REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Sea 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦 donde 𝑓 es una función derivable de 𝑥 y de 𝑦. Si 𝑔 𝑡 = 𝑥 y ℎ 𝑡 = 𝑦 sonfunciones derivables de t, entonces 𝑤 es una función diferenciable de 𝑡, y:

𝑑𝑤

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝑑𝑤

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Ejemplo: aplicar la regla de la cadena con una variable independiente para:

𝑤 = 𝑥2𝑦 − 𝑦2

Donde 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 y 𝑦 = 𝑒𝑡 para 𝑡 = 0.

Solución:

Así que:𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥2𝑦 − 𝑦2

𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥2𝑦 −

𝑑

𝑑𝑥𝑦2 = 𝑦

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 𝑦2

𝑑

𝑑𝑥1

𝑑𝑤

𝑑𝑥= 2𝑥𝑦

EJEMPLO APLICADO POR REGLA DE LA CADENA PARA UNA VARIABLE

Sustituyendo:𝑑𝑤

𝑑𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑒𝑡 = 2𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

Y:

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 = cos 𝑡

También:

𝑑𝑤

𝑑𝑦=

𝑑

𝑑𝑦𝑥2𝑦 − 𝑦2 =

𝑑

𝑑𝑦𝑥2𝑦 −

𝑑

𝑑𝑡𝑦2 = 𝑥2

𝑑

𝑑𝑦𝑦 −

𝑑

𝑑𝑡𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑦

Sustituyendo:𝑑𝑤

𝑑𝑦= 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 − 2𝑒𝑡

Y:𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑡 = 𝑒𝑡

Regresando:𝑑𝑤

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝑑𝑤

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 2𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 − 2𝑒𝑡 𝑒𝑡

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 2𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 + 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 − 2𝑒2𝑡

Si 𝑡 = 0:𝑑𝑤

𝑑𝑡 𝑡=0= 2𝑒0𝑠𝑒𝑛 0 cos 0 + 𝑒0𝑠𝑒𝑛2 0 − 2𝑒0

𝑑𝑤

𝑑𝑡 𝑡=0= 2 0 0 1 + 0 − 2 1

∴𝑑𝑤

𝑑𝑡 𝑡=0= −2

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.