VELOCIDAD Y ACELERACIÓN(PRIMERA PARTE)

TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

El vector posición se representa como:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗

Velocidad y aceleración: Si 𝑥 y 𝑦 son funciones de 𝑡 que tienen primera y segunda derivada y 𝑟 es una función vectorial dada por 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗, entonces el vector velocidad, elvector aceleración y la rapidez en el instante 𝑡 se definen como:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗

𝑣 𝑡 = 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 𝑖 + 𝑦′ 𝑡 𝑗

𝑎 𝑡 = 𝑟′′ 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑥′′ 𝑡 𝑖 + 𝑦′′ 𝑡 𝑗

𝑣 = 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 2 + 𝑦 𝑡 2

NOTA: Se utilizará estas fórmulas para curvas en el espacio con solo agregar 𝑧 𝑡 , 𝑧′ 𝑡 , 𝑧′′(𝑡), es decir:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘

𝑣 𝑡 = 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 𝑖 + 𝑦′ 𝑡 𝑗 + 𝑧′ 𝑡 𝑘

𝑎 𝑡 = 𝑟′′ 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑥′′ 𝑡 𝑖 + 𝑦′′ 𝑡 𝑗 + 𝑧′′ 𝑡 𝑘

𝑣 = 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 2 + 𝑦 𝑡 2 + 𝑧 𝑡 2

EJEMPLO ACERCA DE OBTENER FUNCIONES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

EJEMPLO: Hallar la velocidad y aceleración a lo largo de una curva dada:

𝑟 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑡

2 𝑖 + 2 cos

𝑡

2 𝑗

SOLUCIÓN: De la función vectorial velocidad:

𝑣 𝑡 = 𝑟′ 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡2 𝑠𝑒𝑛

𝑡

2 𝑖 + 2 cos

𝑡

2 𝑗

𝑣 𝑡 = 21

2cos

𝑡

2 𝑖 + 2

1

2−𝑠𝑒𝑛

𝑡

2 𝑗

𝑣 𝑡 = cos𝑡

2 𝑖 − 𝑠𝑒𝑛

𝑡

2 𝑗

En el caso de la aceleración:

𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑟′′ 𝑡

𝑎 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡cos

𝑡

2 𝑖 −

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛

𝑡

2 𝑗

𝑎 𝑡 = −1

2𝑠𝑒𝑛

𝑡

2 𝑖 −

1

2cos

𝑡

2 𝑗

Y para la rapidez:

𝑣 𝑡 = 𝑥 𝑡 2 + 𝑦 𝑡 2

𝑣 𝑡 = −1

2𝑠𝑒𝑛

𝑡

2

2

+ −1

2cos

𝑡

2

2

=1

4𝑠𝑒𝑛

𝑡

2

2

+1

4𝑐𝑜𝑠

𝑡

2

2

𝑣 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡

2

2

+ 𝑐𝑜𝑠𝑡

2

2

= 1 = 1

EJEMPLO QUE REPRESENTA LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

EJEMPLO:

Dibujar de los vectores velocidad y aceleración en el plano:

𝑟 𝑡 = 𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 𝑗

Para 𝑡 = 0 y 𝑡 = 2

SOLUCIÓN: De la función vectorial posición:

𝑟 𝑡 = 𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 𝑗

𝑣 𝑡 =𝑑 𝑟

𝑑𝑡

𝑣 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 𝑗

𝑣 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝑡2 − 4 𝑖 +

𝑑

𝑑𝑡𝑡 𝑗

𝑣 𝑡 = 2𝑡 𝑖 + 𝑗

Y de la función vectorial aceleración:

𝑎 𝑡 =𝑑 𝑣

𝑑𝑡

𝑎 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡2𝑡 𝑖 + 𝑗

𝑎 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡2𝑡 𝑖 +

𝑑

𝑑𝑡1 𝑗

𝑎 𝑡 = 2 𝑖 + 0 𝑗

Para 𝑡 = 0:

En el caso del vector velocidad:

𝑣 𝑡 = 2𝑡 𝑖 + 𝑗 𝑣 0 = 2 0 𝑖 + 𝑗 𝑣 0 = 0 𝑖 + 𝑗

Y para el vector aceleración:

𝑎 𝑡 = 2 𝑖 + 0 𝑗 𝑎 0 = 2 𝑖 + 0 𝑗

Para 𝑡 = 2:

Para el vector velocidad:

𝑣 𝑡 = 2𝑡 𝑖 + 𝑗 𝑣 2 = 2 2 𝑖 + 𝑗 𝑣 2 = 4 𝑖 + 𝑗

Y para el vector aceleración:

𝑎 𝑡 = 2 𝑖 + 0 𝑗 𝑎 2 = 2 𝑖 + 0 𝑗

También:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 𝑟 𝑡 = 𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 𝑗

𝑥 𝑡 = 𝑡2 − 4 , 𝑦 𝑡 = 𝑡

Para 𝑡 = 0:

𝑥 0 = 02 − 4 = 0 − 4 = −4𝑦 0 = 0

∴ −4,0

Para 𝑡 = 2

𝑥 2 = 22 − 4 = 4 − 4 = 0𝑦 2 = 2

∴ 0,2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

𝑣 0

𝑣 2

𝑎 2

𝑎 0

𝑟 𝑡 = 𝑡2 − 4 𝑖 + 𝑡 𝑗

EJEMPLO QUE REPRESENTA VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL ESPACIO

EJEMPLO:

Dibuje de los vectores velocidad y aceleración en el espacio.

𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 𝑡3 𝑗 + 3𝑡 𝑘

𝑡 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1

SOLUCIÓN: Para la velocidad:

𝑣 𝑡 =𝑑 𝑟

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡𝑡 𝑖 + 𝑡3 𝑗 + 3𝑡 𝑘

𝑣 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝑡 𝑖 +

𝑑

𝑑𝑡𝑡3 𝑗 +

𝑑

𝑑𝑡3𝑡 𝑘

𝑣 𝑡 = 𝑖 + 3𝑡2 𝑗 + 3𝑘

Si 𝑡 = 1

𝑣 𝑡 = 𝑖 + 3𝑡2 𝑗 + 3𝑘

𝑣 1 = 𝑖 + 3 1 2 𝑗 + 3𝑘

∴ 𝑣 1 = 𝑖 + 3 𝑗 + 3𝑘

Para la aceleración:

𝑎 𝑡 =𝑑 𝑣

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡 𝑖 + 3𝑡2 𝑗 + 3𝑘

𝑎 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡1 𝑖 +

𝑑

𝑑𝑡3𝑡2 𝑗 +

𝑑

𝑑𝑡3 𝑘 = 0 𝑖 + 6𝑡 𝑗 + 0𝑘

𝑎 𝑡 = 0 𝑖 + 6𝑡 𝑗 + 0𝑘

Si 𝑡 = 1

𝑎 𝑡 = 0 𝑖 + 6𝑡 𝑗 + 0𝑘

𝑎 1 = 0 𝑖 + 6 1 𝑗 + 0𝑘∴ 𝑎 1 = 0 𝑖 + 6 𝑗 + 0𝑘

Y también:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘

𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 𝑡3 𝑗 + 3𝑡𝑘

Por tanto:

𝑥 𝑡 = 𝑡 , 𝑦 𝑡 = 𝑡3 , 𝑧 𝑡 = 3𝑡

Si 𝑡 = 1:

𝑥 𝑡 = 𝑡𝑥 1 = 1

𝑦 𝑡 = 𝑡3

𝑦 1 = 13 = 1

𝑧 𝑡 = 3𝑡𝑧 1 = 3 1 = 3

∴ 1,1,3

EJEMPLO PARA OBTENER LA FUNCIÓN POSICIÓN A PARTIR DEL VECTOR ACELERACIÓN

EJEMPLO: Hallar una función posición por integración

𝑃 1, 2, 0 𝑦 𝑎 𝑡 = 𝑗 + 2𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2

SOLUCIÓN:

Utilizando 𝑃 1, 2, 0 en la función vectorial brindado por el problema:

𝑟 0 = 𝑥 0 𝑖 + 𝑦 0 𝑗 + 𝑧 0 𝑘

𝑟 0 = 𝑖 + 2 𝑗 + 0𝑘

Entonces:

𝑎 𝑡 =𝑑 𝑣

𝑑𝑡𝑑 𝑣

𝑑𝑡= 𝑎 𝑡

𝑑 𝑣 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡

𝑑 𝑣 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = 𝑗 + 2𝑘 𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑗 + 2 𝑑𝑡 𝑘

𝑣 𝑡 = 0 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑑𝑡 𝑗 + 2 𝑑𝑡 𝑘

𝑣 𝑡 = 𝐶1 𝑖 + 𝑡 + 𝐶2 𝑗 + 2𝑡 + 𝐶3 𝑘

Si 𝑣 0 = 0 = 0 𝑖 + 0 𝑗 + 0𝑘:

𝑣 0 = 𝐶1 𝑖 + 0 + 𝐶2 𝑗 + 0 + 𝐶3 𝑘

0 𝑖 + 0 𝑗 + 0𝑘 = 𝐶1 𝑖 + 0 + 𝐶2 𝑗 + 0 + 𝐶3 𝑘

Entonces las ecuaciones al ser resueltas son:

0 = 𝐶1 −−−−→ 𝐶1 = 00 = 0 + 𝐶2 −−→ 𝐶2 = 00 = 0 + 𝐶3 −−→ 𝐶3 = 0

Sustituyendo en el resultado de la velocidad:

𝑣 𝑡 = 0 𝑖 + 𝑡 + 𝐶1 𝑗 + 2𝑡 + 𝐶2 𝑘

∴ 𝑣 𝑡 = 0 𝑖 + 𝑡 𝑗 + 2𝑡𝑘

Ahora:𝑑 𝑟

𝑑𝑡= 𝑣 𝑡

𝑑 𝑟 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑑 𝑟 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑟 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑟 𝑡 = 0 𝑖 + 𝑡 𝑗 + 2𝑡𝑘 𝑑𝑡

𝑟 𝑡 = 0 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑡 𝑑𝑡 𝑗 + 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑘 = 𝐶4 𝑖 +𝑡2

2+ 𝐶5 𝑗 + 2

𝑡2

2+ 𝐶6 𝑘

∴ 𝑟 𝑡 = 𝐶4 𝑖 +𝑡2

2+ 𝐶5 𝑗 + (𝑡2 + 𝐶6)𝑘

Para 𝑟 0 = 𝑖 + 2 𝑗 + 0𝑘:

𝑟 0 = 𝐶4 𝑖 + 0 + 𝐶5 𝑗 + 0 + 𝐶6 𝑘

𝑖 + 2 𝑗 + 0𝑘 = 𝐶4 𝑖 + 0 + 𝐶5 𝑗 + 0 + 𝐶6 𝑘

Igualando los términos de cada vector unitario se obtienen tres ecuaciones y al ser resueltas, se obtienen los valores de cada constante de integración:

1 = 𝐶4 −−−−−−→ 𝐶4 = 12 = 0 + 𝐶5 −−−−→ 𝐶5 = 20 = 0 + 𝐶6 −−−−→ 𝐶6 = 0

Por lo tanto:

𝑟 𝑡 = 𝐶4 𝑖 +𝑡2

2+ 𝐶5 𝑗 + 𝑡2 + 𝐶6 𝑘

∴ 𝑟 𝑡 = 𝑖 +𝑡2

2+ 2 𝑗 + 𝑡2𝑘

Por último, si 𝑡 = 2:

𝑟 𝑡 = 𝑖 +𝑡2

2+ 2 𝑗 + 𝑡2𝑘

𝑟 2 = 𝑖 +22

2+ 2 𝑗 + 22𝑘

∴ 𝑟 2 = 𝑖 + 4 𝑗 + 4𝑘

BIBLIOGRAFÍAS

JR., T., & B., G. (1999). Cálculo de varias variables. México: Addison Wesley Longman.

R. Spiegel, M. (1970). Análisis vectorial y una introducción al análisis tensorial. México: SCHAUM.

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. México: CENGAGE, Learning.