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SISTEMAS DE ECUACIONES 4 METODOS
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EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA
ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA Clase Nº 2: SISTEMA DE ECUACIONES
Prof. Christian Farinango
www.eduvirtual.tk
14/10/2010
A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al
estudiante en el mundo de los sistemas de ecuaciones por los métodos de Eliminación,
Sustitución, Igualación y Gráfico, muy necesarios como base en el estudio del algebra. Este
documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del
mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.
Sistemas de Ecuaciones Lineales:
1. Método de Eliminación: Consiste en Eliminar una incógnita del sistema de ecuaciones
dado.
Ejemplo:
a) 3� � 2� � 13
b) 2� � 3� � 12
Para eliminar la incógnita “Y” debemos multiplicar a cada ecuación:
(-3) 3� � 2� � 13
(2) 2� � 3� � 12
Quedando de la siguiente manera:
9� 6� � 39
4� � 6� � 24 Procedemos a restar:
5� � 15 Despejamos:
X = 3
ESTE VALOR DE LA INCÓGNITA LOS REEMPLAZAMOS EN CUALQUIER ECUACIÓN Y
DESPEJAMOS:
3��� � 2� � 13
� � 2� � 13
2� � 13 �
� � �
2. Método de Sustitución:
i) Despejar una incógnita en cualquier ecuación.
ii) Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación y
resolvemos.
Ejemplo:
a) 3� � 2� � 13
b) 2� � 3� � 12
Despejamos “Y” en la ecuación a) � � ������
Sustituimos en la ecuación b) m.c.m. = 2 2� � 3 ������� � � 12
Resolvemos: �2� �2� � 3 ������� � � 12�
4� + 3�13 − 3�� = 24
4� + 39 − 9� = 24
−5� = 24 − 39
−5� = −15
� = 3
Una vez encontrado el valor de una incógnita procedemos como el caso anterior a
reemplazarla en cualquier ecuación o en la ecuación despejada y resolvemos.
� = 13 − ����2
� = 13 − �2
� = �2
� = �
3. Método de Igualación:
i) Despejar una incógnita en las 2 ecuaciones.
ii) Igualar las dos ecuaciones despejadas y resolver.
Ejemplo:
� �� − � = −�� + �� =
Despejamos: �! = �� − �" = #���
Igualamos: �! =�"
m.c.m. = 2 �� − = #���
Resolvemos: ���� − � = + ��
�� − � = + ��
�� − �� = + �
� = �
Reemplazamos para encontrar Y:�! = �� −
� = ���� −
� = $ −
� = %
4. Método Gráfico.- Graficamos cada ecuación y los puntos (X ; Y) donde se intersecan las
rectas, son las soluciones al sistema.
Ejemplo:
a) 3� � 2� � 13
b) 2� � 3� � 12
Construimos las tablas de cada ecuación:
Dando Valores de 0 para X y 0 para Y en cada Ecuación.
Ecuación a) Ecuación b)
X Y
0 4
6 0
Ejemplos de Cálculo:
Ecuación a): Ecuación b):
X = 0 X = 0
3(0)+2y=13 2(0)+3y=12
2y=13 3y=12
Y=13/2 y=12/3
Y = 6,5 y = 4
Y = 0 Y = 0
3x+2(0)=13 2x+3(0)=12
3x=13 2x = 12
X=13/3 x=12/2
X = 4,33 x = 6
Graficamos:
Solución: X=3 Y=2 Estos son los puntos donde se intersecan las ecuaciones.
X Y
0 13/2 =
6,5
13/3 =
4,33
0
Casos particulares:
EL SISTEMA TIENE VARIAS SOLUCIONES: Cuando las rectas de sus dos ecuaciones coinciden en
todos sus puntos. Ejemplo:
&' � 2� � 3� � 64� � 6� � 12
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN: Cuando las rectas de las ecuaciones no se intersecan.
Ejemplo: &' �3� 4� � 12
4� 4� � 24
EJERCICIOS:
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR LOS 4 MÉTODOS ESTUDIADOS:
i) ��� − � = �(�� + � = �)
ii) �(, �� + (, �� = �, %(, (%� + (, � =
iii) �(, ��� − �� = (, ��(, �� = (, %� + �� iv) +,�� − �� = �%�� + ��� = −,
v) -�� − �� = (��− �� = $
Referencias:
MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.
SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.
http://fooplot.com, Trazador de ecuaciones online.
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