DERIVADA DIRECCIONALTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Sea 𝑓 una función de dos variables 𝑥 y 𝑦, y sea 𝑢 = cos 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 un vector unitario. Entonces la derivada direccional de 𝑓 en la dirección de 𝑢 que se denota 𝐷𝑢 𝑓 es:

𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = lim𝑡→0

𝑓 𝑥 + 𝑡 cos 𝜃 , 𝑦 + 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑓 𝑥, 𝑦

𝑡

Siempre que el límite exista.

Si 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 y de 𝑦, entonces la derivada direccional de 𝑓 en la direccióndel vector unitario 𝑢 = cos 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 es:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 cos 𝜃 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗

DOS EJEMPLOS PARA HALLAR LA DERIVADA DIRECCIONAL

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2 −1

4𝑦2 en 1,2 con dirección 𝑢 = cos

𝜋

3 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3 𝑗

Solución:

Derivando la función con respecto de “x” y con respecto de “y”:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥4 − 𝑥2 −

1

4𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑥4 −

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 −

1

4𝑦2

𝜕

𝜕𝑥1 = −2𝑥

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦4 − 𝑥2 −

1

4𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑦4 − 𝑥2

𝜕

𝜕𝑦1 −

1

4

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 = −

1

42𝑦 = −

1

2𝑦

Sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional:

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 cos𝜋

3 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3 𝑗

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 cos 𝜃 𝑖 −1

2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗

Sustituyendo en el punto 1, 2 y tomando que 𝜃 =𝜋

3:

𝐷𝑢 𝑓 1,2 = −2 1 cos𝜋

3−

1

22 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3

𝐷𝑢 𝑓 1,2 = −2 11

2−

1

22

3

2= −1 −

3

2

𝐷𝑢 𝑓 1,2 ≈ −1.866

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 en 1,𝜋

2en la dirección 𝑣 = 3 𝑖 − 4 𝑗

Solución:

Derivando la función:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥𝑥2 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑦

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑦

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦𝑥2 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 = 𝑥2

𝜕

𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑦 = 2𝑥2 cos 2𝑦

Sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional:

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 cos 𝜃 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑦 cos 𝜃 𝑖 + 2𝑥2 cos 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗

Antes de continuar:

𝑢 = 𝑣

𝑣=

3 𝑖 − 4 𝑗

3 2 + −4 2=

3 𝑖 − 4 𝑗

9 + 16=

3 𝑖 − 4 𝑗

25=

3 𝑖 − 4 𝑗

5=

3

5 𝑖 −

4

5 𝑗

Comparando:

𝑢 = cos𝜃 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 =3

5 𝑖 −

4

5 𝑗

Se sabe que:

cos 𝜃 =3

5y 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −

4

5

Regresando y sustituyendo en el punto 1,𝜋

2:

𝐷𝑢 𝑓 1,𝜋

2= 2 1 𝑠𝑒𝑛 2

𝜋

2

3

5+ 2 1 2 cos 2

𝜋

2−

4

5

𝐷𝑢 𝑓 1,𝜋

2= 2

3

5𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 2 −

4

5cos𝜋 =

6

50 −

8

5−1

∴ 𝐷𝑢 𝑓 1,𝜋

2=

8

5

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.