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Actividad 3.1
Ecuaciones Lineales G. Edgar Mata Ortiz
Ecuaciones de Primer Grado con
una Incógnita.
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
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La matemática se construye como una herramienta para resolver problemas que se presentan en la realidad,
sin embargo, el conocimiento matemático se va refinando y desarrollando por sí mismo, convirtiéndose en un
objeto de estudio. Es así como, al realizar operaciones algebraicas, se encuentran regularidades que, al
generalizarse, se convierten en reglas empíricas o leyes de la matemática.
En el presente material se aborda el tema de los productos notables, que surgen como una consecuencia de la
aplicación de algoritmos algebraicos y la observación de regularidades que podemos convertir en reglas para
facilitar el procedimiento de la multiplicación.
Estas reglas, al mismo tiempo, se emplean para resolver operaciones algebraicas más complejas que las
estudiadas hasta ahora.
Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3
Los modelos matemáticos. ...................................................................................................................................4
El lenguaje de la ciencia. .......................................................................................................................................4
Los modelos lineales. ............................................................................................................................................4
Ecuaciones lineales. ..................................................................................................................................................4
Solución de una ecuación lineal. ..........................................................................................................................4
Aplicaciones del álgebra. ......................................................................................................................................5
El modelo de G. Polya para resolver problemas. .................................................................................................5
Ejemplo del procedimiento. .................................................................................................................................6
Orden en la resolución de problemas. .....................................................................................................................7
Llenado del formato. ............................................................................................................................................7
La práctica en la resolución de problemas. ..........................................................................................................9
Modelos matemáticos en los problemas resueltos. ............................................................................................. 11
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Introducción. Los primeros conocimientos matemáticos que adquirimos en la educación
básica son; la aritmética y geometría. Con estas dos herramientas
resolvemos una gran cantidad de problemas de índole práctica, por
ejemplo:
Se va a pintar una barda y es necesario determinar la
cantidad de pintura que deberá comprarse. Es obvio
que no se desea comprar más de la necesaria, sólo la
suficiente para que la barda quede protegida del
ambiente y tenga mejor aspecto.
Situaciones como la anterior son comunes en la vida cotidiana y se
resuelven prácticamente sin esfuerzo, utilizando nuestros conocimientos
básicos de matemáticas. Los datos del problema se encuentran en:
Consulta los datos faltantes y explica, en las líneas siguientes, el proceso
de solución del problema.
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Elabora una presentación, explicando cómo se desarrolla el modelo
matemático para resolver el problema de pintar la barda, y la forma en
que la solución obtenida debe ser interpretada para que tenga sentido en
la realidad.
Aplicaciones
del álgebra.
El álgebra suele ser
considerada, sobre todo,
como una herramienta para
la resolución de problemas.
Mediante el razonamiento
matemático se puede
entender y describir una
situación real.
El primer paso para
implementar dicho
razonamiento matemático,
consiste en ampliar nuestro
conocimiento cuantitativo y
espacial de la realidad.
Una vez que conocemos las
características numéricas y
geométricas de un
problema, es posible
elaborar una representación
precisa de la situación.
La representación rigurosa
de la realidad recibe el
nombre de modelo
matemático, en seguida,
aplicamos el conocimiento
algebraico, geométrico y/o
diferencial al prototipo
obtenido y producimos una
solución.
Es importante subrayar que
la respuesta proviene de un
modelo, por lo tanto, será
aplicable a la situación real,
solamente en la medida que
el contexto sea fielmente
representado por la
metáfora teórica que
elaboramos.
𝑨 =𝒃 × 𝒉
𝟐
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Los modelos matemáticos. Existen diferentes tipos de modelos matemáticos; deterministas, estocásticos, lineales, no lineales, entre
muchos otros.
Consulta los tipos de modelos matemáticos, agrégalos a la presentación del problema “Pintar la barda”, e
identifica a qué tipo de modelo pertenece dicho problema.
El lenguaje de la ciencia. Tal como se ha comentado a lo largo de estas actividades, la matemática es un
lenguaje, y para construir modelos precisos, es necesario traducir la
información, de la realidad, al lenguaje de la ciencia.
En este material, vamos a practicar el proceso de construcción de modelos matemáticos lineales para resolver
problemas que, en algunos casos, podrían solucionarse por ensayo y error; pero no estamos interesados
solamente en la respuesta, lo más importante es el proceso de abstracción que nos permita elaborar el
prototipo del problema.
Los modelos lineales. Uno de los aspectos fundamentales en el modelado matemático es la forma de relación que se establece entre
las variables; cuadrática, exponencial, lineal, logarítmica, entre muchas otras. Los problemas que vamos a
plantear en esta actividad serán resueltos mediante modelos de primer grado, es decir, las relaciones entre las
variables serán siempre lineales.
Ecuaciones lineales. Las ecuaciones son proposiciones que indican la igualdad entre dos expresiones algebraicas, cuando estas son
de primer grado, entonces son ecuaciones lineales. Ejemplos:
2𝑥 − 3𝑦 = −5 3𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 1 4𝑥 + 3 =2𝑥−5
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Cuando alguna de las incógnitas está elevada a un exponente diferente de uno, o contiene funciones
trascendentes, como seno, coseno, logaritmo, entonces no es una ecuación lineal. Ejemplos:
5𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 2𝑥𝑦 − 3𝑥 + 5𝑦 = 4 𝑥
𝑦= 𝑥 − 𝑦
Solución de una ecuación lineal. A diferencia de un polinomio, donde las literales se consideran variables y pueden tomar cualquier valor; en
una ecuación, las literales son incógnitas, y no pueden tomar cualquier valor. Resolver una ecuación significa
determinar los valores que pueden tomar las incógnitas. Dichos valores se caracterizan porque, al sustituirse en
la ecuación, se obtiene una afirmación verdadera. Cuando se sustituye cualquier otro valor, se obtiene una
afirmación falsa. Ejemplo:
La ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟕, solamente tiene una solución: 𝒙 = 𝟏.
Al sustituir el valor 𝒙 = 𝟏, en la ecuación se obtiene una afirmación verdadera: 𝟐(𝟏) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟐 + 𝟓 = 𝟕
Al sustituir cualquier otro valor en la ecuación obtendremos una afirmación falsa, probamos con: 𝒙 = 𝟐
𝟐(𝟐) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟒 + 𝟓 = 𝟕
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Aplicaciones del álgebra. Este tema suele resultar difícil para la mayoría de los alumnos, requiere habilidades que no se practican, o se
practican poco cuando se han empleado modelos educativos centrados en el trabajo del profesor.
Es necesario disponer de alguna estrategia general, que pueda aplicarse independientemente del tipo de
problema que se esté resolviendo. En este material vamos a aplicar la metodología de George Polya con
algunas modificaciones que se han considerado necesarias para una mejor implementación del modelo
educativo por competencias.
El modelo de G. Polya para resolver problemas. Este modelo consta de 4 pasos.
1. Entender el problema
Mediante preguntas: ¿Qué nos están
preguntando?, ¿Cuáles datos están
disponibles?
2. Configurar un plan para resolver el problema
Este paso es el más complicado; requiere de
una serie de ensayos y búsquedas heurísticas
para diseñar dicho plan. En nuestro caso vamos
a emplear dos preguntas básicas: ¿Qué
relación existe entre los datos y lo que nos
están preguntando? ¿Cómo se relacionan los
datos unos con otros?
3. Ejecutar el plan
Para efectuar esta parte del proceso es necesario emplear nuestros conocimientos de álgebra; operaciones
algebraicas básicas, propiedades de la igualdad, resolución de ecuaciones, entre otros.
4. Mirar hacia atrás
Significa que debemos interpretar el resultado del proceso algebraico y ver su significado en términos del
problema que se está resolviendo. ¿Se cumplen las condiciones establecidas por el problema? ¿Se ha
determinado el valor de todas las cantidades que el problema indica?
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Ejemplo del procedimiento. Para comprender mejor este proceso vamos a iniciar con un problema muy sencillo, recuerda que
lo importante no es la solución, sino obtener el modelo matemático que describe el problema.
Completa la información faltante en las líneas indicadas.
Una fábrica de ropa puede producir 7000 pantalones. Según el estudio de mercado,
deben fabricarse el doble de pantalones talla M que de talla G, y 452 piezas más de
talla Ch que de talla G. ¿Cuántas piezas de cada talla deben fabricarse?
De acuerdo con el procedimiento de Polya, el primer paso consiste en entender el
problema, lo cual significa responder a dos preguntas:
¿Qué nos están preguntando?
¿Cuáles datos están disponibles?
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El segundo paso es el más complejo, consiste en configurar un plan para resolver el
problema. Se basa en dos conceptos básicos:
Encontrar las relaciones entre los datos y los que nos están preguntando; entre los
propios datos; y expresar todas estas relaciones en lenguaje algebraico. El resultado final
de este paso es un modelo matemático que se expresa con la forma de una ecuación de
primer grado con una incógnita.
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El tercer paso es, probablemente, el más sencillo, solamente deben efectuarse
procedimientos algebraicos, puramente mecánicos, para resolver la ecuación que se
obtuvo en el segundo paso.
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El último paso es de gran importancia. Cuando resolvemos la ecuación, solamente
obtenemos el resultado del modelo matemático, y puesto que dicho modelo es una
ecuación, obtenemos el valor de una incógnita.
Pero este valor de la incógnita debe ser interpretado y contrastado con la realidad
para verificar que tenga sentido y que cumpla con todas las condiciones establecidas
en el problema real.
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Orden en la resolución de problemas. Al resolver problemas de razonamiento, cada persona emplea sus propias estrategias, es necesario
establecer una forma de presentar los procedimientos y resultados de modo que sea más sencillo
comunicarnos. Con esta finalidad, se empleará el formato F3, que puede descargarse del siguiente
enlace, para la entrega de los problemas resueltos en clase o de tarea.
Enlace: http://licmata-math.blogspot.mx/2014/09/problems-solving-in-4-easy-steps.html
Llenado del formato. Veamos cómo llenar la información del problema de la fábrica de pantalones, en el formato F3.
Completa la información faltante en las siguientes tablas.
Paso 1. Entender el problema: Identificar las cantidades desconocidas, elegir la que se tomará
como incógnita y establecer las relaciones necesarias para representarlas algebraicamente.
Cantidad desconocida Información disponible Expresarla en lenguaje
algebraico
Número de pantalones talla Grande
Incógnita x
Número de pantalones talla Mediana
El doble de piezas de talla Mediana que de talla Grande 2x
Número de pantalones talla Chica
452 piezas más de talla Chica que de talla Grande
Dado que se ha entendido el problema, debemos configurar el plan, es decir, obtener la ecuación que
representa el problema. No olvides que se debe indicar cómo se obtiene la ecuación.
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Obtener la ecuación.
Paso 2. Configurar plan: Determinar el proceso para obtener la ecuación y anotarla.
Explicar de dónde se obtendrá la ecuación Ecuación
La suma de los pantalones talla Grande, Mediana y Chica
debe ser igual al total de pantalones producidos (7000):
P Talla G + P Talla M + P Talla Ch = 7000 x + 2x + _________ = 7000
El tercer paso consiste en resolver la ecuación: Y el cuarto paso: Anotar la respuesta y verificar.
Paso 3. Ejecutar el plan: Resolver la
ecuación
Paso 4. Interpretar el valor de la incógnita y
verificar que cumple con las condiciones del
problema.
4𝑥 + 452 = 7000
𝑥 =
Deben fabricarse:
x Número de piezas talla G = _______
2x Número de piezas talla M = _______
________ Número de piezas talla Ch = _______
Total = 7000
El problema ha sido resuelto, pero lo más importante ha sido observar cómo se construye el modelo
matemático que toma la forma de una ecuación y, posteriormente, se aplican conocimientos algebraicos
básicos para obtener la solución de la ecuación.
El valor de la incógnita, por sí mismo, no significa nada, es necesario interpretarlo, con base en la situación real,
y verificar que cumple con todas las relaciones y condiciones establecidas en la redacción del problema
original.
Otro aspecto que debemos considerar es; la existencia de otras formas de abordar el
problema. Sencillamente eligiendo como incógnita alguna otra de las cantidades
desconocidas. Ya vimos qué sucede al elegir como incógnita la cantidad de pantalones
de talla grande que van a fabricarse, pero, ¿y si se elige como incógnita la cantidad de
pantalones talla mediana?, ¿y los de talla chica?, ¿afectará al resultado final del
problema?, ¿y al valor de la incógnita?
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Resuelve el problema de la fábrica de pantalones empleando una estrategia
diferente. Utiliza el formato 3.1.
1. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla mediana y resuelve el problema
2. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla chica y resuelve el problema
3. Elabora un reporte comparando las diferentes estrategias de solución señalando y explicando:
a. ¿Afecta al nivel de dificultad, la cantidad desconocida que se toma como incógnita?
b. ¿El resultado final del problema cambia según la elección que se haga?
c. ¿El valor de la incógnita es diferente en cada caso? ¿por qué?
d. ¿Cómo se debería elegir el valor de la incógnita para que el procedimiento sea más sencillo?
4. Publica este reporte en tu blog y escribe un comentario de 100 palabras, en el blog de tu compañero de
equipo, comparando las respuestas que dieron a estas preguntas.
La práctica en la resolución de problemas. El segundo paso en el método de Polya es, generalmente, el que mayores dificultades presenta, ya que no
existe una forma única para analizar los problemas. La mejor forma de desarrollar la habilidad para llevar a
cabo este segundo paso es a través de la práctica.
Es necesario resolver problemas de diferentes tipos para que la búsqueda heurística de estrategias de solución
se vuelva más eficiente.
Resuelve los siguientes problemas utilizando el formato F3.1, si alguna parte del
procedimiento no cabe, anótalo a la vuelta del mismo formato.
1. Epitacio aceptó trabajar un verano en el rancho de su tío, durante tres meses,
por $6500 y un automóvil usado. Al cabo de dos meses se requería su presencia
en la casa de sus padres, por lo que su tío sólo le pagó $2000 y el automóvil.
¿Cuál es el valor del automóvil?
2. La señora Evelyn planeaba gastar $3915 en telas para su tienda “El
perdido”. Encontró la tela con un 15% de descuento, por lo que pudo
comprar 15 metros más, aunque gastando $4437. ¿Qué cantidad de tela
había planeado comprar, cuántos metros compró finalmente, y cuál era el
precio de la tela, sin descuento, por metro?
3. En un concierto los boletos costaron: $450 en el área
general; $800 en numerado; y $1280 en VIP. El ingreso
total fue de $9’978,120. Se vendieron 425 boletos más de
general que de VIP y el doble de numerados que de
general. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada clase?
¿Cuántos boletos se vendieron en total?
4. Una fábrica de golosinas produce una barra de chocolate de 9 cm de
largo, por 3.5 de ancho y 3 de espesor. Con la finalidad de reducir costos
se ha decidido disminuir la cantidad de producto en un 20%; para ello, se
dejará la misma longitud de la barra, pero se reducirán, en la misma
cantidad, la altura y el espesor de la barra. ¿Cuáles serán las nuevas
dimensiones de la barra de chocolate?
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5. En un viaje de 1200 kilómetros Juan Carlos empleó 4.5 horas manejando bajo la
lluvia y 8 horas 45 minutos en tiempo despejado. La velocidad en el tramo lluvioso
fue 16 km/h menor que la velocidad en el tramo seco. Determina la velocidad con
que viajó en el tramo lluvioso, la velocidad en el tramo seco, y las distancias
recorridas en ambas circunstancias.
6. La fábrica de rodamientos “Torreón” tiene una línea de producción de
chumaceras que está fabricando cuatro tipos de piezas: Tipo puente, Tipo
brida, Tensora y de cartucho. La línea puede producir 9,300 piezas por
bimestre. Por datos históricos sabemos que la chumacera tipo puente se
vende el doble que la de brida; la de brida se venden 630 piezas más que la
tensora; y la tensora se vende el triple que la de cartucho. ¿Cuántas piezas
de cada tipo deben fabricarse cada mes?
7. Unas instalaciones de montaña que dan servicio a los esquiadores en
invierno, estuvieron parcialmente atendidas por estudiantes durante
el verano. En dicho verano hubo una cantidad de estudiantes
trabajando que era el triple de la cantidad de empleados
permanentes. Cuando terminaron las vacaciones de verano, 40 de
loes estudiantes regresaron a la escuela y se contrató a 30
trabajadores permanentes (no estudiantes) para el invierno. Si en
esta situación había el doble de no estudiantes que de estudiantes,
¿cuántas personas en total atendieron las instalaciones en invierno?
8. Un químico tiene dos soluciones, la primera contiene 20% de ácido, y la
segunda, 35%. ¿Cuántos ml de cada solución deben mezclarse para obtener 50 ml de
solución con 30% de ácido?
9. Marcela dispone de $15,000 para invertir. Piensa depositar una parte en una cuenta
de ahorros que produce el 5% de interés, y el resto en un fondo de inversiones que
ofrece el 8.5% de interés. ¿Cuánto debe invertir en cada instrumento para obtener
una ganancia de $1000?
10. Angélica tiene un negocio de compra – venta de teléfonos celulares usados.
Mediante un contacto pudo comprar 120 teléfonos Nokia nuevos, aunque
descontinuados, a muy buen precio: la mitad de ellos del modelo A (más
avanzado) con un costo $180 mayor que el modelo B (más sencillo), y la otra
mitad del modelo B.
Estos teléfonos, a pesar de estar descontinuados son muy populares, por lo que en una semana vendió
la mitad de los teléfonos que compró del modelo A, con una ganancia de $600 en c/u; y tres cuartas
partes de los teléfonos que compró del modelo B, con una ganancia de $280 en c/u; y calculó que
solamente necesitaba tener ingresos por otros $7200 para recuperar la inversión. ¿Cuántos teléfonos
de cada modelo compró?, ¿Cuántos teléfonos de cada modelo vendió en la primera semana?, ¿Cuánto
invirtió en total?, si la tendencia de venta sigue igual, ¿En cuánto tiempo venderá todos los teléfonos?,
¿Cuánto será su ganancia cuando esto suceda?
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Modelos matemáticos en los problemas resueltos. En cada problema resuelto se llevó a cabo un proceso de abstracción; se simplificó la información del mundo
real y se representó como un problema matemático.
Después, se resuelve el problema matemático y nos da como resultado el valor de la incógnita.
Este valor es la respuesta del modelo, no del problema original, por lo que debe ser interpretado en términos
de la realidad que representa.
Explica las etapas del modelado matemático empleada en los problemas 1 al 10:
1. Abstracción: De la situación real al modelo matemático.
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2. Análisis: Resolución del modelo
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3. Interpretación: Del valor arrojado por el modelo, al resultado del problema
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Lecturas recomendadas.
