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DIFERENCIAL TOTALTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
INTRODUCCIÓN
Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 y ∆𝑥 y ∆𝑦 son los incrementos en 𝑥 y en 𝑦, entonces las diferenciales de las variables independientes 𝑥 y 𝑦 son:
𝑑𝑥 = ∆𝑥
𝑑𝑦 = ∆𝑦
Y la diferencial total de la variable independiente 𝑧 es:
𝑑𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
DOS EJEMPLOS APLICADOS AL HALLAZGO DE LA DIFERENCIA TOTAL EN LAS SIGUIENTE FUNCIONES
a) 𝒛 = 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚 − 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐
Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a "x" y con respecto a "y":
𝜕𝑧
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2𝑦2 =
𝜕
𝜕𝑥2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −
𝜕
𝜕𝑥3𝑥2𝑦2
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝑥 − 3𝑦2
𝜕
𝜕𝑥𝑥2 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 1 − 3𝑦2 2𝑥
∴𝜕𝑧
𝜕𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 6𝑥𝑦2 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2𝑦2
𝜕𝑧
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦3𝑥2𝑦2
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 2𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3𝑥2
𝜕
𝜕𝑦𝑦2 = 2𝑥 cos 𝑦 − 3𝑥2 2𝑦
∴𝜕𝑧
𝜕𝑦= 2𝑥 cos 𝑦 − 6𝑥2𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦
Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de z:
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
∴ 𝑑𝑧 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 6𝑥𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑥 cos 𝑦 − 6𝑥2𝑦 𝑑𝑦
b) 𝒘 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a "x", con respecto a “y” y con respecto a "z":
𝜕𝑤
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =
𝜕
𝜕𝑥𝑥2 +
𝜕
𝜕𝑥𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑥𝑧2
𝜕𝑤
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2
𝜕
𝜕𝑥1 + 𝑧2
𝜕
𝜕𝑥1 = 2𝑥 + 𝑦2 0 + 𝑧2 0
∴𝜕𝑧
𝜕𝑥= 2𝑥 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =
𝜕
𝜕𝑦𝑥2 +
𝜕
𝜕𝑦𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑦𝑧2
𝜕𝑤
𝜕𝑦= 𝑥2
𝜕
𝜕𝑦1 +
𝜕
𝜕𝑦𝑦2 + 𝑧2
𝜕
𝜕𝑦1 = 𝑥2 0 + 2𝑦 + 𝑧2 0
∴𝜕𝑤
𝜕𝑦= 2𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧
Y para la derivada parcial con respecto de “z” es:
𝜕𝑤
𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑧𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 =
𝜕
𝜕𝑥𝑥2 +
𝜕
𝜕𝑥𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑥𝑧2
𝜕𝑤
𝜕𝑧= 𝑥2
𝜕
𝜕𝑥1 + 𝑦2
𝜕
𝜕𝑥1 +
𝜕
𝜕𝑥𝑧2 = 𝑥2 0 + 𝑦2 0 + 2𝑧
∴𝜕𝑤
𝜕𝑧= 2𝑧 = 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧
Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de w:
𝑑𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧
𝑑𝑧 = 2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 2𝑧 𝑑𝑧
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.
