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ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN
TRIAGULO
Profesor
Rodolfo Arias Carrasco
Se llama altura al segmento que une un veacutertice
perpendicularmente con el lado opuesto )( cba hhh
ahbh
ah
Sus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
H Ortocentro
ch
El punto de interseccioacuten de las alturas se llama
ortocentro
Si un triaacutengulo es acutaacutengulo las alturas se
intersectan en su interior como se mostraban el la
figura anterior Si es un triaacutengulo rectaacutengulo las
alturas se intersectan en el veacutertice del aacutengulo recto
Si el triaacutengulo es obtusaacutengulo las prolongaciones de las alturas se
intersectan en el exterior del triaacutengulo
Se llama bisectriz al segmento que une un veacutertice con
su lado opuesto bisectando el aacutengulo correspondiente
Sus medidas se denotan
AS=
BT=
CR=
I Incentro
ab
bb
cbS
T
R
El punto de interseccioacuten de las bisectrices se llama incentro y es el centro de
la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
R
La interseccioacuten de las bisectrices de dos aacutengulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triaacutengulo comuacuten a ambos
aacutengulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triaacutengulo
aO
bO
cO
BC
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de A del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de A del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
AC
AB
ACBC
BA
AB
CA
CB
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Se llama altura al segmento que une un veacutertice
perpendicularmente con el lado opuesto )( cba hhh
ahbh
ah
Sus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
H Ortocentro
ch
El punto de interseccioacuten de las alturas se llama
ortocentro
Si un triaacutengulo es acutaacutengulo las alturas se
intersectan en su interior como se mostraban el la
figura anterior Si es un triaacutengulo rectaacutengulo las
alturas se intersectan en el veacutertice del aacutengulo recto
Si el triaacutengulo es obtusaacutengulo las prolongaciones de las alturas se
intersectan en el exterior del triaacutengulo
Se llama bisectriz al segmento que une un veacutertice con
su lado opuesto bisectando el aacutengulo correspondiente
Sus medidas se denotan
AS=
BT=
CR=
I Incentro
ab
bb
cbS
T
R
El punto de interseccioacuten de las bisectrices se llama incentro y es el centro de
la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
R
La interseccioacuten de las bisectrices de dos aacutengulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triaacutengulo comuacuten a ambos
aacutengulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triaacutengulo
aO
bO
cO
BC
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de A del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de A del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
AC
AB
ACBC
BA
AB
CA
CB
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Si el triaacutengulo es obtusaacutengulo las prolongaciones de las alturas se
intersectan en el exterior del triaacutengulo
Se llama bisectriz al segmento que une un veacutertice con
su lado opuesto bisectando el aacutengulo correspondiente
Sus medidas se denotan
AS=
BT=
CR=
I Incentro
ab
bb
cbS
T
R
El punto de interseccioacuten de las bisectrices se llama incentro y es el centro de
la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
R
La interseccioacuten de las bisectrices de dos aacutengulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triaacutengulo comuacuten a ambos
aacutengulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triaacutengulo
aO
bO
cO
BC
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de A del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de A del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
AC
AB
ACBC
BA
AB
CA
CB
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Se llama bisectriz al segmento que une un veacutertice con
su lado opuesto bisectando el aacutengulo correspondiente
Sus medidas se denotan
AS=
BT=
CR=
I Incentro
ab
bb
cbS
T
R
El punto de interseccioacuten de las bisectrices se llama incentro y es el centro de
la circunferencia inscrita en el triaacutengulo
R
La interseccioacuten de las bisectrices de dos aacutengulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triaacutengulo comuacuten a ambos
aacutengulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triaacutengulo
aO
bO
cO
BC
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de A del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de A del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
AC
AB
ACBC
BA
AB
CA
CB
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
La interseccioacuten de las bisectrices de dos aacutengulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triaacutengulo comuacuten a ambos
aacutengulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triaacutengulo
aO
bO
cO
BC
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de C del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de A del lado
Centro de la circunferencia tangente al
lado a la prolongacioacuten maacutes
allaacute de A del lado y a la
prolongacioacuten maacutes allaacute de B del lado
AC
AB
ACBC
BA
AB
CA
CB
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un veacutertice con el punto
medio del lado opuestoSus medidas se denotan
AE=
BF=
CD=
G Centro de gravedad
at
bt
ct
1
2
GD
CG
GF
BG
GE
AG
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triaacutengulo o baricentro y se denomina G
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas estaacuten en la razoacuten 21
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triaacutenguloEstas tres rectas se intersectan en el punto K que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos
KN =
KO =
KM =
K Circuncentro
KA = KB =KC radio de la
circunferencia circunscrita al
triaacutengulo ABC
as
bs
cs
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
1 El centro de la circunferencia circunscrita al triaacutengulo
rectaacutengulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa Si
el triaacutengulo es acutaacutengulo el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusaacutengulo es de su exterior
1 En un triaacutengulo rectaacutengulo la transversal de gravedad
correspondiente al aacutengulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triaacutengulo
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triaacutengulo
OBSERVACIONES
1 Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2 Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3 En un triaacutengulo equilaacutetero las alturas
bisectrices simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de
los lados estaacuten contenidas en la misma
recta y
4 En un triaacutengulo isoacutesceles
la altura la bisectriz la
simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
a la base son coincidentesaaa tbhbbb tbh ccc tbh
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
bull El Ortocentro Baricentro y Circuncentro estaacuten siempre ALINEADOS
bull El baricentro estaacute ENTRE el ortocentro y circuncentro
bull La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro
bull Ademaacutes la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
El periacutemetro de un triaacutengulo es la suma de las longitudes de sus lados
P = a + b + c
El aacuterea de un triaacutengulo se puede calcular de diversas formas
1 El aacuterea de un triaacutengulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
2
aABC
haA
))()(( csbsassA ABC
2
cbas
2 Foacutermula de Heroacuten Si se conocen las medidas de los tres lados
donde (semiperiacutemetro)
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
3 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperiacutemetro (s)
srA ABC
R
cbaA ABC
4
4 Aacuterea del triaacutengulo en funcioacuten del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Poliacutegonos
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Se llama liacutenea poligonal a la unioacuten continua de segmentos de modo que dos
segmentos sucesivos tienen soacutelo un extremo en comuacuten como el de la figura
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a siacute
misma es decir aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en comuacuten
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Definicioacuten Un poliacutegono es la porcioacuten del plano limitada por
una liacutenea poligonal cerrada simple
Elementos de un poliacutegono
bull Lados son los trazos o segmentos que determinan el poliacutegono
bull Veacutertices son los puntos de interseccioacuten de dos lados consecutivos En general un
poliacutegono se nombra por sus veacutertices
bull Diagonales son los segmentos determinados por dos veacutertices no consecutivos
bull Aacutengulos interiores son los aacutengulos formados por dos lados consecutivos El
veacutertice del aacutengulo es el punto de interseccioacuten de estos lados
bull Aacutengulos exteriores son los aacutengulos formados por un lado del poliacutegono y la
prolongacioacuten de un lado consecutivo de modo que el veacutertice del aacutengulo es el punto
de interseccioacuten de estos lados
El nuacutemero de lados de un poliacutegono es igual al nuacutemero de veacutertices
al nuacutemero de aacutengulos interiores y exteriores
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
En general el nombre de los poliacutegonos depende del nuacutemero de lados
Nuacutemero de lados Nombre
3 Triaacutengulo
4 Cuadrilaacutetero
5 Pentaacutegono
6 Hexaacutegono
7 Heptaacutegono
8 Octaacutegono
9 Eneaacutegono
10 Decaacutegono
11 Endecaacutegono
12 Dodecaacutegono
15 Pentadecaacutegono
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
En general los poliacutegonos de maacutes de 10 lados se mencionan
soacutelo indicando el nuacutemero de lados
Un poliacutegono se dice convexo si todos sus aacutengulos interiores
miden menos de 180ordm
Si alguno de los aacutengulos de un poliacutegono miden maacutes de 180ordm
entonces este poliacutegono se le llama coacutencavo
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Propiedades de los poliacutegonos convexos
Suma de aacutengulos interiores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos interiores estaacute dada por
ordm180)2(nsi
2
)3(nnD
Suma de aacutengulos exteriores si un poliacutegono tiene n lados
entonces la suma de sus aacutengulos exteriores es siempre 360ordm
Nuacutemero de diagonales trazadas desde un veacutertice si un poliacutegono
tiene n lados entonces el nuacutemero de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus veacutertices es
d= n-3
Nuacutemero total de diagonales si un poliacutegono tiene n lados
entonces el nuacutemero total de diagonales D que se puede trazar entre
sus veacutertices es
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Ejemplos
1) Determinar la suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
ordm180)2(nSi
ordm540
ordm1803
ordm180)25(
i
i
i
S
S
S
Entonces se tiene
La suma de los aacutengulos interiores de un pentaacutegono es 540ordm
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
2) La suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono es
1260ordm iquestDe queacute poliacutegono se trata
ordm180)2(nSi
n
n
n
n
9
27
2180
1260
ordm180)2(ordm1260
bull Si tenemos que la suma es 1260ordm y tambieacuten sabemos que
entonces
El poliacutegono tiene 9 lados
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
3) Determinar el nuacutemero total de diagonales que pueden trazarse en
un pentaacutegono
Pentaacutegono
bull Nuacutemero de lados n=5
bullSi
2
)3(nnD
5
2
)35(5
D
D
entonces
En un pentaacutegono podemos trazar 5 diagonales en total
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Un poliacutegono se dice regular si es un poliacutegono convexo si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus aacutengulos tambieacuten tienen igual medida
Medida del aacutengulo interior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo interior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma de
aacutengulos interiores del poliacutegono por el nuacutemero de lados
Asiacute si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo interior mide
aacutengulo interior =
Medida del aacutengulo exterior de un poliacutegono regular
La medida de cada aacutengulo exterior de un poliacutegono regular se calcula dividiendo la suma
de aacutengulos exteriores del poliacutegono que es 360ordm por el nuacutemero de lados del poliacutegono
Si el poliacutegono tiene n lados entonces cada aacutengulo exterior mide
aacutengulo exterior =
n
n ordm180)2(
n
ordm360
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
Cuadrilaacuteteros
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
DEFINICIOacuteN Y CLASIFICACIOacuteN
Se llamaraacute cuadrilaacutetero a una figura plana cerrada y limitada por
cuatro segmentos
Cuadrilaacutetero
No paralelogramo Paralelogramo
TrapecioTrapezoide
Isoacutesceles
Rectaacutengulo
Cuadrado
Rectaacutengulo
Rombo
Romboide
La suma de los
aacutengulos interiores es
360ordm
La suma de los
aacutengulos exteriores es
360ordm
Escaleno
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
PARALELOGRAMO cuadrilaacutetero que tiene dos pares de
lados paralelos
PALELOGRAMO
RECTO
OBLICUO
CUADRADO
RECTAacuteNGULO
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS RECTOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES CONGRUENTES
bullDIAGONALES OBLICUAS
ROMBO
ROMBOIDE
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 4 LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES PERPENDICULARES
bull 4 AacuteNGULOS OBLICUOS
bull 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
bull DIAGONALES DISTINTAS
bullDIAGONALES OBLICUAS
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
TRAPECIO Cuadrilaacutetero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base
TRAPECIO ISOacuteSCELES Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades
1048773 Diagonales congruentes
1048773 Aacutengulos basales congruentes
1048773 Aacutengulos opuestos suplementarios
TRAPECIO RECTAacuteNGULO uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos
TRAPECIO ESCALENO
yba
dc
ordm90dcba
dcba
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
TRAPEZIODES
Trapezoide es aquel cuadrilaacutetero que no tiene par
de lados paralelos
Los trapezoides se clasifican en asimeacutetricos y
simeacutetricos
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
1048773 Diagonales perpendiculares
1048773 Una diagonal es bisectriz
1048773 La diagonal que es bisectriz es a su vez
simetral de la otra diagonal
