57 geometría proporcional 1

C u r s o : Matemática

Material N° 31

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 31

UNIDAD: GEOMETRÍA

GEOMETRÍA PROPORCIONAL I

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean, respectivamente,congruentes con los ángulos del otro o cuando las razones de los lados correspondientes seancongruentes.

OBSERVACIONES

Esta definición encierra la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos sonsemejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos deuno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además,tengan sus lados homólogos proporcionales.

La congruencia es un caso particular de semejanza.

EJEMPLOS

1. Si en la figura 1, ABC A’B’C’, entonces es

A) igual a ’B) un cuarto de ’C) un tercio de ’D) el doble de ’E) el triple ’

2. Los lados de un triángulo miden 30 cm, 50 cm y 60 cm. ¿Cuánto mide el lado más largo deun triángulo semejante con él y cuyo lado menor mide 20 cm?

A) 30 cmB) 40 cmC) 50 cmD) 60 cmE) 70 cm

A’

C’

B’’

6

9

C

A B

2

4 3

fig. 1

A

C

B P

R

Q

ABC PQR

A PB QC R

AB BC CA = =

PQ QR RP

2

3. En la figura 2, si ABC DEF, entonces, DE mide

A) 2B) 5C) 8D) 14E) 16

4. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?

I) II) III)

A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

5. El triángulo ABC de la figura 3, es escaleno y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ACD ABCII) BCD BAC

III) ADC ACB

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

6. Son polígonos semejantes:

I) Dos Cuadrados.II) Dos Rombos.

III) Dos hexágonos regulares.

De las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdaderas(s)

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

3

A B

C

2 x – 8

21

D E

F

3x – 1

fig. 2

70°

30°150°

70°80°

110°

A BD

C

fig. 3

3

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de lasseis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellasprovocan necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.

TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)

Dos triángulos serán semejantes, cuando dos ángulos de uno de ellos sean, respectivamente,congruentes a dos ángulos del otro.

O sea, en la figura 1:

COROLARIO

Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero.


EJEMPLOS

1. En el paralelogramo ABCD de la figura 3, EF // AB . ¿Cuál(es) de las afirmacionessiguientes es (son) siempre verdadera(s)?

I) EPD es semejante con CDB.II) EPD es equivalente con FPB.

III) ABD es congruente con CDB.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

A B

D E

C

fig. 2

Si A P y B Q

entoncesABC PQR

Si DE // AB ,entonces

CDE CAB

fig. 1

C

A B

R

P Q

fig. 3

A B

D C

E P F

4

2. En el PQR de la figura 4, ST // PQ . Si RS : SP = 2 : 5 y PQ =14 , entonces ST mide

A) 4B) 5,6C) 6,5D) 7E) 11

3. ¿Cuál es el valor de x en la figura 5, si se sabe que L1 // L2?

A) 3B) 4C) 9D) 14E) 21

4. En la figura 6, CA AB y ED // AC . ¿Cuál es el área del cuadrilátero ADEC?

A) 12B) 60C) 72D) 90E) 96

5. En la figura 7, PQ // MN . Si MN mide el triple de PQ , ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos PQR y MNR son isósceles.II) Los triángulos PQR y MNR son semejantes.

III) MR es el triple de QR .

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3P Q

S T

R

fig. 4

M N

P Q

R

fig. 7

12

E

C

A D 4 B16

fig. 6

fig. 518

L1

L2

2x + 3

12x + 5

5

TEOREMA 2

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entrelados proporcionales.


TEOREMA 3

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.


TEOREMA 4

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamenteproporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.


EJEMPLOS

1. Si en la figura 4, ABC DEF. ¿Cuál es la medida de la suma de los segmentos DE y EF?

A) 214

B) 274

C) 304

D) 514

E) 614

2. Según los datos dados en la figura 5, ¿cuál es la medida del segmento AC?

A) 12B) 10C) 8D) 6E) 4

1210

7

C

BA

9

F

y

D Ex

fig. 4

m

A

C

B

3

7

3x – 6

P

R

Q6

14

3xmfig. 5

Si A P yAC AB

=PR PQ

, entonces ABC PQR

Si AB BC CA= =

PQ QR RP, entonces ABC PQR

Si C R yAC AB

=PR PQ

,

entonces ABC PQR

AB > AC PQ > PR

fig. 3

P Q

R

q

rA B

C

k · r

k · q

fig. 2

P Q

R

q p

r

C

A B

k · q

k · r

k · p

C

A B

b

c

fig. 1

R

P Qk · c

k · b

6

3. Según los datos de la figura 6, ¿cuál es la medida del segmento PQ?

A) 12B) 18C) 24D) 27E) 54

4. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo escaleno de lafigura 7?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

5. Si PQR STU (fig. 8), entonces el valor de (x – y) es

A) 4B) 6C) 10D) 14E) 21

6. En la figura 9, AC : DF = BC : EF, entonces BC=

A) 4B) 5C) 7D) 14E) 28

fig. 7a b

c

a + 2 b + 2

c + 2

1,3 a 1,3 b

1,3 c

a2

b2

c2

P Q

R

14 8

x S T

U

7 y

5

fig. 8

A B

C

83x – 7

fig. 9

D E

F

4 x

P Q

R

4x 2y

70°fig. 6

A C

3y 6x

70°

36

B

7

TEOREMA 5

En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazoshomólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros (fig. 1).

TEOREMA 6

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón enque se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).

OBSERVACIÓN: Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes.

EJEMPLOS

1. En la figura 2, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. ¿Cuál es el perímetrodel CDE?

A) 36B) 32C) 27D) 21E) 18

2. Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 3, son semejantes. S y S’ representan lasáreas del primer y segundo triángulo, respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) a : a’ = 1 : 2II) hc : hc’ = 1 : 4

III) hc : hc’ = tc : tc’

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

A c B

C

b atc

ha

A’ c’ B’

C’

b’ a’tc’

ha’

fig. 1

C

A B

hc tca

C’

A’ B’

a’

tc’hc’

fig. 3

fig. 2

A B

D E

C

616

12

8

c a

c' a'

b t h= =

b' t h=

PerímetroΔABC

Perímetro

ΔA'B'C'

= ....

ÁreaΔABC

Área

ΔA'B'C'

=2 22

c a

c a'

b t h= =

b' t h'

= ....

8

3. En la figura 4, si ABC A’B’C’, AB: A’B’ = 1 : 3 y h = 3, entonces h’ mide

A) 3B) 5C) 6D) 8E) 9

4. Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 1 : 2. ¿Cuál es la razón de susáreas, respectivamente?

A) 1 : 2B) 1 : 2C) 1 : 4D) 1 : 6E) 1 : 10

5. Las diagonales de dos cuadrados miden 3 2 y 4 2 , respectivamente. ¿Cuál es la razónde sus perímetros?

A) 3 : 2

B) 2 : 3

C) 3 : 2D) 3 : 4E) ninguna de las anteriores

6. En la figura 5, el área del ABC es 80 cm2. Si DE // BC , ¿cuál es el área del trapecioDBCE?

A) 20 cm2

B) 35 cm2

C) 40 cm2

D) 45 cm2

E) 60 cm2

A

C

B

h

fig. 4

A’

C’

B’

h’

E

A D B

12

C

9

fig. 5

9

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellasson, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD // BE // CF.

Entonces:

EJEMPLOS

1. En la figura 2, si L1 // L2 // L3, entonces x vale

A) 0B) 2C) 3D) 4E) 6

2. Si en la figura 3, L1 // L2 // L3, entonces x + y =

A) 24B) 11C) 8D) 5E) 3

4 2

x + 2 x – 1

L1

L2

L3

fig. 2

L1

L2

L3

6

x

8

y

16

4

fig. 3

AB DE=

BC EF

A

B

C

D

E

F

L1L2

fig. 1

10

3. En la figura 4. Si L1 // L2 // L3, entonces, x + yy

=

A)23

B)35

C)32

D)53

E)52

4. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras la medida de x es 5?

I) II) III)

A) Sólo en IB) Sólo en IIIC) Sólo en I y en IID) Sólo en I y en IIIE) En I, en II y en III

5. En la figura 5, si ABCD es paralelogramo y EF // CD , entonces la medida de GF es

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

6. En la figura 6, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . Si EF // AB , BF : FC= 1 : 2 yAD = 30 cm, ¿cuál es la medida de AE ?

A) 10 cmB) 15 cmC) 20 cmD) 25 cmE) 30 cm

L1

L3

L2

15

10 x

y

fig. 3

L1 // L2 // L3

L1

12 15

L2 L3

4x

L1 // L2

1512L1 L2

4x

L1 // L2

L1

L2

4

15

12

x

fig. 5

D C

A B

GE F4

6

fig. 6

A B

D C

E F

5

11

RESPUESTAS

DMTRMA31

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 A B D D E C

3 y 4 C A C D B

5 y 6 D D C D B D

7 y 8 C B E C D B

9 y 10 D B D D A A

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