DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Sea 𝑓 una función de 𝑥, 𝑦, 𝑧, con derivadas parciales de primer orden continuas. La derivadadireccional de 𝑓 en dirección de un vector unitario 𝑢 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 + 𝑐𝑘, está dada por:

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑏 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑐 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧

Y para la gradiente es:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

PROPIEDADES DE LA GRADIENTE PARA TRES VARIABLES

Las propiedades de la gradiente son:

1.- 𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑢

2.- Si 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, entonces 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 para toda 𝑢.

3.- La dirección de máximo incremento de 𝑓 está dada por 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . El valor máximo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 es:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

4.- La dirección de mínimo incremento de 𝑓 está dada por −𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . El valor mínimo de 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 es:

− 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.