡 − cos −4𝑡 − cos 6𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 − cos −4𝑡 − cos −4𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 − 2 cos −4𝑡 𝑑𝑡 = 5 0
2𝜋
2 − 2 cos 4𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
2 1 − cos 4𝑡 𝑑𝑡 = 5 0
2𝜋
2 2 𝑠𝑒𝑛22𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 5 0
2𝜋
4 𝑠𝑒𝑛22𝑡𝑑𝑡 = 10 0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 40 0
𝜋2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 =
40
2−cos 2𝑡 0
𝜋2
𝑆 = 20 −cos𝜋 + cos 0 = 20 1 + 1
∴ 𝑆 = 40𝑢
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS
𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡
𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.