32 perímetros y áreas

1

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17

UNIDAD: GEOMETRÍA

PERÍMETROS Y ÁREAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma delas áreas de los cuadrados construidossobre sus catetos, es igual al área delcuadrado construido sobre su hipotenusa.

EJEMPLOS

1. La suma de todos los trazos de la figura 1, es

A) 46B) 49C) 54D) 61E) 64

2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5.Entonces, ¿cuál es el área del triángulo?

A) 25B) 25 3

C)25 3

2

D)25 5

2E) 50 3

a2

b2

c2

a2 + b2 = c2

a b c

3 4 5

5 12 13

8 15 17

Ternas pitagóricas

60º

2aa 3

a

Triángulos Notables

a a 2

a

A

fig. 2

B

C

17

4k

3k

8 fig. 1

C u r s o : Matemática

Material N° 17

2

3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AD = BD = 3. Entonces,AC + BC es

A) 6B) 9C) 6 2

D) 12 2

E) 6 + 6 2

4. En las figura 4, se tiene que AC = 12, BC = 13 y BD = 3. Entonces, la medida de ADes

A) 4B) 17C) 5D) 34E) 6

5. La longitud de AB , en la figura 5, es

A) 26 cmB) 10 cmC) 6 cmD) 4 cmE) 6 cm

6. En la figura 6, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 10 2 cm. Si E, F, G y Hson punto medios, ¿cuál es la suma de los lados del cuadrado EFGH?

A) 10 2 cmB) 20 2 cmC) 40 2 cmD) 40 cmE) 50 cm

A F B

E G

D H C

fig. 6

A D B

C

fig. 3

A B

D

C

fig. 4

B

A

E

C

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

fig. 5D

3

Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro sedenotará por p.

Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A.

EJEMPLOS

1. Si el área de un cuadrado es 144 cm2, entonces su perímetro mide


2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b,entonces DC es

A) a + 2bB) 2a + bC) 4a + 6bD) 4a + 2bE) 6a + 5b

Nombre Figura Perímetro Área

Cuadrado 4a

a2

2d2

Rectángulo 2a + 2b a b

Rombo 4a

h · a

1 2d d2

Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2

Trapecio a + b + c + da c

h2

A B

CD

fig. 1

a

a

b b

h

a

d b

c

a

b b

a

h1h2

a

a

a

a

d

a

a ahd1

d2

a

4

3. Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE = 7 cm, su área es

A) 140 cm2

B) 70 cm2

C) 40 cm2

D) 35 cm2

E) ninguno de los valores anteriores.

4. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm?

A) 20 cm2

B) 24 cm2

C) 40 cm2

D) 48 cm2

E) 60 cm2

5. En la figura 3, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y

AB = 15 cm, entonces el perímetro y el área son, respectivamente,

A) 37 cm y 120 cm2

B) 50 cm y 150 cm2

C) 50 cm y 180 cm2

D) 90 cm y 300 cm2

E) 150 cm y 600 cm2

6. ABCD es un rombo de lado 16 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes comomuestra la figura 4, entonces el perímetro de la región achurada es


7. En el trapecio isósceles ABCD de la figura 5, DC // AB , AD = 5 y AB = 10. Si el áreadel triángulo ABD es 20, ¿cuál es el perímetro del trapecio?

A) 14B) 20C) 21D) 24E) 28

fig. 2

B

CD

EA

fig. 3D C

A B

fig. 4

D C

A B

D C

A B

fig. 5

5

EJEMPLO

1. ¿Cuánto mide la altura CD del triángulo ABC de la figura 1?

A) 2,4B) 4,8C) 10D) 3 2

E) 4 3

2. Los triángulos ABC y DBE de la figura 2 son equiláteros. Si el perímetro del ABC es 12,entonces el área del DBE es

A) 6B) 9 3

C) 4 3

D) 2 3

E) 3


Triángulo a + b + c a b cb ha h c h2 2 2

TriánguloEquilátero 3a

2a 34

TriánguloRectángulo a + b + c cab c · h

=2 2

A B

C

ab

cha

hchb

a a

a

bc

a

hc

A D B

C

8 6 fig. 1

A BD

C

Efig. 2

6

EJEMPLOS

1. En la figura 1, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces¿cuál es el área de la región achurada?

A) 20 cm2

B) 40 cm2

C) 50 cm2

D) (10 + 10) cm2

E) (10 + 20) cm2

2. La figura 2, muestra un cuadrado de lado 4 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál esel área y el perímetro de la región achurada?

Área Perímetro

A) 4 – 4 + 2B) 16 – 4 16 – 4C) 16 + 4 16 + 4D) 16 + 4 16 – 4E) 16 – 4 16 + 4

3. En la figura 3, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm y

AB = 4 cm, entonces el área de la región achurada es

A) 2 cm2

B) 8 cm2

C) 16 cm2

D) 32 cm2

E) 64 cm2


Circunferencia yCírculo

D = 2r

D Diámetror2

Sector circular

Arco AB + 2r

Arco AB =2 r

360º

2r360º

Or

O

AB

fig. 2

fig. 3

A BO

BA10 cm

fig. 1

O

7

FIGURAS EQUIVALENTES

Son aquellas que tienen igual área.

En todo triángulo:

Cada transversal de gravedadlo divide en dos triángulosequivalentes.

Las tres transversales lo dividenen seis triángulos equivalentes.

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal degravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC?

A) 12 cm2

B) 15 cm2

C) 20 cm2

D) 24 cm2

E) 48 cm2

2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE, EF y FD son medianas. SiAC = 20 cm, ¿cuánto mide el área del trapecio ABEF?

A) 150 3 cm2

B) 100 3 cm2

C) 75 3 cm2

D) 25 3 cm2

E) 1503

4cm2

3. En la figura 3, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 16 cm2. ¿Cuál esel área del trapecio EBCD?

A) 16 cm2

B) 24 cm2

C) 32 cm2

D) 48 cm2

E) 64 cm2

A1

A2

A B

C

D D es el punto medio de BCA1 = A2

fig. 2

A D

C

E

B

F

D, E, F puntos medios

A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

A D

C

E

B

F G

A1 A2

A3

A4A5

A6

fig. 3

A

D

C

E B

fig. 1

A

C

D B

8

4. En el triángulo ABC de la figura 4, AD DB , AE y BF son transversales de gravedad.Si el área del triángulo ADG es 9 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC?

A) 18 cm2

B) 27 cm2

C) 36 cm2

D) 45 cm2

E) 54 cm2

5. En la figura 5, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces,¿cuál es el área de la región achurada?

A) ab81

B) ab41

C) ab21

D) ab43

E) ab

6. Se muestran cuatro cuadrados de lado a. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras achuradastienen igual área?

I) II) III) IV)

A) Sólo I y IIB) Sólo II y IIIC) Sólo III y IVD) Sólo I, II y IIIE) I, II, III y IV

RESPUESTAS

DMTRMA17

A B

MD C

fig. 5

a

b

B

fig. 4

A D

C

G EF

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 D C C A D B3 y 4 C B B B B E D

5 B E6 C E C

7 y 8 A C D E C E

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