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LONGITUD DE ARCO EN FORMA POLAR TEMAS DE CรLCULO VECTORIAL
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR
Sea f una funciรณn cuya derivada es continua en un intervalo ๐ผ โค ๐ โค ๐ฝ. La longitud de lagrรกfica de ๐ = ๐ ๐ , desde ๐ = ๐ผ hasta ๐ = ๐ฝ es:
๐ = ๐ผ
๐ฝ
๐ ๐ 2 + ๐โฒ ๐ 2๐๐ = ๐ผ
๐ฝ
๐2 +๐๐
๐๐
2
๐๐
LONGITUD EN UNA CURVA POLAR
EJEMPLO: Encontrar la longitud de una curva polar ๐ = ๐ ๐ = 2 โ 2๐๐๐ ๐, 0, 2๐
SOLUCIรN:
๐ = 2 โ 2 cos๐ ;๐๐
๐๐= 2๐ ๐๐ ๐
๐ = ๐ผ
๐ฝ
๐2 +๐๐
๐๐
2
๐๐
= 0
2๐
2 โ 2 cos ๐ 2 + 2 ๐ ๐๐ ๐ 2๐๐
= 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 cos2 ๐ + 4 ๐ ๐๐2๐ ๐๐
๐ = 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 cos2 ๐ + 4 ๐ ๐๐2๐ ๐๐
= 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 cos2 ๐ + ๐ ๐๐2๐ ๐๐
Recordando que:
cos2 ๐ + ๐ ๐๐2 ๐ = 1
Entonces:
๐ = 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 cos2 ๐ + ๐ ๐๐2๐ ๐๐
= 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 1 ๐๐
= 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4 ๐๐
๐ = 0
2๐
4 โ 8 ๐๐๐ ๐ + 4๐๐
= 0
2๐
8 โ 8 ๐๐๐ ๐๐๐
= 0
2๐
8 1 โ ๐๐๐ ๐ ๐๐
= 0
2๐
8 1 โ ๐๐๐ ๐๐๐
= 8 0
2๐
1 โ ๐๐๐ ๐๐๐
Antes de continuar:
๐ ๐๐2๐ =1
2โ1
2cos 2๐
Despejando el tรฉrmino โ1 โ cos ๐โ:
๐ ๐๐2๐
2=1
2โ1
2cos ๐
๐ ๐๐2๐
2=1
21 โ cos ๐
2 ๐ ๐๐2๐
2= 1 โ cos ๐
1 โ cos ๐ = 2 ๐ ๐๐2๐
2
Continuando:
๐ = 8 0
2๐
1 โ ๐๐๐ ๐๐๐
= 8 0
2๐
2๐ ๐๐2๐
2๐๐
= 8 0
2๐
2 ๐ ๐๐2๐
2๐๐
= 8 2 0
2๐
๐ ๐๐2๐
2๐๐
= 16 0
2๐
๐ ๐๐๐
2๐๐
๐ = 4 0
2๐
๐ ๐๐๐
2๐๐
Aplicando el mรฉtodo de sustituciรณn:
๐ง =๐
2
2๐ง = ๐
๐ = 2๐ง
๐๐ = 2 ๐๐ง
Entonces:
๐ = 4 0
2๐
๐ ๐๐๐
2๐๐
๐ = 4 0
2๐
๐ ๐๐ ๐ง 2 ๐๐ง
๐ = 4 0
2๐
๐ ๐๐ ๐ง(2 ๐๐ง) = 4 2 0
2๐
๐ ๐๐ ๐ง ๐๐ง
= 8 0
2๐
๐ ๐๐ ๐ง ๐๐ง
= 8 โ cos ๐ง 02๐ = 8 โcos
๐
20
2๐
= 8 โcos2๐
2+ cos
0
2
= 8 โcos ๐ + cos 0
= 8 1 + 1 = 16
โด ๐ = 16 ๐ข
REPRESENTACIรN GRรFICA DE LA LONGITUD DE ARCO DE UNA FUNCIรN DADA
๐ = 2 โ 2 cos ๐
BIBLIOGRAFรAS
Colley, S. J. (2013). Cรกlculo vectorial. Mรฉxico: PEARSON EDUCACIรN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemรกticas 3. Cรกlculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Anรกlisis vectorial. Mรฉxico: McGRAW - HILL.