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Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el Ingeniero 114/04/2023
Mecánica 1: Estática
Capítulo 3: Cuerpos Rígidos: Sistemas Equivalentes de Fuerzas
Momento de un “par”
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Ingeniero 2
• Dos fuerzas F y -F que tienen igual magnitud, líneas paralelas de acción y sentidos opuestos, forman lo que se conoce como un par.
• Momento de un par,
FdrFM
Fr
Frr
FrFrM
BA
BA
sin
• El momento de un par es independiente de la escogencia del origen de los ejes de coordenadas, es decir, es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto, produciendo el mismo efecto.
Momento de un “par”
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Ingeniero 3
Dos pares tendrán igual momento si:• 2211 dFdF • Los dos pares yacen en planos paralelos, y
• Los dos pares tienen la misma dirección, o la tendencia a causar la rotación en la misma dirección.
Pares equivalentes: ambos producen el mismo momento y están en planos paralelos, produciendo una rotación en la misma dirección
Pares no-equivalentes: ambos producen el mismo momento pero no están en planos paralelos, por lo que la rotación se da en ejes diferentes.
Los pares pueden representarse por vectores
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Ingeniero 4
• Un par puede representarse por un vector de magnitud y dirección igual al momento del par.
• Los vectores par obedecen la ley de la suma de vectores
• Los vectores par son vectores libres, i.e., su punto de aplicación no es importante.
• Los vectores par se pueden descomponer en sus componentes vectoriales.
Descomposición de una Fuerza en una Fuerza en O y un Par
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Ingeniero 5
• El vector fuerza F puede moverse de A a O, pero al hacerlo hay que considerar la forma en que afecta su acción sobre el cuerpo.
• Fijar vectores fuerza iguales y opuestos en O, no produce un efecto neto sobre el cuerpo.
• Las 3 fuerzas pueden reemplazarse por un vector fuerza equivalente y un vector par, es decir, un sistema fuerza-par.
Descomposición de una Fuerza en una Fuerza en O y un Par
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Ingeniero 6
Note que en general, crear un sistema FUERZA-PAR, partiendo de una fuerza F, consiste en tomar las fuerzas y momentos existentes y calcular:
O EXISTM M r F R F
��������������
Aplicación de la descomp. de una Fuerza en Sistemas Fuerza-Par
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Ingeniero 7
Descomposición de una Fuerza en una Fuerza en O y un Par
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Ingeniero 8
• Si moviéramos F de A hasta otro punto O’ , esto requiere la suma de un vector par distinto MO’
FrM O
'
• Los momentos de F en O y O’ se relacionan así,
FsM
FsFrFsrFrM
O
O
''
• Mover el sistema fuerza-par de O hasta O’ requiere sumar el momento de la fuerza en O, sobre O’.
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Ingeniero 9
Ejercicios
7. (3.80) La fuerza P = 500 N se aplica en el punto A del elemento mostrado. Reemplace P con: (a) un sistema equivalente fuerza–par en C, (b) un sistema equivalente constituido por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D.
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Ingeniero 10
Ejercicios
8. (3.85) Los trabajadores tratan de mover la caja de 1.2x1.2x1.2m aplicando las fuerzas mostradas. (a) Si P = 250 N, reemplace las 3 fuerzas con un sistema fuerza-par equivalente en A. (b) Reemplace el sistema fuerza-par de (a) por una sola fuerza, indicando el lugar del lado AB en donde se debe aplicar. (c) Determine P tal que las 3 fuerzas puedan sustituirse por una sola fuerza aplicada en B.
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Ingeniero 11
Ejercicios
9. La fuerza de tensión en el cable AB es de 850 lb. Calcule el sistema fuerza-par equivalente de esta fuerza respecto al punto E.
Sistemas de Fuerzas: Reducción a Fuerza y Par
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• Un sist. de fuerzas puede sustituirse por un grupo de sistemas fuerza-par actuando en un punto dado O
• Los vectores fuerza y par pueden dar como resultante un vector fuerza y un vector par, tal que:
FrMFR RO
• El sist. Fuerza-par en O puede moverse a O’ con la suma del momento de R sobre O’ ,
RsMM RO
RO
'
Nota: 2 sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden reducirse al mismo sistema fuerza-par.
Reducción adicional de un Sistema de Fuerzas
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Ingeniero 13
• Si la fuerza y el par resultantes en O son perpendiculares entre ellos, pueden ser sustituidos por una fuerza sencilla actuando a lo largo de una nueva línea de acción.
• ¿Y cómo saber si un sistema fuerza-par tiene sus componentes perpendiculares entre ellos? Se cumplen algunas de las siguientes condiciones:1) las fuerzas son concurrentes, 2) las fuerzas son coplanares, o 3) las fuerzas son paralelas.
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• Entonces, el sist. coplanar de fuerzas se reduce a un sist. Fuerza-par que es mutuamente perpendicular.
ROMR
y
• Este sistema puede reducirse a una simple fuerza, al mover la línea de acción de hasta que su momento sobre O sea R
OMR
• En coordenadas rectangulares,ROxy MyRxR
Reducción adicional de un Sistema de Fuerzas
Problema resuelto 3.8
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Para la viga mostrada, reduzca el sistema de fuerzas mostrado en: (a) un sistema equivalente fuerza-par en A, (b) un sistema equivalente fuerza-par en B, y (c) una fuerza sencilla, o resultante.
Nota: Dado que las reacciones de soporte no se incluyen, el sistema dado no mantendrá la viga en equilibrio.
SOLUCIÓN:
a) Calcule la fuerza resultante de las fuerzas mostrada, y el par resultante para los momentos de las fuerzas sobre A.
b) Encontrar un sistema equivalente fuerza-par en B basado en el sistema fuerza-par en A.
c) Determinar el punto de aplicación para la fuerza resultante, tal que su momento sobre A sea igual al par resultante en A.
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SOLUCIÓN:
a) Calcular la fuerza y par resultantes en A.
jjjj
FR
N 250N 100N 600N 150
jR
N600
ji
jiji
FrM RA
2508.4
1008.26006.1
kM RA
mN 1880
Problema resuelto 3.8
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b) Encontrar el sistema fuerza-par equivalente en B basado en el sist. fuerza-par en A. Note que la fuerza no cambia por el traslado del sistema fuerza-par de A a B, por lo tanto:
jR
N 600
El par en B es igual al momento en B del sistema fuerza-par encontrado en A.
kk
jik
RrMM ABRA
RB
mN 2880mN 1880
N 600m 8.4mN 1880
kM RB
mN 1000
Problema resuelto 3.8
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Tres cables están sujetos a un soporte. Reemplace las fuerzas con un sistema fuerza-par equivalente en A.
SOLUCIÓN:
• Determine los vectores de posición relativos para los puntos de aplicación de las fuerzas de los cables con respecto a A.
• Descomponga las fuerzas en sus componentes rectangulares.
• Calcule la fuerza equivalente,
FR
• Calcule el par equivalente,
FrM RA
Problema resuelto 3.10
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SOLUCIÓN:
• Determine los vectores de posición relativos con respecto a A.
m 100.0100.0
m 050.0075.0
m 050.0075.0
jir
kir
kir
AD
AC
AB
• Descomponiendo las fuerzas en sus componentes rectangulares:
N 200600300
289.0857.0429.0
175
5015075
N 700
kjiF
kji
kji
r
r
F
B
BE
BE
B
N 1039600
30cos60cosN 1200
ji
jiFD
N 707707
45cos45cosN 1000
ji
jiFC
Problema resuelto 3.10
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Ingeniero 20
• Calculando la fuerza equivalente,
k
j
i
FR
707200
1039600
600707300
N 5074391607 kjiR
• Calculando el par equivalente,
k
kji
Fr
j
kji
Fr
ki
kji
Fr
FrM
DAD
cAC
BAB
RA
9.163
01039600
0100.0100.0
68.17
7070707
050.00075.0
4530
200600300
050.00075.0
kjiM RA
9.11868.1730
Problema resuelto 3.10
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Ingeniero 21
Ejercicios
10. (3.102) Las masas de dos niños sentados en los extremos A y B de un balancín son 38 y 29 kg respectivamente. ¿Dónde debe sentarse un 3er niño para que la resultante de fuerzas de los pesos de los 3 niños pase por C, si la masa del 3er niño es (a) 27 kg (b) 24 kg
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Ejercicios
11. (3.104) Al conducir un camión vacío sobre una báscula, se determina que las cargas sobre los ejes delantero y trasero son de 18 y 12 kN, respectivamente. Indique el peso y la ubicación de la carga Q más pesada que puede transportar el camión si la carga para cada eje no debe sobrepasar los 40 kN.
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Ejercicios
12. (3.108) Se tiene una elemento angular con las fuerzas y par aplicados. Encuentre: (a) la resultante del este sistema de fuerzas, (b) los puntos donde la línea de acción de la resultante interseca las líneas AB y BC.