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3.1. Sistemas de referencia
3.2. Funciones y gráficas
3.3. Resolución de triángulos rectángulos
3.4. Magnitudes escalares y vectoriales
3.5. Vectores en el plano
3.6. Formas de expresión y transformaciones
Dr. Segundo Morocho C.16 de diciembre de 2011
SISTEMAS DE REFERENCIAAquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto
SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo.
Y P
P (x)
P (5) Y (-2)
Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un punto en la recta y viceversa
Dr. Segundo Morocho C.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
16 de diciembre de 2011
Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMA BIDIMENSIONAL
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversaEjemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el planoA(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)
G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2)
Y (+)
2do
CUADRANTE 1er
CUADRANTE
(-) o X (+)
3er
CUADRANTE 4to
CUADRANTE
(-)
16 de diciembre de 2011
L a representación en el sistema de coordenadas rectangulares es:
Determine que coordenadasrectangulares representan lossiguientes puntos:
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
H
B
F
J
A
K
I
L
D
C
G
E
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
Eje numérico de referencia X denominado eje polar
La posición de un punto quedadeterminada por un parordenado (r, Φ), donde:
r es el radio vector y representa ladistancia positiva del origen alpunto y,
Φ es el ángulo polar y representala medida del ángulo desde el ejepolar hasta el radio vector,medido en sentido antihorario.
También hay una relaciónbiunívoca entre un par ordenadoy un punto en el plano yviceversa
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
r
Φ
o X (0°)
Ejemplo: Determinar que coordenadas polares representan los siguientes puntos:
Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano
A(50 km,120°)
B(20km,330°)
C(40km,45°)
D(30km,220°)
E(10km,180°)
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
A y
15m B
40°
60° 10m C 5m 40°
x 45°
D
7m
12m 20°
E
SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICASDos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos cardinales.
La posición de un punto queda determinada por un par ordenado (r, rumbo), donde:
r representa la distancia positiva del origen al punto y,
rumbo representa la dirección medida a partir del Norte o Sur.
También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
N
O E
s
Ejemplo 2: Determinar quecoordenadas geográficas representanlos siguientes puntos:
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano:
A(10kgf, S40°O)
B(4kgf,N30°E)
C(8kgf,S20°E)
D(6kgf,N60°O)
E(12kgf,SE)
F(5kgf, O)
N
A
100km
B 40°
80km 120km C
O 10° 15° E
45° 60km
70km 70° D
E
s
SISTEMA TRIDIMENSIONAL
Esta constituido por tres ejes perpendiculares que se cortan entre sí, un origen. El espacio se ha dividido en 8 partes (octeto). Este sistema sirve para ubicar puntos en el espacio.
Para ubicar un punto se necesita tres valores (terna ordenada):
P (x, y, z)
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
y
x
z
FUNCIONES Y GRAFICAS
FUNCION.-
Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban queen ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Estosignifica que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.
EJEMPLOS 1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su
temperatura.
2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamosla distancia entre ambos, etc.
Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimosque una es función de la otra.
Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán
ejerce sobre el clavo es también función de su distancia
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Se dice que una magnitud y (llamada variabledependiente) es una función de otra magnitud x(llamada variable independiente), cuando su valor esdeterminado por el valor de la x.
Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x)
Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2
Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación.
GRAFICOS
Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas rectangulares.
Tiene una relación de indicativo.
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente esconstante, de modo que al aumentar una, la otra tambiénaumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente.
Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirseque:
Esto significa que: y es directamente proporcional a x.
Constante de proporcionalidad
Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
kxykx
y o
EJEMPLOS
1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes datos:
En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt)
En 10 s recoge 30 lt
En 30 s recoge 90 lt, etc.
a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el volumen de agua y el tiempo empleado en la operación.
Si
b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes?
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
s
l
s
l
s
l
30
90
10
30
5
15
S
Lk
s
lk TAMBIÉN 3
5
15
2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los siguientes datos:
En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m
En un tiempo t2 = 2 s recorrió una distancia d2 = 20 m
En un tiempo t3 = 3 s recorrió una distancia d3 = 45 m
¿Podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t?
No
Por tanto en este caso la distancia no es directamente proporcional al tiempo.
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
s
m
s
m
s
m
3
45
2
20
1
5
PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN
Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma detablero a dos columnas o filas.
Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano unpunto.
Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave.
EJEMPLOS:
1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa porel origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad
directa.
El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la
inclinación de la recta con respecto a los ejes.
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Si a es + la recta esta en los cuadrantes 1 y 3
Si a es – la recta esta en los cuadrantes 2 y 4
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, tambiénnos indica una relación de proporcionalidad directa.El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a larecta
Si b es – el desplazamiento es hacia abajo
-b
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Si b es + el desplazamiento es hacia arriba
+b
Deducción de ecuaciones lineales
Y 4 8 16 40
X 1 2 4 10
Y 6 10 18 14
X 1 2 4 3
Y 3 4 10
X 1 2 8
y 2 0 -4
x 5 3 -1
Y 7 21 70
X 1 3 10
y 2 5 9
x 6 15 27
y 1 4 10
x 0 1 3
y -12 -2 18
x -2 0 4
Deducción de ecuaciones lineales
PROPORCIÓN INVERSA.
Dos magnitudes son inversamente proporcionalescuando su producto es constante, de modo que alaumentar una, la otra disminuye (en el mismo ordende magnitud) y recíprocamente.
Esto significa que:
y es inversamente proporcional a x.
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
x
kykxy o
EJEMPLOS
1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en unadistancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad delauto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:
Si x = 30km/h y = 6h
Si x = 60km/h y = 3h
Si x = 90km/h y = 2h, etc.
El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada.
La constante es:k = 30X60 = 180Km
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Al graficar una función de este tipo se tienen las siguientes características:
Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola
Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variableindependiente se obtiene una recta (Linealizar)
Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante ysi a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante
Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen lacurva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola
EJEMPLOS.- Graficar:
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
x
ay
m
l20
l
R100
FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS
Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:
y es directamente proporcional a x2
su gráfica es una curva que se denomina parábola
al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)
La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2
Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las ramas se abren hacia abajo.
EJEMPLOS.- Graficar: y = 6x2
t = - 65x2
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto
A
α
c
b
β
B
a
C
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:
a) TEOREMA DE PITAGORAS:
El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
222 bac
22 bac
22 bca
22 acb
b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA
Seno sen α
Coseno cos α
Tangente tan α
hipotenusa
adyacentecateto
adyacentecateto
opuestocateto
hipotenusa
opuestocateto
c
a
c
b
b
a
EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC, determinar:
a) B en términos de a, b
b) b en términos de a, c
c) a en términos de c, C
d) C en términos de b, c
e) b en términos de c, B
f) c en términos de a, C
2. Resolver el triángulo rectángulo:
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
C
a
b
A c B
X y = 22cm Z
28°
z x
Y
3. Resolver el triángulo rectángulo:
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
c=37m
E D
d
e=52m
C
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL
Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechasllamadas vectores.
Los vectores sonsegmentosorientados
Todo vector quedadeterminado por:
Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico(módulo o magnitud)
Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido antihorario
Sentido; es la saeta (punta de flecha)
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
b
B
A θ
a
NOTAS: En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo
(punto B)
Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido elvector (recta ab)
Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en laparte superior
El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
b
B
A θ
a
EJERCICIOS
1. Representar gráficamente los siguientes vectores
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
);15( SmA
)140;50( KgfB
)70;40( ESh
KmC
)225;28( cmD
2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
N y
M
h
Km20 45°
O E 80° x
3m
S N
N y
P
500Km
35°
O E 45° x
45cm
S Q
CLASES DE VECTORES
VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se trasladaa cualquier punto sin alterar el efecto de su acción
VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se
traslada a lo largo de su línea de acción
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
P
P
CLASES DE VECTORES
VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación
VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma magnitud,
dirección y sentido
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
P
R
T
TR
CLASES DE VECTORES
VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma
magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto
VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo
coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección ysentido
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
H
H
o
CLASES DE VECTORES
VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1
Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo
Por tanto
El tiene la misma dirección y sentido que el y
no tiene unidades
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
A
AU A
AUAA
AU
A
A
AU
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
y
α
x
Módulo de un vector
Dirección en función de sus componentes
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
yA
xA
A
yx AAA ,
coscos AAxA
Ax
AsenAyA
Aysen
22
yx AAA
x
y
A
Atan
ANGULOS DIRECTORES
Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema
de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe
convención para el giro
Los ángulos directores en el plano son:
α es el que forma el vector con el eje positivo de las x
β es el que forma el vector con el eje positivo de las y
y
β
α
x
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
P
VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
yA
xA
i
j
iA
AU
x
xAx
jA
AU
y
y
Ax
jAiAA yx
jiUA
coscos
A
EJERCICIOS
1.- La magnitud de un vector es 18cm, y forma un ángulo de 75
con el sentido positivo del eje x. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) Las coordenadas del vector
c) Los ángulos directores
d) El vector en función de los vectores base
e) El vector unitario
2. Dado el vector , determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector
b) Las coordenadas del punto extremo del vector
c) El módulo del vector
d) La dirección
e) Los ángulos directores
f) El vector unitario
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
NjiF )6735(
P
3. El módulo de un vector es 125Km y su vector unitario
Determinar:
a) El valor de m
b) Los ángulos directores
c) El vector en función de sus vectores base
d) Las componentes rectangulares del vector
e) Las coordenadas del punto extremo del vector
f) La dirección
4. El módulo de un vector es 68m y tiene como ángulos
directores α = 135 y β = 45 . Determinar:
a) El vector unitario
b) El vector en función de los vectores base
c) Las componentes rectangulares del vector
d) Las coordenadas del punto extremo del vector
e) La dirección
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
G
EJERCICIOS
jmiUK
542,0
K
5. El módulo del vector es 87cm, y forma un ángulo de 315 con
el eje positivo de las x. Determinar:
a) Los ángulos directores
b) Las componentes rectangulares del vector
c) Las coordenadas del punto extremo del vector
d) El rumbo
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector son
(13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) El módulo
c) La dirección (rumbo)
d) Los ángulos directores
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
M
Q
EJERCICIOS
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
1. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY ÁNGULO
Coordenadas polares
F es el módulo del vector
θ ángulo medido desde el eje +Xhasta el vector en sentidoantihorario
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLO
y
8Kgf
125°
x
);(FF
)125;8( KgfF
F
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
2. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASRECTANGULARES
Donde:
Coordenadas del punto extremo
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLO
y
x
);( yx GGG
ycomoasix GG
mG )5;3(
G
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
3. EN FUNCIÓN DE LOSVECTORES BASE
Donde:
Componentes rectangulares delvector
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLO
y
x
y
comoasí
X CC
)( jCiCC yX
KmjiC )37(
C
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
4. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASGEOGRAFICAS
Donde:
D es el módulo del vector
Rumbo es la dirección
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLO
N
250cm
25°
O E
S
);( rumboDD
)25;250( ENcmD
D
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
5. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY SU UNITARIO
Donde:
E es el módulo del vector
Es el vector unitario del
16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLO
EUEE
EU
E
)843,0538,0(27 jiKgfE
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