Funciones. Teoría

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TEMA 5 Matemáticas

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1.- El concepto de función

En ocasiones nos encontramos con situaciones donde conviene expresar la relación que

hay entre dos magnitudes que dependen una de la otra. Así por ejemplo, lo que

pagamos por comprar manzanas depende de su peso, el coste de una llamada de teléfono

depende de su duración, el consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad a

la que circula y la temperatura que alcanza el agua depende del tiempo que esté en el

fuego.

Todas estas situaciones pueden expresarse mediante:

Un enunciado.

Una tabla de valores.

Un gráfico cartesiano.

Una fórmula, ecuación o expresión algebraica.

Sea cual sea la forma de expresarla, las características comunes de estas situaciones son:

Hay dos variables, que llamaremos x e y.

Una depende de la otra:

La variable independiente es x: le podemos asignar valores sin que se vea

afectada por la otra variable.

La variable dependiente o imagen es y, que también se expresa como y = f(x): los

valores que adopta vienen dados por los que tenga la variable independiente,

porque dependen de ella. Por ejemplo, si compramos manzanas, el precio que

pagamos sería la variable dependiente y, ya que está en función del peso de las

manzanas (variable independiente).

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A los valores que puede tomar la variable independiente solo le corresponde un único

valor de la variable dependiente (una única imagen). Es decir, para un determinado

peso solo le corresponde un precio, no dos. Ejemplo

2.- La representación de una función

Una función se representa gráficamente mediante una gráfica, que está formada por un

sistema de referencia de coordenadas cartesianas, determinado por dos ejes, que son dos

rectas perpendiculares graduadas, que conocemos como eje de abscisas (el eje

horizontal) y eje de ordenadas (el vertical).

Para representar gráficamente una función, situamos la x (o variable independiente) en el

eje de abscisas y la y (o variable dependiente) en el eje de ordenadas. A continuación,

dibujaremos los puntos p (x, y) representativos de todos los pares ordenados de números

reales (x, y) de forma que y = f(x).

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Observa cómo se representa un punto de una función en un gráfico cartesiano.

Para representar una función seguimos estos pasos:

1. Preparamos una tabla con los pares de valores x e y (y = f (x)).

2. Asociamos cada pareja de valores de la tabla con un punto del gráfico de la función.

3. Unimos los puntos con una línea que representará la función. Si esta línea se

representa con un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel, diremos que se

trata de una función continua, en caso contrario, diremos que es discontinua.

Por ejemplo: vamos a representar la función del precio (p) de unas fresas en relación a su

peso. Si sabemos que el kilo de fresas cuesta 1,8 €:

x = peso.

y = precio.

y = 1,8 x.

Preparamos la tabla:

Peso (kg) x 0,5 1 1,5 2

Precio (€) y = f (x) 0,9 1,8 2,7 3,6

Asociamos a cada pareja de valores ordenados de la tabla un punto en el gráfico:

p (0,5, 0,9).

p (1, 1,8).

p (1,5, 2,7).

p (2, 3,6).

Unimos los puntos con una línea, que representará la función. En nuestro caso hemos

obtenido una función continua, ya que se ha podido dibujar toda la línea sin levantar el

lápiz del papel.

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Observa la representación de esta función en un gráfico cartesiano. Al unir con una línea los

puntos (que corresponden a los valores de la tabla), se representa la función. Como esta línea se

representa con un solo trazo, decimos que es una función continua.

.

Según sea el tipo de función, podemos obtener diferentes tipos de gráficas. Fíjate en los

siguientes gráficos y di cuáles corresponden a una función y cuáles no:

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Los gráficos B, C, D representan funciones; pero los gráficos A y E no, fíjate que en ellos la

variable x tiene más de una imagen.

La representación gráfica de una función

El gráfico de una función f es la representación en el plano del conjunto de pares de

valores (x, y), donde y = f (x), para todos los posibles valores de x.

Para representar gráficamente una función se realiza lo siguiente:

Se hace la tabla de valores correspondiente.

Cada pareja de valores de la tabla se representa en el plano cartesiano con un

punto.

Se unen con una línea los puntos del plano cartesiano. Según el tipo de gráfica

podrás unir o no con un solo trazo los puntos obtenidos.

Unos símbolos muy útiles.

En la representación gráfica de algunas funciones se utilizan símbolos que ayudan a la comprensión de lo que pasa en un punto, o cerca de de él (en su entorno). Está generalizado el uso de un punto en blanco para indicar que ese punto no forma parte de la gráfica y un punto relleno cuando sí lo es.

3.- Las funciones lineales

Las funciones lineales son aquellas cuya gráfica es una recta. Su expresión algebraica,

donde:

La y es la variable dependiente.

La m y b son dos números reales.

La x es la variable independiente.

Es: y = mx + b

El coeficiente de las x, m, recibe el nombre de pendiente y mide la inclinación de la

recta.

La b es una constante llamada ordenada en el origen, que es el punto de ordenadas

donde la recta corta el eje de las y.

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3.1 La pendiente: crecimiento y decrecimiento de una función

Al coeficiente de las x, m, lo llamamos pendiente de una función, ya que indica la

inclinación de la recta, que puede ser positiva o negativa:

Una función tiene pendiente positiva cuando al aumentar o disminuir el valor de la

variable independiente también lo hace (aumenta o disminuye) la variable

dependiente. Al trazar la recta, de izquierda a derecha, esta sube. Se dice que la

función es creciente.

Una función tiene pendiente negativa cuando al aumentar la variable independiente, la

variable dependiente disminuye; y al revés. Al trazar la recta, de izquierda a derecha,

esta baja. Se dice que la función es decreciente. Fíjate en el signo de m:

m > 0, positivo cuando la función es creciente.

m < 0, negativo cuando la función es decreciente.

Comprueba que si tomas dos valores cualesquiera de la variable x, x1 y x2, se cumple lo

siguiente:

La pendiente es igual a la división del incremento de la variable y (lo que sube o baja)

entre el incremento de la variable x (lo que avanza):

Fíjate en la función: y = 2x + 2.

Tomamos los puntos x1 = 1 y x2 = 2 y los sustituimos en la ecuación de la función:

f (1) = 2 · 1 + 2 = 4

f (2) = 2 · 2 + 2 = 6

Así, obtenemos los puntos (1, 4) y (2, 6) y vemos que se cumple:

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El valor obtenido, m = 2, coincide con el coeficiente de las x, es decir, con la pendiente de

la recta.

Prueba a hacer lo mismo con otros dos puntos. Recuerda que x2 corresponde a la

x mayor, más a la derecha, a la que le restamos un punto, x1, situado a su izquierda.

Estas rectas son representaciones de funciones lineales con distinta pendiente mpero la

misma ordenada en el origen, 2.

¡Atención! Fíjate que a medida que aumenta el coeficiente m de la x, el ángulo que

forman las rectas con el semieje OX también crece. Es decir: a mayor coeficiente de x,

mayor inclinación de la recta.

Las funciones lineales

La función lineal es de la forma y =mx + b.

La b es la ordenada en el origen. El punto de ordenada donde la función corta el eje

Y.

El coeficiente m (pendiente) muestra la inclinación.

Si m > 0, la función es creciente (la recta pasa por el cuadrante 1.º y el 3.º).

Si m < 0, la función es decreciente (la recta pasa por el 2.º y el 4.º cuadrante).

Si m = 0, la función ni crece ni decrece (la recta es paralela al eje X).

Para calcular m, conociendo dos puntos de la función, puedes aplicar la siguiente fórmula:

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4.- Estudio de una función

Para estudiar una función debemos recopilar todos los datos que están relacionados con la

función, como son: el domino y el recorrido, los puntos de corte, la monotonía (crecimiento

o decrecimiento), la continuidad y los extremos.

4.1 Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable

independiente x.

El recorrido, imagen o rango de una función es el conjunto de valores que toma la

variable dependiente y (conjunto de llegada).

4.2 Los puntos de corte

Los puntos de corte son los puntos donde la gráfica de la función corta los ejes de

coordenadas:

La línea de una función corta como máximo en un punto al eje de ordenadas

(Y). Comprobamos si x = 0 pertenece al dominio de la función:

Si no pertenece: no existe ningún punto de corte en el eje de ordenadas.

Si pertenece: sustituimos x por 0 y obtenemos el valor de y. El punto obtenido

(0, f (0)) será el punto de corte con el eje de ordenadas.

La línea de una función puede cortar el eje de abscisas (X) tantas veces como

soluciones tenga f (x) = 0.

Observa la diferencia que hay entre los puntos de corte con los ejes en estas dos gráficas y

analízalos.

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4.3 La monotonía: crecimiento y decrecimiento de una función

Para estudiar la monotonía de una función hay que valorar su crecimiento y su

decrecimiento. Una función puede ser creciente, constante o decreciente:

Creciente: cuando al aumentar el valor de x, se incrementa el valor de y. Su gráfica se

dibuja hacia arriba: m > 0. La función es creciente.

Constante: cuando al aumentar el valor de x, el valor de y se mantiene constante. Su

gráfica es una línea paralela al eje X: m = 0. La función ni crece ni decrece.

Decreciente: si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. Su gráfica se dibuja

hacia abajo: m < 0. La función es decreciente.

Pero hay funciones que no mantienen en todo su recorrido una tendencia creciente o

decreciente. En esas funciones se mira el crecimiento y decrecimiento en detalle, es decir,

nos tendremos que fijar en lo que ocurre en la proximidad de cada punto, en su

entorno. Según esto, se pueden producir dos circunstancias:

Creciente en un punto: cuando “sube” (al aumentar el valor de x aumenta el valor

de y) en todos los puntos de su entorno.

Decreciente en un punto: cuando “baja” (al aumentar el valor de x disminuye el valor

de y) en todos los puntos de su entorno.

4.4 La continuidad

Decimos que una función es continua cuando su representación gráfica no presenta

interrupciones, es decir, podemos dibujarla sin levantar el bolígrafo del papel. En caso

contrario, decimos que es discontinua o que presenta discontinuidades.

4.5 Los extremos: máximos y mínimos de una función

Los máximos de una función son los puntos en los que el valor de la función es mayor

que en el resto de los puntos próximos (su imagen sería parecida a la cima de una

montaña). Una función presenta un máximo en un punto si es creciente a la izquierda

de ese punto y decreciente a la derecha. Una función puede presentar más de un

máximo.

Los mínimos de una función son aquellos puntos en los cuales el valor de la función es

menor que en el resto de los puntos próximos (su imagen sería parecida al punto más

bajo de un valle). Una función presenta un mínimo en un punto si es decreciente a la

izquierda del punto y creciente a la derecha. Una función puede presentar más de un

mínimo.

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Observa con atención cómo se representan los máximos, mínimos y puntos de corte de una

función en estas dos gráficas.