ÁNGULO DE INCLINACIÓN EN UN PLANO TANGENTE TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Se define como el ángulo 𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2entre el plano dado y el plano 𝑥𝑦.

cos 𝜃 =𝑛 ∗ 𝑘

𝑛 𝑘=

𝑛 ∗ 𝑘

𝑛

Donde:

𝑘: es el vector unitario para el eje z.

𝑛: es el vector normal al plano 𝑥𝑦.

EJEMPLO

Hallar el ángulo de inclinación de un plano tangente para:

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3= 1

En 2, 2, 1 .

Solución:

De la función:

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3= 1

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3− 1 = 0

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3− 1

Derivándolo parcialmente con respecto a “x”:

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑥

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3− 1 =

1

12

𝜕

𝜕𝑥𝑥2 +

1

12

𝜕

𝜕𝑥𝑦2 +

1

3

𝜕

𝜕𝑥𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑥1 =

1

6𝑥

Con respecto a “y”:

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑦

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3− 1 =

1

12

𝜕

𝜕𝑦𝑥2 +

1

12

𝜕

𝜕𝑦𝑦2 +

1

3

𝜕

𝜕𝑦𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑦1 =

1

6𝑦

Con respecto a “z”:

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕

𝜕𝑧

𝑥2

12+

𝑦2

12+

𝑧2

3− 1 =

1

12

𝜕

𝜕𝑧𝑥2 +

1

12

𝜕

𝜕𝑧𝑦2 +

1

3

𝜕

𝜕𝑧𝑧2 −

𝜕

𝜕𝑧1 =

2

3𝑧

Y tomando en cuenta el punto 2, 2, 1 .

𝐹𝑥 2, 2, 1 =1

62 =

1

3

𝐹𝑦 2,2, 1 =1

62 =

1

3

𝐹𝑧 2, 2, 1 =2

31 =

2

3

Ahora, de la gradiente:

𝛻𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

𝛻𝐹 2, 2, 1 = 𝐹𝑥 2, 2, 1 𝑖 + 𝐹𝑦 2, 2, 1 𝑗 + 𝐹𝑧 2, 2, 1 𝑘

𝛻𝐹 2, 2, 1 =1

3 𝑖 +

1

3 𝑗 +

2

3𝑘

Finalmente, utilizando la fórmula del ángulo de inclinación:

cos 𝜃 =𝑛 ∗ 𝑘

𝑛=

𝛻𝐹 2, 2, 1 ∗ 𝑘

𝛻𝐹 2, 2, 1=

13 𝑖 +

13 𝑗 +

23𝑘 ∗ 𝑘

13

2

+13

2

+23

2=

23

19

+19

+49

=

23

69

=

23

63

=2

6

Despejando 𝜃:

cos 𝜃 =2

6

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos2

6

∴ 𝜃 ≈ 35.264°

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.

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