LÍMITES Y CONTINUIDADTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea 𝑓 una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en 𝑥0, 𝑦0 , exceptoposiblemente en 𝑥0, 𝑦0 , y sea 𝐿 un número real.

Entonces:

lim𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿

Si para cada 휀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que:

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 휀 siempre que 0 < 𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0

2 < 𝛿

EJEMPLO APLICADO A LA DEFINCIÓN DEL LÍMITE

Ejemplo: Verificar un límite a partir de la definición.

lim𝑥,𝑦 → 𝑎,𝑏

𝑥 = 𝑎

Solución:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 y 𝐿 = 𝑎

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 휀

𝑥 − 𝑎 < 휀

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 = 𝑥 − 𝑎 = 𝑥 − 𝑎 2 ≤ 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 𝛿 = 휀

𝑥 − 𝑎 2 ≤ 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 휀

Ejemplo: Calcular el siguiente límite

lim𝑥,𝑦 → 1,2

5𝑥2𝑦

𝑥2 + 𝑦2=

lim𝑥,𝑦 → 1,2

5𝑥2𝑦

lim𝑥,𝑦 → 1,2

𝑥2 + 𝑦2=5 1 2 2

12 + 22=10

5= 2

∴ lim𝑥,𝑦 → 1,2

5𝑥2𝑦

𝑥2 + 𝑦2= 2

Ejemplo: Verificar el siguiente límite:

lim𝑥,𝑦 → 0,0

5𝑥2𝑦

𝑥2 + 𝑦2

𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 y 𝑥2

𝑥2+𝑦2≤ 1

0 < 𝑥2 + 𝑦2 < 휀 ; 𝐿 = 0

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =5𝑥2𝑦

𝑥2 + 𝑦2= 5 𝑦

𝑥2

𝑥2 + 𝑦2≤ 5 𝑦 ≤ 5 𝑥2 + 𝑦2 < 5𝛿 = 휀

5 𝑦𝑥2

𝑥2 + 𝑦2≤ 5 𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 < 휀

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función 𝑓 de dos variables es continua en un punto 𝑥0, 𝑦0 de una regiónabierta ℝ si 𝑓 𝑥0, 𝑦0 es igual al límite de 𝑓 𝑥, 𝑦 cuando 𝑥, 𝑦 → 𝑥0, 𝑦0 .Es decir,

lim𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0

FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES

Si 𝑘 es un número real y 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en 𝑥0, 𝑦0 , entonces lasfunciones siguientes son continuas en 𝑥0, 𝑦0 .

1.- Múltiplo escalar: 𝑘𝑓

2.- Suma y diferencia: 𝑓 ± 𝑔

3.- Producto: 𝑓𝑔

4.- Cociente:𝑓

𝑔

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Si ℎ es continua en 𝑥0, 𝑦0 y 𝑔 es continua en ℎ 𝑥0, 𝑦0 , entonces la función

compuesta 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 ℎ 𝑥, 𝑦 es continua en 𝑥0, 𝑦0 . Es decir:

lim𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0

𝑔 ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝑔 ℎ 𝑥0, 𝑦0

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Una función 𝑓 de tres variables es continua en un punto 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 de unaregión abierta 𝑅 si 𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 está definida y es igual al límite de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧cuando 𝑥, 𝑦, 𝑧 se aproxima a 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 . Es decir:

lim𝑥,𝑦 ,𝑧 → 𝑥0,𝑦0,𝑧0

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0

ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS ACERCA DEL Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

1.-

lim𝑥,𝑦 → 2,1

𝑥 + 3𝑦2 = 2 + 3 1 2 = 5

Es continua en todos los puntos

2.-

lim𝑥,𝑦 → 2,4

𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦=2 + 4

2 − 4= −3

Es continua para 𝑥 ≠ 𝑦

3.-

lim𝑥,𝑦 → 0,1

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦

1 + 𝑥𝑦=𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

01

1 + 0 1= 0

Es continua para 𝑥𝑦 ≠ −1, 𝑦 ≠ 0 y 𝑥

𝑦≤ 1

4.-

lim𝑥,𝑦 → −1,2

𝑒𝑥𝑦 = 𝑒−1 2 = 𝑒−2

Es continua para todos los puntos.

5.-

lim𝑥,𝑦,𝑧 → 1,2,5

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 + 2 + 5 = 8

Es continua para 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 0

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.