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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA TRES VARIABLES TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
EJEMPLO
Hallar las derivadas parciales de orden superior para la siguiente función:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧
Solución:
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑥𝑥 ln 𝑧 = 𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝜕
𝜕𝑥𝑥
∴ 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦𝑥 ln 𝑧 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝑦 + 𝑥 ln 𝑧
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑧𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑧𝑥 ln 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑧1 + 𝑥
𝜕
𝜕𝑧ln 𝑧
∴ 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑥
𝑧
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥=𝜕2𝑓
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑥ln 𝑧 = 𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝜕
𝜕𝑥1
∴ 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦ln 𝑧 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝑦 + ln 𝑧
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑧𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝑓𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧𝑦𝑒𝑥 +
𝜕
𝜕𝑧ln 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑧1 +
𝜕
𝜕𝑧ln 𝑧
∴ 𝑓𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =1
𝑧
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥
∴ 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦=𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑧𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑧1
∴ 𝑓𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥
𝑥
𝑧=1
𝑧
𝜕
𝜕𝑥𝑥
∴ 𝑓𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =1
𝑧
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥
𝑧=𝑥
𝑧
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧=𝜕2𝑓
𝜕𝑧2= 𝑥
𝜕
𝜕𝑧
1
𝑧= 𝑥
𝜕
𝜕𝑧𝑧−1 = 𝑥 −𝑧−2
∴ 𝑓𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑥
𝑧2
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥2=𝜕3𝑓
𝜕𝑥3=
𝜕
𝜕𝑥𝑦𝑒𝑥 = 𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥
∴ 𝑓𝑥𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑥𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑦𝑦𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑥𝑦
∴ 𝑓𝑥𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑥𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑥2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑧𝑦𝑒𝑥 = 𝑦𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑥1
∴ 𝑓𝑥𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥
∴ 𝑓𝑥𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑥𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦2𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑥𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑥𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑧𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑧1
∴ 𝑓𝑥𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥
1
𝑧=1
𝑧
𝜕
𝜕𝑥1
∴ 𝑓𝑥𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑥𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦
1
𝑧=1
𝑧
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑥𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑥𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧2𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑧
1
𝑧=
𝜕
𝜕𝑧𝑧−1 = −𝑧−2 = −
1
𝑧2
∴ 𝑓𝑥𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑦𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥
∴ 𝑓𝑦𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦2𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑦𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑦𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑧𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝜕
𝜕𝑧1
∴ 𝑓𝑦𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑥0
∴ 𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=𝜕3𝑓
𝜕𝑦3=
𝜕
𝜕𝑦0
∴ 𝑓𝑦𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑦𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑧0
∴ 𝑓𝑦𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑦𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥0
∴ 𝑓𝑦𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦0
∴ 𝑓𝑦𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑦𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧2𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑧0
∴ 𝑓𝑦𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑧𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥
1
𝑧=1
𝑧
𝜕
𝜕𝑥1
∴ 𝑓𝑧𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑧𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑦
1
𝑧=1
𝑧
𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑧𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑧𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧2𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑧
1
𝑧=
𝜕
𝜕𝑧𝑧−1 = −𝑧−2 = −
1
𝑧2
∴ 𝑓𝑧𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑧𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥0
∴ 𝑓𝑧𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑧𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦2𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑦0
∴ 𝑓𝑧𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑧𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧=
𝜕3𝑓
𝜕𝑧2𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑧0
∴ 𝑓𝑧𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑧𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧3=
𝜕
𝜕𝑥−
𝑥
𝑧2= −
1
𝑧2𝜕
𝜕𝑥𝑥
∴ 𝑓𝑧𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑧𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2=
𝜕3𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧2=
𝜕
𝜕𝑦−
𝑥
𝑧2= −
𝑥
𝑧2𝜕
𝜕𝑦1
∴ 𝑓𝑧𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Derivando parcialmente con respecto a z:
𝑓𝑧𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝜕
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2=𝜕3𝑓
𝜕𝑧3=
𝜕
𝜕𝑧−
𝑥
𝑧2= −𝑥
𝜕
𝜕𝑧
1
𝑧2= −𝑥
𝜕
𝜕𝑧𝑧−2 = −𝑥 −2𝑧−3 =
2𝑥
𝑧3
∴ 𝑓𝑧𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =2𝑥
𝑧3
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 𝑓𝑥𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥
𝑓𝑥𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 , 𝑓𝑥𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 𝑓𝑥𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
𝑓𝑥𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑥𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =1
𝑧
𝑓𝑥𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑥𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 𝑓𝑥𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 𝑓𝑦𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥
𝑓𝑦𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑦𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑦𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 𝑓𝑦𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑦𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑦𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 𝑓𝑦𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑥
𝑧 𝑓𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =1
𝑧
𝑓𝑧𝑥𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑧𝑥𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 𝑓𝑧𝑥𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
𝑓𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑧𝑦𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑧𝑦𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 𝑓𝑧𝑦𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑥
𝑧2 𝑓𝑧𝑧𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1
𝑧2
𝑓𝑧𝑧𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 𝑓𝑧𝑧𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =2𝑥
𝑧3
