GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24A

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONESFUNCIONES

DEFINICIÓN

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cadaelemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como:

f: A Bx y

y se lee “f es una función de A en B”.

Se dice que y es la imagen de x mediante f lo cual se denota y = f(x), y que x espre-imagen de y.

Dominio de una función: es el conjunto formado por todas las pre-imágenes (x) y se denota Df.

Recorrido de una función: es el conjunto formado por todas las imágenes (y) y se denota Rf.

OBSERVACIÓN: y se denomina variable dependiente y x se denomina variable independiente.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo ]a, b[ ?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

x y

12345

5,56

233

2,5345

1 2 3 4 5

12345

6 x

y

Rec

orr

ido

Dominio

0

a b a b a b

C u r s o : Matemática

Material N° 24A

2

2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[?

A) B) C)

D) E)

3. Si f es la función señalada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes afirmacioneses verdadera?

A) Df = [1, 4]B) Rf = [0, 3[C) La imagen de 4 es 0.D) x = 5 tiene imagen.E) la pre-imagen de 1 es 0.

4. Sea f(x)= 3x 6 . ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio?

A) 6,66B) 6C) 3D) 2E) 0

5. El dominio de la función f(x) =x + 5x + 4

es

A) lR – {4}B) lR – {-4}C) lR – {-5}D) lR – {-4, -5}E) lR

y

xba

x

y

a b

y

xa b

y

xa b

y

xa b

3

1 2 3 4 5

y

x

fig. 1

3

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en lafórmula que define la función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entreparéntesis.

Algunos Tipos de Funciones

Función Continúa: Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si lafunción no es continua, se llama discontinua.

Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumentala variable dependiente.

Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variabledependiente disminuye.

Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, lavariable dependiente toma un único valor.

EJEMPLOS

1. Sea f: lR lR, una función definida por f(x) = 3x + 2. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Df = Rf

II) La imagen de 0 es- 23

.

III) La pre-imagen de 11 es 3.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. Si f(x) = x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es FALSA?

A) f(-1) = f(1)B) f(1) < f(3)C) f(-2) > f(1)D) f(0) < 0E) f(0) > f(-1)

3. Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?

A) 2B) 3C) 4,5D) 6E) 16

4

4. Sea f(x) = x2 – 2x + 1. Entonces, f(x + 2) =

A) (x + 1)(x – 2)B) (x + 1)2

C) (x – 1)D) (x + 2)2

E) (x + 2)(x + 1)

5. Con respecto al gráfico de la función f de la figura 1, ¿cuál de las siguientes alternativases FALSA?

A) f(-2) = -f(2)B) f(0) = f(0,5)C) f(1) > f(3)D) f es creciente en el intervalo [-2, 3].E) f es decreciente en el intervalo [2, 3].

6. Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) f(x) es creciente.II) g(x) es decreciente.

III) h(x) es decreciente.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

7. Si f(x – 1) = x2, entonces el valor de f(3) es

A) 1B) 4C) 9D) 16E) 25

1 2 3-1-2

-2

1

y

x

2

fig. 1

y

x

f(x)

g(x)

h(x)

fig. 2

5

Modelos Lineales

Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números realesdistintos de cero.

Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx , con m número real distintode cero.

Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c , con c un número real.

Función Afín Función Lineal Función Constante

OBSERVACIÓN: La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades: Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple que

f(a + b) = f(a) + f(b)

Para todo a perteneciente al Df y lR se cumple que

f( · a) = f(a)

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la ecuación de la función afín representada en el gráfico de la figura 1?

A) f(x) =34

x – 4

B) f(x) =34

x + 4

C) f(x) = -43

x + 4

D) f(x) =43

x + 4

E) f(x) = -34

x + 4

x

y

x

y

-3

4fig. 1

x

y

x

y

6

2. ¿Cuál es la ecuación de la función lineal representada en el gráfico de la figura 2?

A) y = -2x

B) y =12

x

C) y = -4

D) y = -12

x

E) y = 2x

3. Si en la ecuación y – 3 = 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x,¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) su dominio es el conjunto de los números reales.II) Su recorrido es {3}.

III) Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

4. Un aerogenerador comienza a funcionar cuando la velocidad del viento es 4 m/s,generando una potencia p(v) que aumenta a través de un modelo lineal, hasta alcanzarsu potencia máxima de 850 kW a una velocidad del viento de 12 m/s. El generadormantiene dicha potencia hasta que el viento logra una velocidad de 25 m/s, donde sedetiene en forma instantánea por motivos de seguridad. ¿Cuál de los siguientes gráficosrepresenta de mejor manera la situación descrita?

A) B) C)

D) E)

x

y

-4

2 fig. 2

4 12 25 v

p

4

12 25 v

850

p

850

4 12 25 v

p

850

4 12 25 v

p

850

4 12 25 v

p

7

APLICACIONES LINEALES

En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, esnecesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. Lafunción que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

EJEMPLOS

1. En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que elmodelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $ 118, ¿cuáles la función lineal que permite calcular el costo G de x kWh?

A) G = 641xB) G = 641 + 118xC) G = 118 + 641xD) G = 118xE) G = 118 – 641x

2. Si por cada 12 kilómetros recorridos un automóvil consume 1 litro de bencina, ¿cuál es lafunción lineal que permite calcular el consumo C de bencina en función de la cantidad dekilómetros x recorridos?

A) C = 12x

B) C = x12

C) C = x + 12D) C = x – 12

E) C = 12x

3. Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ 10.500.Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿cuáles la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempopactado?

A) C = ax – 10.500B) C = ax + 10.500C) C = a(x – 360) + 10.500D) C = a(x – 360) – 10.500E) C = a(x + 360) – 10.500

8

4. En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que elmodelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m3 sefacturó el mes pasado $ 6.000, ¿cuál es la función lineal que permite calcular el costoG de x m3 de agua?

A) G = 900 + 6.00015

x

B) G = 900 + 15 · 6.000 xC) G = 900 – 15 · 6.000 x

D) G = 900 + 6.000 90015 x

E) G = 900 – 6.000 90015 x

5. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior?

A) B) C)

D) E)

RESPUESTAS

EjemplosPágs.

1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 C E C E B3 y 4 D E E B D B D5 y 6 D A E A7 y 8 B B C D D

DMTRMA24A

5 10 15

6.000

900

G

x

6.000

5 10 15

900

G

x

6.000

5 10 15

900

G

x

5 10 15

6.000

900

G

x 5 10 15

6.000

900

G

x

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