ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTETEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

Sea 𝐹 diferenciable en un punto 𝑃 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 de la superficie 𝑆 dada por 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 talque 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ≠ 0.

1.- Al plano que pasa por 𝑃 y es normal a 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 se le llama plano tangente a 𝑆 a 𝑃.

2.- A la recta que pasa por 𝑃 y tiene la dirección de 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 se le llama recta normal a𝑆 a 𝑃.

INTRODUCCCIÓN

Si 𝐹 es diferenciable en 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 entonces una ecuación del plano tangentea la superficie dada por 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 en 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 es:

𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = 0

EJEMPLO APLICADO A LA ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE

Ejemplo: Hallar una ecuación de un plano tangente para:

a) 𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 = 12 y 𝑃 1,−1,4

Solución:

De la función, se debe igualar a cero, así que:

𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 = 12

𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 − 12 = 0

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 − 12

Derivando esta función parcialmente con respecto a “x”:

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 − 12 =

𝜕

𝜕𝑥𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑥2𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑥2𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑥12

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −4𝑥

con respecto a “y”:

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 − 12 =

𝜕

𝜕𝑦𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑦2𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑦2𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑦12

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −4𝑦

con respecto a “z”:

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2 − 12 =

𝜕

𝜕𝑧𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑧2𝑥2 −

𝜕

𝜕𝑧2𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑧12

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑧

Sabiendo que 𝑃 1,−1,4 :

𝐹𝑥 1,−1,4 = −4 1 = −4

𝐹𝑦 1,−1,4 = −4 −1 = 4

𝐹𝑧 1,−1,4 = 2 4 = 8

Así que:

𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = 0

𝐹 1,−1,4 𝑥 − 1 + 𝐹𝑦 1,−1,4 𝑦 + 1 + 𝐹𝑧 1,−1,4 𝑧 − 4 = 0−4 𝑥 − 1 + 4 𝑦 + 1 + 8 𝑧 − 4 = 0−4𝑥 + 4 + 4𝑦 + 4 + 8𝑧 − 32 = 0

−4𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 − 24 = 0

𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 6 = 0

b) 𝑧 = 1 −1

10𝑥2 + 4𝑦2 en 𝑃 1,1,

1

2

Solución:

De la función, se debe igualar a cero:

𝑧 = 1 −1

10𝑥2 + 4𝑦2

𝑧 = 1 −𝑥2

10−

4

10𝑦2

𝑥2

10+

4

10𝑦2 + 𝑧 − 1 = 0

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑥2

10+

4

10𝑦2 + 𝑧 − 1

Derivando esta función parcialmente con respecto a “x”:

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥

𝑥2

10+

4

10𝑦2 + 𝑧 − 1 =

1

10

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 −

4

10

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑧 −

𝜕

𝜕𝑥1

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =1

5𝑥

Con respecto a “y”:

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦

𝑥2

10+

4

10𝑦2 + 𝑧 − 1 =

1

10

𝜕

𝜕𝑦𝑥2 −

4

10

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑦𝑧 −

𝜕

𝜕𝑦1

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −8

10𝑦

Y con respecto a “z”:

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧

𝑥2

10+

4

10𝑦2 + 𝑧 − 1 =

1

10

𝜕

𝜕𝑧𝑥2 −

4

10

𝜕

𝜕𝑧𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑧𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧1

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1

Sabiendo que 𝑃 1,1,1

2:

𝐹𝑥 1,1,1

2=1

51 =

1

5

𝐹𝑦 1,1,1

2= −

8

101 = −

8

10= −

4

5

𝐹𝑧 1,1,1

2= 1

Así que:

𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = 0

𝐹 1,1,1

2𝑥 − 1 + 𝐹𝑦 1,1,

1

2𝑦 − 1 + 𝐹𝑧 1,1,

1

2𝑧 −

1

2= 0

1

5𝑥 − 1 −

4

5𝑦 + 1 + 1 𝑧 −

1

2= 0

1

5𝑥 −

1

5−4

5𝑦 −

4

5+ 𝑧 −

1

2= 0

1

5𝑥 −

4

5𝑦 + 𝑧 − 1 −

1

2= 0

1

5𝑥 −

4

5𝑦 + 𝑧 −

3

2= 0

𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 −15

2= 0

2𝑥 − 8𝑦 + 10𝑧 − 15 = 0

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.

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