MÁXIMO INCREMENTO. APLICACIONES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

PROPIEDADES DE LA GRADIENTE

Sea 𝑓 diferenciable en el punto 𝑥, 𝑦 :

1. Si 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, entonces 𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 para todo 𝑢.

2. La dirección de máximo incremento de 𝑓 está dada por 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . El valor máximo de

𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦) es 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .

3. La dirección de mínimo incremento de 𝑓 está dada por −𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . El valor mínimo de

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 es − 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 .

APLICACIÓN REFERENTE A LA DIRECCIÓN DE MÁXIMO INCREMENTO

Ejemplo: La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es 𝑇 𝑥, 𝑦 = 20 −4𝑥2 − 𝑦2 donde 𝑥 y 𝑦 se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de 2,−3 aumenta másrápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?

Solución:

De la función:

𝑇 𝑥, 𝑦 = 20 − 4𝑥2 − 𝑦2

Se halla lo que es la gradiente para la temperatura:

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

Así que, derivando parcialmente la función temperatura:

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥20 − 4𝑥2 − 𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑥20 −

𝜕

𝜕𝑥4𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑥𝑦2

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥20 − 4

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 − 𝑦2

𝜕

𝜕𝑦1 = 0 − 4 2𝑥 − 𝑦2 0

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 = −8𝑥

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦20 − 4𝑥2 − 𝑦2 =

𝜕

𝜕𝑦20 −

𝜕

𝜕𝑦4𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑦𝑦2

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦20 − 4𝑥2

𝜕

𝜕𝑦1 −

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 = 0 − 4𝑥2 0 − 2𝑦

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 = −2𝑦

Sustituyendo en la fórmula de la gradiente para la temperatura:

𝑇 𝑥, 𝑦 = −8𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗

Utilizando el punto 2,−3 :

𝑇 2,−3 = −8 2 𝑖 − 2 −3 𝑗 = −16 𝑖 + 6 𝑗

Y su magnitud es:

𝑇 2,−3 = −162 + 6 2

𝑇 2,−3 = 256 + 36

𝑇 2,−3 = 292°𝐶

𝑐𝑚

APLICACIÓN A LA TRAYECTORIA DE UN RASTREADOR TÉRMICO

Ejemplo: Un rastreador térmico se encuentra en el punto 2,−3 sobre una placa metálica cuya temperatura en 𝑥, 𝑦 es:

𝑇 𝑥, 𝑦 = 20 − 4𝑥2 − 𝑦2

Hallar la temperatura del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura.

Solución:

La trayectoria por función posición es:

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗

Y el vector tangente es:

𝑟′ 𝑡 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑖 +𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗

Ahora, la gradiente para la temperatura del rastreador es:

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

Así que, derivando parcialmente la función temperatura:

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥20 − 4𝑥2 − 𝑦2

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥20 − 4

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 − 𝑦2

𝜕

𝜕𝑥1 = 0 − 4 2𝑥 − 𝑦2 0

𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 = −8𝑥

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦20 − 4𝑥2 − 𝑦2

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦20 − 4𝑥2

𝜕

𝜕𝑦1 −

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 = 0 − 4𝑥2 0 − 2𝑦

𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 = −2𝑦

Regresando:

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑇𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = −8𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗

Al que si es cierto:

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝐾 𝑟′ 𝑡

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝐾𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑖 + 𝐾

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗

Así que, comparando:

𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = −8𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗

𝐾𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑖 + 𝐾

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗 = −8𝑥 𝑖 − 2𝑦 𝑗

Donde:

𝐾𝑑𝑥

𝑑𝑡= −8𝑥

−1

8

𝑑𝑥

𝑥= 𝐾 𝑑𝑡

−1

8 𝑑𝑥

𝑥= 𝐾 𝑑𝑡

−1

8ln 𝑥 = 𝐾𝑡 + 𝐶1

−1

8ln 𝑥 + 𝐶1 = 𝐾𝑡

−1

2

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝐾𝑦

−1

2

𝑑𝑦

𝑦= 𝐾𝑑𝑡

−1

2 𝑑𝑦

𝑦= 𝐾 𝑑𝑡

−1

2ln 𝑦 = 𝐾𝑡 + 𝐶2

−1

2ln 𝑦 + 𝐶2 = 𝐾𝑡

Además:

−1

2ln 𝑦 + 𝐶2 = 𝐾𝑡

−1

2ln 𝑦 + 𝐶2 = −

1

8𝑥 + 𝐶1

−1

2ln 𝑦 + 𝐶2 + 𝐶1 = −

1

8ln 𝑥

−1

2ln 𝑦 + 𝐶 = −

1

8ln 𝑥

4 ln 𝑦 + 𝐶 = ln 𝑥

ln 𝑥 = ln 𝑦4 + 𝐶 = ln 𝑦4 + ln𝐶 = ln𝐶𝑦4

∴ 𝑥 = 𝐶𝑦4

Utilizando nuevamente el punto 2,−3 :

𝑥 = 𝐶𝑦4

2 = 𝐶 −3 4

2 = −81𝐶

∴ 𝐶 = −2

81

Y el resultado final es:

∴ 𝑥 = −2

81𝑦4

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.