GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 32

UNIDAD: GEOMETRÍAGEOMETRÍA PROPORCIONAL II

TEOREMAS DE EUCLIDES

El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura.

a y b: catetos

c: hipotenusa

p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura hc al cuadrado es igual al productoentre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

c

c

q h =

h p

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto al cuadrado es igual alproducto entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

p a =

a c

q b =

b c

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 2, CD es altura. ¿Cuál es la medida deCD ?

A) 3 13

B) 2 13C) 6D) 4E) 36

2. En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 3, BD es altura. ¿Cuál es la medida deAD ?

A) 10B) 8C) 2D) 2 5

E) 4 5

A

C

B

D2

4

fig. 3

a2 = p c b2 = q c

A C

4

9

D

fig. 2

B

A D B

C

b a

c

q

hc

p

fig. 1

2ch = p q

C u r s o : Matemática

Material N° 32

2

1

BA

C

3

Dfig. 4

3. En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 4, AD es altura. ¿Cuál es la medida de

BC ?

A) 2 2

B) 6 2C) 8D) 9E) 10

4. En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 5, BD es altura. ¿Cuál es la medida de

AB ?

A) 3 5

B) 6 5C) 6D) 10E) 13

5. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida de

BC ?

A) 5B) 8C) 4 6

D) 4 3

E) 4 2

6. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, CD es altura. ¿Cuál es la medida del

cateto AC ?

A) 48B) 16C) 4 3

D) 2 6E) 4

7. Según los datos proporcionados por la figura 8, la medida de x es

A) 1,5B) 2 5

C) 3 5D) 5E) 9

A

B

CD 315

fig. 5

A

C

BD 412

fig. 6

D

A

B

C

4 2fig. 7

2 2

D

A

C

B

fig. 8

x

4

6

3

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan enel interior de ella, el producto de los segmentosdeterminados en una de ellas es igual al producto desegmentos determinados en la otra.

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazandos secantes, el producto de una de ellas por su segmentoexterior es igual al producto de la otra secante por susegmento exterior.

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazanuna tangente y una secante, la tangente al cuadrado esigual al producto entre la secante y su segmento exterior.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de la figura 1, AB y CD son cuerdas que se intersectan en P. SiAP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide

A) 24 cmB) 21 cmC) 13,5 cmD) 6 cmE) 3 cm

2. En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14 yPT = 8, entonces TU es igual a

A) 8B) 16,5C) 24,5D) 41E) 49

A D

C B

P

A

B

C

D

P

AB

T

P

AP · PB = CP · PD

PA · PC = PB · PD

=2

PT PA · PB

fig. 1

DP

CA

B

R

S

U

PT

O

fig. 2

4

3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB es tangente y AC secante. Entonces,según los datos proporcionados en al figura, ¿cuál es la longitud de DC ?

A) 18B) 21C) 25D) 29E) 30

4. En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC, entonces la cuerda AC mide

A) 36B) 18C) 9D) 6 2

E) 3 2

5. En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR = 5 cm yPS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT ?

A) 1 cmB) 2 cmC) 4 cm

D)57

cm

E) 13 cm

6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante.

Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MN mide

A) 144 cmB) 72 cmC) 32 cmD) 12 cmE) 3 5 cm

P

Q

T

R

S

fig. 5

E

fig. 4

A

B

C

D

E

6

3

S

N

M

R

O

fig. 6

A

B

C

D10

4fig. 3

O

5

DIVISIÓN DE TRAZOS

DIVISIÓN INTERNA

Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n

DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA

Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modoque la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre elsegmento mayor y el menor.

(AP > PB)

OBSERVACIÓN: La razónAB

APse denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO:

EJEMPLOS

1. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 5 : 3. Si PB = 36 cm,¿cuánto mide AB ?

A) 12 cmB) 48 cmC) 60 cmD) 72 cmE) 96 cm

2. Un punto Q divide en sección áurea a un trazo CD, con CQ > QD. Si CD = 10 cm yCQ = x, entonces la ecuación para determinar x es

A) x2 + 10x – 100 = 0B) x2 – 10x + 100 = 0C) x2 – 10x – 100 = 0D) x2 + 10x + 100 = 0E) x2 + x – 100 = 0

AP m=

nPB A BP

A BP

=AB

AP= 5 + 1

2 1,618034

AB AP=

AP PB

6

3. ¿Cuál(es) de los siguientes trazos, se encuentra(n) dividido(s) interiormente por elpunto P en la razón 2 : 3?

I)

II)

III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

4. En la figura 1, R divide en sección áurea a PQ siendo PR < RQ. Entonces, se cumple que

A) x2 = m · nB) n2 = m · xC) m2 = n · xD) n = m · xE) m = n · x

5. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 3 : 7. Si AB mide 25 cm,¿cuál es la medida de AP ?

A) 2,5 cmB) 7,5 cmC) 9,5 cmD) 17,5 cmE) 18,5 cm

6. La pierna y el brazo de Juan están en razón áurea, respectivamente. Si la pierna mideun metro de longitud, entonces ¿cuánto mide el brazo?

A)5 + 1

2m

B)5 + 1

3m

C)5 1

2

m

D)5 1

3

m

E)5 1

4

m

20

A BP 12

152

A BP5

6

18

A BP

fig. 1n

m

P QR x

7

RESPUESTAS

DMTRMA-32

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EjemplosPágs.

1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 C B D B D C D

3 y 4 A D B D A D

5 y 6 E A C A B C