Upload
impulsa-tec-tlatlauquitepec
View
1.215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
Algebra Lineal
Unidad INúmeros Complejos
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Un número Complejo es una expresióndel tipo
• donde a y b son números reales, i esun símbolo que denota la parteimaginaría
biaz
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Este tipo de números, por elmomento, aparecen entre lassoluciones de ecuaciones algebraicascon una incógnita. Por ejemplo laecuación
012 xx
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Comenzaremos por introducir unnuevo número o símbolo, denotado pori, el cual sería llamado la unidadimaginaria y que cumple con lacondición
• O bien
12 i
1i
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Ejemplos
iz 32
8z
iz 12
Númeroimaginario puro
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Suma
• Ejemplo
ibazibaz 222111 y Sean
sería suma La
212121 ibbaazz
iz 431 iz 932
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Resta
• Ejemplo
ibazibaz 222111 y Sean
sería resta La
212121 ibbaazz
iz 431 iz 932
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Estas operaciones de suma y restasatisfacen las siguientes propiedadesgenerales
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z + W como Z - W son complejos
2. Propiedad asociativa
Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
– Sean: Z, W y U números complejos
3. Propiedad conmutativa
Z + U = U + Z
4. Propiedad del elemento neutro
Z + 0 = Z
5. Propiedad del opuesto
Z + ( - Z ) = ( - Z ) + Z = 0
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Ejemplos
iziz 48con 23Sumar 21
iziz 32 restarle 74A 21
iii-i 2736810125Z
en Zde valor elCalcular
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.1 Definición y origen de los númeroscomplejos
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Producto
dicWbiaZ y Sean
es producto El
ibcadbdacZW
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Ejemplo
iWiZ 53y 26Sean
ZWEncontrar
iWZ 23y 8Sean
ZWEncontrar
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Propiedades del producto
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z W es un número complejo
2. Propiedad asociativa
Z ( W U ) = (Z W ) U
3. Propiedad conmutativa
Z U = U Z
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
– Sean: Z, W y U números complejos
4. Propiedad del elemento neutro
Z 1 = Z
5. Propiedad del inverso
Z Z-1 = 1
6. Propiedad distributiva
Z ( W + U ) = Z W + Z U
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Conjugado de Z
• Si es un número complejo,entonces el CONJUGADO de Z,denotado por , es un númerocomplejo definido por
• Ejemplos
biaZ
Z
biaZ
iZ 92 iZ 97
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• División• Sean: Z y W dos números complejos, y
W0 podemos hacer la división de Z enteW de la forma siguiente
•
2W
WZ
W
W
W
Z
W
Z
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Ejemplo
iWiZ 53y 26Sean
W
ZEncontrar
iWiZ 32y 43Sean
W
ZEncontrar
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.2 Operaciones fundamentales connúmeros complejos
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
• Representación geométrica– Plano complejo
Eje real
Eje imaginario
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
• El modulo de Z
• Si es un número complejo,el MODULO de Z, es el número real
• Ejemplos
biaZ
22 baZ
iZ 43 iZ 93
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
• Algunas propiedades del modulo son:
– Sean: Z, W y U números complejos
11 .5
.4
.3
0 si soloy si 0 .2
0 .1
ZZ
WZZW
WZWZ
ZZ
Z
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
• El módulo de un número complejo Z esigual a la distancia desde el punto Zhasta el origen
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo
• Forma polar
a
b1tanNota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo
• Ejemplos– Hallar la forma polar de:
a) En el primer cuadrante
b) En el segundo cuadrante
c) En el tercer cuadrante
d) En el cuarto cuadrante
.Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
iZ 22
iZ 43
iZ 43
iZ 21
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo
• Multiplicación y división en la formapolar
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
isenWZZW cos
cosy cosSean isenWWisenZZ
isenW
Z
W
Zcos
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo
• Ejemplo
• Calcular la multiplicación y división enforma polar
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
2626cos3y 9595cos2Sean isenWisenZ
iWiZ 53y 26Sean
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo
1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo
• Potencias
• Entonces
• Ejemplo– Sea calcule la
potencia de orden cinco de este número,es decir Z5
–Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo
positivo enteroun es y cos Sea nisenZZ
nisennZZnn cos Sea
3030cos2 isenZ
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número
complejo.
• Teorema de Moivre y raíces
• Entonces
• Ejemplo– Hallar todas las ráices cúbicas de
.
isenZZ cos Sea
buscada raiz...3,2,1,0 donde
2
2 cos
2
2 cos Sea
1
11
1
k
n
kisen
n
kZW
n
kisen
n
kZZ
n
nn
k
3030cos8 isenZ
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número
complejo.
• Ejercicios
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.6 Ecuaciones polinómicas
• Algunas ecuaciones que no se puedenresolver en el conjunto de losnúmeros reales, tiene solución ene lconjunto complejo.
• En general, se verifica que todaecuación polinómica con coeficientesreales en el conjunto de los númeroscomplejos, pudiendo ser éstas númeroreales o imaginarios.
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
1.6 Ecuaciones polinómicas
• Ejemplo
0166
054
09
23
2
2
xxx
xx
x
Ing. Álvaro Chávez Galavíz lunes, 24 de agosto de 2015
Tarea • Algebra y trigonometría con
geometría analítica– Walter Fleming/Dale Varberg
– Editorial Prentice Hall
– Pag. 45
– Sección de problemas 1-6• Del 1 al 22
• Del 23 al 30
• Del 31 al 38
• Del 43 al 51