FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Si 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 y 𝑦, entonces la derivada direccional de 𝑓 enla direccional del vector unitario 𝑢 es:

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑢

EJEMPLO APLICADO A LA DERIVADA DIRECCIONAL

Ejemplo: hallar la derivada direccional usando 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 para:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑦2

En 𝑃 −3

4, 0 a 𝑄 0,1 .

Solución:

Primero se debe tener el vector:

𝑃𝑄 = 𝑣

𝑣 = 0 − −3

4 𝑖 + 1 − 0 𝑗 =

3

4 𝑖 + 𝑗

Y después, el vector unitario:

𝑢 = 𝑣

𝑣=

34

𝑖 + 𝑗

34

2

+ 1 2

=

34

𝑖 + 𝑗

916

+ 1

=

34

𝑖 + 𝑗

9 + 1616

𝑢 =

34

𝑖 + 𝑗

2516

=

34

𝑖 + 𝑗

54

=4

5

3

4 𝑖 + 𝑗

𝑢 =3

5 𝑖 +

4

5 𝑗

Más tarde, derivando la función parcialmente:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥3𝑥2 − 2𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑥3𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝜕

𝜕𝑥𝑥2 − 2𝑦2

𝜕

𝜕𝑥1 = 3 2𝑥 − 2𝑦2 0

∴ 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑥

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦3𝑥2 − 2𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑦3𝑥2 − 2𝑦2

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝜕

𝜕𝑦1 − 2

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 = 3𝑥2 0 − 2 2𝑦

∴ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = −4𝑦

Yendo a la fórmula de la gradiente:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

∴ 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 𝑖 − 4𝑦 𝑗

Tomando en cuenta el valor del primer punto, es decir, 𝑃 −3

4, 0 :

𝛻𝑓 −3

4, 0 = 6 −

3

4 𝑖 − 4 0 𝑗 = −

18

4 𝑖 + 0 𝑗

𝛻𝑓 −3

4, 0 = −

9

2 𝑖 + 0 𝑗

Y sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional:

𝐷𝑢 −3

4, 0 = 𝛻𝑓 −

3

4, 0 𝑢 = −

9

2 𝑖 + 0 𝑗

3

5 𝑖 +

4

5 𝑗

𝐷𝑢 −3

4, 0 = −

9

2

3

5+ 0

4

5= −

27

10+ 0

∴ 𝐷𝑢 −3

4, 0 = −

27

10

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.