ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTETEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

Sea 𝐹 diferenciable en un punto 𝑃 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 de la superficie 𝑆 dada por 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 talque 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ≠ 0.

1.- Al plano que pasa por 𝑃 y es normal a 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 se le llama plano tangente a 𝑆 a 𝑃.

2.- A la recta que pasa por 𝑃 y tiene la dirección de 𝛻𝐹 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 se le llama recta normal a𝑆 a 𝑃.

EJEMPLO APLICADO A LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTEHallar la ecuación de una recta tangente a una curva.

Para una elipsoide: 𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 = 20

Para una paraboloide: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 4

En el punto 0, 1, 3

Solución:

Se debe hallar la gradiente para la elipsoide, así que, se debe tener sus derivadas parciales y evaluadas en el punto 0, 1, 3 :

𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 = 20𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 − 20 = 0

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 − 20

La derivada parcial con respecto a “x” es:

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 − 20

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 2

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 + 2

𝜕

𝜕𝑥𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑥20

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥

Con respecto a “y” es:

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 − 20

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦𝑥2 + 2

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 + 2

𝜕

𝜕𝑦𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑦20

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑦

Y con respecto a “z” es:

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑧2 − 20

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧𝑥2 + 2

𝜕

𝜕𝑧𝑦2 + 2

𝜕

𝜕𝑧𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑧20

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑧

Utilizando el punto (0, 1, 3) en los resultados de las primeras derivadas parciales:

𝐹𝑥 0, 1, 3 = 2 0 = 0

𝐹𝑦 0, 1, 3 = 4 1 = 4

𝐹𝑧 0, 1, 3 = 4 3 = 12

Ahora, en la fórmula de la gradiente:

𝛻𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

𝛻𝐹 0,1,3 = 𝐹𝑥 0,1,3 𝑖 + 𝐹𝑦 0,1,3 𝑗 + 𝐹𝑧 0,1,3 𝑘

∴ 𝛻𝐹 0,1,3 = 0 𝑖 + 4 𝑗 + 12𝑘

Después de aplica el mismo procedimiento para la paraboloide:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 4 = 0

𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 4

Después, derivando esta función con respecto a “x”:

𝐺𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 4 =

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑥𝑧 −

𝜕

𝜕𝑥4 = 2𝑥

Con respecto a “y”:

𝐺𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 4 =

𝜕

𝜕𝑦𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑦𝑧 −

𝜕

𝜕𝑦4 = 2𝑦

Y con respecto a “z”:

𝐺𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 − 4 =

𝜕

𝜕𝑧𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑧𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑧𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧4 = 1

Y tomando nuevamente el punto (0, 1, 3) para sustituirlo las primeras derivadas parciales:

𝐺𝑥 0, 1, 3 = 2 0 = 0

𝐺𝑦 0, 1, 3 = 2 1 = 2

𝐺𝑧 0, 1, 3 = 1

Así que la gradiente es:

𝛻𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐺𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝐺𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

𝛻G 0,1,3 = 𝐺𝑥 0,1,3 𝑖 + 𝐺𝑦 0,1,3 𝑗 + 𝐺𝑧 0,1,3 𝑘

∴ 𝛻𝐹 0,1,3 = 0 𝑖 + 2 𝑗 + 𝑘

Para obtener la recta tangente, se aplica el producto cruz de las gradientes 𝛻𝐹 0,1,3 y 𝛻𝐺 0,1,3 :

𝛻𝐹 0,1,3 × 𝛻𝐺 0,1,3 = 𝑖 𝑗 𝑘0 4 120 2 1

𝛻𝐹 0,1,3 × 𝛻𝐺 0,1,3 = 𝑖 𝑗 𝑘0 4 120 2 1

𝑖 𝑗0 40 2

𝛻𝐹 0,1,3 × 𝛻𝐺 0,1,3 = 1 4 𝑖 + 0 12 𝑗 + 2 0 𝑘 − 0 4 𝑘 + 2 12 𝑖 + 1 0 𝑗

𝛻𝐹 0,1,3 × 𝛻𝐺 0,1,3 = 4 𝑖 − 24 𝑖 = −20 𝑖

∴ Se concluye que la recta −20 𝑖 representa una recta que es paralela al eje x y pasa por el punto 0,1,3 .

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.

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