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C u r s o : Matemática

Material N° 16-E

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 16

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS

1. En la circunferencia de centro O de la figura 1, AC y BD son diámetros. Si el ánguloDOC mide 80º, ¿cuánto mide el ángulo ABO?

A) 20ºB) 30ºC) 40ºD) 45ºE) 50º

2. En la circunferencia de centro O y diámetro DB de la figura 2, ¿cuánto mide el ánguloCOA?

A) 70ºB) 100ºC) 120ºD) 140ºE) 160º

3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, BAC + BDC = 80º. Entonces, el

BOC mide

A) 160ºB) 80ºC) 60ºD) 40ºE) 20º

4. O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 4. Si DAC = 40º, ¿cuánto

mide el ángulo ACD?

A) 10ºB) 20ºC) 25ºD) 40ºE) 50º

AO O’

C

D

Bfig. 4

fig. 1

D

AA

O

B

C

A D

B C

fig. 3O

fig. 240º

O

A

B

C

D

30º

2

5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, ¿cuánto mide el ángulo OPR?

A) 35ºB) 40ºC) 45ºD) 50ºE) 70º

6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, CA , AB y CB son secantes. Si = 80ºy = 50º, entonces el ángulo x es igual a

A) 65ºB) 75ºC) 90ºD) 100ºE) 130º

7. En la figura 7, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36º y ROP = 54º,

¿cuánto mide el RTP?

A) 63ºB) 72ºC) 108ºD) 117ºE) 144º

8. En la circunferencia de la figura 8, el ángulo ACD mide 10o y el arco BC mide 100º, lamedida del ángulo x es

A) 45ºB) 55ºC) 60ºD) 65ºE) 100º

fig. 7

Q

P

O

R

T

x

A B

C

fig. 6

O

fig. 8

x

A B

C

D

T O

P

R

fig. 5

Q

70º

3

9. En la figura 9, BCA = 40º y CDB = 30º. ¿Cuánto mide el ABC?

A) 60ºB) 90ºC) 100ºD) 110ºE) 120º

10. En la figura 10, MQ es diámetro y TNQ = 16º. ¿Cuánto mide el MQT?

A) 74ºB) 64ºC) 45ºD) 32ºE) 16º

11. En la figura 11, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD y COA = 110º,

entonces ¿cuánto mide ?

A) 55ºB) 110ºC) 125ºD) 135ºE) 140º

12. En la figura 12, CB // DA . Si el arco CD mide 80º, entonces ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) BCA = 40º

II) BEA = 80º

III) DA = 100º

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

C

D

B

A

30º

40º

fig. 9

C B

D A

E fig. 12

fig. 11

E

O

B

D

C

A

T

M

Q

N

fig. 10

4

13. O es centro de la circunferencia de la figura 13, QOP = ROQ = SOR y RSO = 72º.

¿Cuánto mide el ángulo PTQ?

A) 54ºB) 36ºC) 35ºD) 27ºE) 18º

14. El arco BC es un cuarto de circunferencia con centro en A (fig. 14). Si BD = AB ,entonces el ángulo CAD mide

A) 15ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) 75º

15. En la figura 15, la circunferencia tiene centro en O. La medida del ángulo x es

A) 12,25ºB) 12,5ºC) 25ºD) 37,5ºE) 50º

16. En la figura 16, la recta L es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triánguloABC, el valor de + es

A) 70ºB) 90ºC) 100ºD) 120ºE) 140º

A B

CD

fig. 14

A

L

O

BC

fig. 1620o

aax

50ºO

B

D

C

A fig. 15

P

T

O

Q R

S

fig. 13

5

17. En la figura 17, ¿cuánto mide el ángulo inscrito ?

A) 28ºB) 40ºC) 55ºD) 80ºE) 110º

18. En la circunferencia de centro O de la figura 18, ¿cuánto mide ?

A) 40ºB) 70ºC) 80ºD) 100ºE) 140º

19. En la circunferencia de centro O, de la figura 19, BCD = 125º. Entonces, el DAB

mide

A) 45ºB) 55ºC) 60ºD) 65ºE) 75º

20. En la circunferencia de centro O, de la figura 20, AB es diámetro y BCD = 130º.

Entonces, la medida del ángulo x es

A) 40ºB) 50ºC) 55ºD) 65ºE) 70º

A BO

DC

fig. 19

A

DC

BO

x

fig. 20

140º

R

Q

P

O

fig. 18

2k + 10º

k + 30º

k

fig. 17

6

21. En la circunferencia de centro O (fig. 21), BOA = 2ABD. ¿Cuánto mide el ángulo

BCA?

A) 22,5ºB) 30ºC) 40ºD) 45ºE) 90º

22. Si en la circunferencia de centro O de la figura 22, el ángulo inscrito BCA mide 80º,¿cuánto mide el ángulo ABO?

A) 10ºB) 20ºC) 25ºD) 50ºE) 70º

23. En la figura 23, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valordel x?

A) 63ºB) 36ºC) 26ºD) 18ºE) 12º

24. En el cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de la figura 24, – = 120º. Si

=2

, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30ºB) 75ºC) 105ºD) 150ºE) 155º

O

BA

C

fig. 22

fig. 21

A

O

B

D C

D

AEO126ºx

fig. 23

x

A

D

B

C

fig. 24

7

25. En la circunferencia de centro O de la figura 25, AB es diámetro y CA BD . Si el arcoCA mide 3m + 10º y el ángulo ADC mide 3m – 10º, entonces x + y =

A) 170ºB) 160ºC) 150ºD) 140ºE) 120º

26. En la circunferencia de centro O de la figura 26, se puede conocer la medida de si:

(1) BOA = 2

(2) ABO =

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. En la circunferencia de centro O de la figura 27, AD y BC son diámetros. Se puedeconocer el valor del ángulo x si :

(1) El arco CA mide 110º(2) BCA + BDA = 70º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 28). La medida del CBA se

puede determinar si:

(1) AB = 2 AC(2) BOC = 2COA

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

xA

OB

C Dy

fig. 25

O

CA

B

fig. 28

fig. 27

x

A B

C D

O

BA

Ofig. 26

8

29. En la figura 29, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saberla medida del CDA si :

(1) BCD = 80º

(2) DAB = 100º

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. En la circunferencia de centro O de la figura 30, A y B son puntos de tangencia. Sepuede determinar la medida del BOA si :

(1) PBO = OAP

(2) BOA = 3APB

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

CLAVES

DMTRMA16-E

1. E 11. C 21. D

2. D 12. C 22. A

3. B 13. E 23. D

4. C 14. B 24. C

5. D 15. B 25. D

6. D 16. E 26. A

7. A 17. C 27. D

8. C 18. C 28. D

9. D 19. B 29. E

10. A 20. A 30. B

D

C

B

A

O

fig. 29

B

O

A

P

fig. 30

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