ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

TEOREMA

Sea 𝑓 una función cuya derivada es continua en un intervalo 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. El área de lasuperficie generada por revolución de la gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 , desde 𝜃 = 𝛼 hasta 𝜃 = 𝛽,alrededor de la recta indicada es la siguiente:

Alrededor del eje polar

𝑆 = 2𝜋 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′(𝜃) 2 𝑑𝜃

Alrededor de la recta 𝜃 =𝜋

2

𝑆 = 2𝜋 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 cos 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′(𝜃) 2 𝑑𝜃

ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN

EJEMPLO: Hallar el área de una superficie en revolución 𝑟 = 𝑓 𝜃 = cos 𝜃 alrededor de la recta

𝜃 =𝜋

2

SOLUCIÓN:

𝑓 𝜃 = cos 𝜃 ; 𝑓′ 𝜃 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑆 = 2𝜋 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 cos 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2 𝑑𝜃 = 2𝜋 0

𝜋

cos 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 2 + −𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋

cos2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

𝑆 = 2𝜋 0

𝜋

cos2 𝜃 𝑑𝜃

Recordando que:

cos2 𝜃 =1

2+1

2cos 2𝜃

Entonces:

𝑆 = 2𝜋 0

𝜋

cos2 𝜃 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋 1

2+1

2cos 2𝜃 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋 1

2𝑑𝜃 +

0

𝜋

cos 2𝜃 𝑑𝜃

𝑆 = 2𝜋 0

𝜋 1

2𝑑𝜃 +

0

𝜋

cos 2𝜃 𝑑𝜃 = 2𝜋1

2 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 2𝜃 𝑑𝜃

Aplicando el método de sustitución para la segunda integral:

𝑧 = 2𝜃

𝑑𝑧

𝑑𝜃= 2

𝑑𝑧 = 2 𝑑𝜃

𝑑𝑧

2= 𝑑𝜃

𝑑𝜃 =𝑑𝑧

2

Entonces:

𝑆 = 2𝜋1

2 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 2𝜃 𝑑𝜃

= 2𝜋1

2 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 𝑧𝑑𝑧

2

= 2𝜋1

2 0

𝜋

𝑑𝜃 +1

2 0

𝜋

cos 𝑧 𝑑𝑧

= 2𝜋1

2 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 𝑧 𝑑𝑧 =2𝜋

2 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 𝑧 𝑑𝑧

= 𝜋 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 𝑧 𝑑𝑧

𝑆 = 𝜋 0

𝜋

𝑑𝜃 + 0

𝜋

cos 𝑧 𝑑𝑧

= 𝜋 𝜃 0𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑧 0

𝜋

= 𝜋 𝜃 0𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 0

𝜋

= 𝜋 𝜋 − 0 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0

= 2𝜋1

2𝜋

=2𝜋2

2= 𝜋2

∴ 𝑆 = 𝜋2 𝑢2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN

𝑟 = cos 𝜃

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.