Algunas ideas sobre la resolucion de problemas

ALGUNAS IDEAS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASPor: Santiago Fernández Fernández

Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia- Billbao

1.-Introducción

La resolución de problemas, sin duda, es la actividad más compleja e importante que se plantea en Matemáticas. Los contenidos cobran sentido desde el momento en que es necesario aplicarlos para poder resolver una situación problemática.

La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas, no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un instrumento pedagógico de primer orden.

Resolver problemas es una cuestión de gran importancia en el currículo escolar. Una de las competencias transversales de las matemáticas tiene que ver con la resolución de problemas. El “saber hacer” en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, .....pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido.

La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar.

La escuela es el lugar donde los alumnos deben aprender a resolver problemas, por tanto hay que dedicar un tiempo importante a esta misión. El matemático húngaro G.Polya, decía al respecto: "la resolución de problemas es un arte práctico, como nadar o tocar el piano. De la misma forma que es necesario introducirse en el agua para aprender a nadar, para aprender a resolver problemas, los alumnos han de invertir mucho tiempo enfrentándose a ellos". Trabajar de esta manera hará que poco a poco los alumnos interioricen estrategias y sugerencias de aplicación, en la medida en que las utilizan para resolver diferentes situaciones problemáticas.

2.-¿Qué es un problema matemático?

Hay variadas definiciones de dicho término (ver anexo I)

Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento algorítmico.

Otra definición interesante es la siguiente:

Apuntes realizados por Santiago FernándezAsesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia- Bilbao

1

Un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata.

Evidentemente, no todos los problemas son igualmente interesantes. En términos generales, para afrontar la resolución de un problema hemos de tener en cuenta, que el problema tenga una serie de características:

Sea un problema interesante La no existencia de un camino inmediato. Sea una situación acorde con los saberes del alumno.

Aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.

Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones:

Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, “perder el tiempo” investigando...

Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del alumnado.

Es un tipo de "conocimiento basado en la experiencia" (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo) , siendo más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro.

Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión.

Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas.

La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer matemáticas no es otra cosa que resolver problemas.

3.-Qué tipos de problemas

Es evidente que hay problemas más interesantes que otros. Hay problemas que únicamente se plantean en la escuela y están sacados fuera de contexto, por ejemplo:

1.-Una aldeana va al mercado con una cesta que contiene 14.500 huevos de gallina ¿cuántas docenas de huevos tiene la cesta?


2

Es claramente un problema sin sentido, pues ¿cuál es el tamaño de tal cesta?

En ocasiones se proponen problemas del tipo:

2.-Calcula el área de un terreno rectangular que tiene las siguientes dimensiones: 256 metros de largo por 34 metros de ancho.

En este caso el problema se reduce a aplicar una fórmula. Pero, es que además, en la práctica no hay terrenos perfectamente rectangulares sino que tenemos que realizar algún tipo de descomposición para calcular su área o bien realizar una aproximación acorde con la situación.

Hay otras situaciones que aparecen bajo el epígrafe de problemas, por ejemplo:

3.- Calcular el valor de y verificar si es mayor o menor que 0,75

Esta es una situación muy habitual en nuestras aulas, pero hay que decir claramente que no constituye un problema, sino un ejercicio.

Conviene dejar muy claro la diferencia entre problema y ejercicio.

Los ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para el resolutor. Al realizarlos, el alumno visualiza perfectamente el camino a seguir, la dificultad puede estar en el manejo de los procedimientos elegidos, mientras que el pensamiento original es escaso, por lo que no exige un gran esfuerzo creativo sino más bien de destreza en el procedimiento. Además, los ejercicios generalmente tienen una única solución, son actividades de entrenamiento, de aplicación. En este sentido pertenecen a un pensamiento convergente.

Características de los ejercicios

Características de los problemas

Se ve claramente lo qué hay que hacer.

Se resuelven en un tiempo relativamente corto

La finalidad es la aplicación mecánica de procedimientos algorítmicos.

Generalmente tienen una sola solución

Son muy numerosos en los libros de texto

No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la

Suponen un reto para el resolutor.

Requieren más tiempo para su resolución

La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que se poseen, y recurrir a estrategias de tipo heurístico para poder resolverlos

Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas

Suelen ser escasos en los libros de texto

La persona que se implica en la resolución lo hace emocionalmente. El bloqueo


3

persona que lo resuelve. inicial, debido a que la situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y perseverancia por encontrar la solución.

Es de señalar, que hay otro tipo de problemas que aparecen continuamente en nuestra vida cotidiana y que requieren de un pensamiento estratégico: calcular tiempos de viaje, realizar estimaciones de distancias, realizar cálculos monetarios, etc. y que sin embargo trabajamos poco en el aula.

Si nos fijamos en los problemas que se suelen plantear en la vida cotidiana, tienen unas características que podemos resumir en la siguiente lista:

En la vida cotidiana, el primer paso y en ocasiones el más difícil antes de resolver un problema, es el reconocimiento de que ese problema existe.

Los problemas suelen estar están mal estructurados

Las soluciones a los problemas suelen depender del contexto.

Los problemas que se nos plantean en la vida cotidiana no tiene una única solución... e incluso los criterios que definirían cuál de todas es la mejor solución, no siempre están claros.

Además este tipo de problemas, dependen al menos tanto de conocimiento oficial como del extraoficial.

Los problemas planteados suelen resolverse en grupo.

Muchos de los problemas suelen ser complicados, confusos y persistentes.

4.-Problemas en la Enseñanza Primaria

La Resolución de Problemas en la Enseñanza Primaria pivota en dos planteamientos.

4.1.-DIDÁCTICA RÍGIDA

Este planteamiento se basa en los estudios de diversos autores, entre los que destacan los didactas franceses: Guy Brousseau, Yves Chevallard y Gerard Vergnaud. Por esta razón, algunos autores la denominan didáctica de la escuela francesa. En España muchos han seguido también esta línea, entre ellos cabe destacar los trabajos del profesor Luis Pereda.

El planteamiento de la llamada Didáctica Rígida, tiene unas fases perfectamente secuenciados y pautadas y que por tanto hay que seguir. La mayoría de los problemas planteados son de origen aritmético, es decir, aquellos problemas que en su enunciado, presentan datos en forma de cantidades y se establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, y las


4

preguntas que se presentan en el problema hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, necesitando la realización de operaciones aritméticas básicas para su resolución.

Por ejemplo:

o Ana y Unai están haciendo una colección de cromos: Ana tiene 137 cromos y Unai tiene 32 cromos más que Ana. ¿Cuántos cromos tiene Unai?

o En clase hay 19 alumnos. Después de repartir todos los caramelos de una bolsa entre todos los alumnos, a cada uno le han correspondido 7 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?

o El coche de mi hermano consume 7 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Cuando salió de casa antes de iniciar un viaje, el depósito estaba lleno y caben 65 litros. Después de andar 650 km., ¿qué distancia podría recorrer todavía sin volver a repostar combustible?

Para afrontar este tipo de didáctica se plantea la siguiente secuenciación:

o Problemas aritméticos de primer nivelo Problemas aritméticos combinados o de segundo nivelo Problemas aritméticos de tercer nivel

A.- Problemas aritméticos de primer nivel

Podrían llamarse también de un solo paso, ya que es necesaria la aplicación de una sola operación para su resolución. Básicamente se pueden clasificar en situaciones aditivo-sustractivas y multiplicación-división, dependiendo del tipo de operación necesaria para su resolución

Aclaraciones al tipo de problemas aritméticos de primer nivel


5

PROBLEMAS ARITMÉTICOS(De primer Nivel)

Problemas Suma / Resta

Problemas Multiplicación / División

de cambio de combinación de comparación de igualación

de repartos equitativos

de factor K de razón de producto

A.1.-Problemas de Suma/ Resta

Problemas de cambio: Se identifican porque en el texto del enunciado incluyen una secuencia temporal, muchas veces manifestada a través de los tiempos verbales utilizados

Ejemplo: María tenía en su hucha hace un mes 31 euros. Ahora tiene 53 euros ¿Cuánto dinero he ahorrado durante este mes?

Problemas de combinación: En su enunciado se describe una relación entre conjuntos que unidos forman el todo La pregunta del problema hace referencia a la determinación de una de las partes o del todo.

Ejemplo: En una sala que contiene 205 sillas se ocuparon 132 ¿cuántos asientos se encontraban vacíos?

Problemas de comparación: Son problemas en los que, a través de un comparativo de superioridad (más que…) o de inferioridad (menos que…), se establece una relación de comparación entre dos cantidades

Ejemplo: Ana tiene 156 canicas y su hermano Mikel tiene 34 canicas menos ¿ cuántas canicas tiene Mikel?

Problemas de igualación En su enunciado incluyen un comparativo de igualdad (tantos como… , igual que… ). Son situaciones en las que se da al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación. Dicho de otro modo, una de las cantidades debe modificarse o se modifica creciendo o disminuyendo para llegar a ser igual a la otra cantidad

Ejemplo: Marta tiene 25 libros de cuentos, mientras que su prima Amaia tiene 14 libros de cuientos ¿Cuántos libros más debe tener Amaia para tener el mismo número de libros que Marta?

Para resolver este tipo de problemas es conveniente apropiarse de un cierto esquema de resolución, el siguiente es muy conveniente.

Como ejemplo de la aplicación de este esquema, veamos los siguientes problemas:


6

o Amaia ha leído 55 páginas de un libro .Todavía le faltan 32 páginas para acabarlo.¿Cuántas páginas tiene el libro que está leyendo Amaia?

Mientras que este otro problema:

o De los 12 libros en una estantería se han leído 6 libros ¿cuántos libros no se han leído?

Responde al esquema:

A.2.-Problemas Multiplicación / División

Problemas de repartos equitativos o de grupos iguales. Son aquellas situaciones en las que una cantidad total debe repartirse entre un cierto número de grupos, de modo que cada grupo reciba el mismo número de elementos.

Ejemplo: En una reunión hay 15 personas. Después de repartir todas las rosas de un gran ramo , a cada persona le han correspondido 6 rosas. ¿Cuántos rosas tenía el ramo?

Problemas de factor K o de comparación multiplicativa. Son muy similares a las situaciones aditivas de comparación. En ellos intervienen dos cantidades del mismo tipo las cuales se comparan para establecer entre ellas una razón o factor (K).

Ejemplo: Una camisa cuesta 48 euros. Unos calcetines cuestan 8 veces Menos que la camisa ¿Cuánto cuestan los calcetines?


7

Problemas de razón o de tasa. Este tipo de problemas incluye en el enunciado informaciones que hacen referencia a medidas de tres magnitudes diferentes. Una de ellas, la llamada magnitud intensiva o tasa que resulta de relacionar las otras dos (una de las magnitudes dadas en el problema respecto a la unidad de la otra magnitud ej. km/h, euros/kilo,…)

Ejemplo: Por un saco de alubias hemos pagado 36 euros. Si el precio de las alubias es de 3 euros por kilogramo, ¿cuántos kilos

pesa el saco de alubias?

Problemas de producto cartesiano. Son problemas generalmente de conteo muy organizado en el que se trata de combinar de todas las formas posibles , los objetos de un tipo con los objetos de otro tipo

Ejemplo: Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 30 formas diferentes. Si tengo 5 pantalones.¿Cuántas camisas tengo?

B.-Problemas aritméticos combinados

También llamados problemas aritméticos de segundo nivel. Para su resolución es necesario realizar varias operaciones (dos o más) en un cierto orden

Problemas combinados fraccionados. Son aquellos en los que en el enunciado aparecen varias preguntas encadenadas, las cuales ofrecen al resolutor un plan perfectamente ejecutable para responder a la última pregunta, que es propiamente la finalidad del problema.

Ejemplo: Marta lleva en la cartera 250 €. Entra a una tienda de ropa y compra 2 pantalones que le cuestan 48 € cada uno y 3 camisas a 20 € la unidad. ¿Cuánto dinero valen los dos pantalones? ¿Cuánto paga por las camisas? ¿Cuánto dinero gasta Marta en la tienda? ¿Cuánto dinero le quedará en la cartera al salir?

Problemas combinados compactos. Son más complejos que los fraccionados ya que en ellos aparece solamente una pregunta al final del enunciado. En este caso el resolutor debe relacionar los datos y concebir el plan que le llevará hasta la solución del problema.

Ejemplo: El coche de gasoil tiene un depósito de 60 litros y consume 6 litros cada 100 kilómetros. Cuando salió de casa el depósito estaba lleno. Después de andar 450 km., ¿qué distancia podría recorrer todavía sin volver a repostar combustible?


8

Problemas combinados puros. Es un tipo de problema en el que los que los pasos intermedios a realizar para resolver el problema pertenecen todos al mismo campo operativo-conceptual. Es decir se aplican bien sumas y/o restas, o bien multiplicaciones y/o divisiones. pero no hay mezcla de operaciones.

Ejemplo: Los cuatro cursos de mi escuela han ido a la piscina municipal . Cada curso tiene 22 alumnos y en total hemos pagado un total de

176 euros ¿cuánto nos ha costado a cada alumno la entrada a la piscina?

Problemas combinados mixtos. En su resolución intervienen distintas operaciones pertenecientes a campos conceptuales diferentes.

Ejemplo: En un almacén había 120 sacos de sal. Cada saco pesa 40 kilos. Se han vendido 4 carros de 50 sacos cada uno. ¿Cuántos kilos de sal quedaron en el almacén?

Problemas combinados directos. Son aquellos en los que los datos expresados en el enunciado están dados en el mismo orden en el que deben ser utilizados al resolver el problema.

Ejemplo: En un concurso escolar ganamos 1.400 euros. Para celebrarlo compramos libros de lectura para la clase por valor de 245 euros. Después hicimos una excursión en la que gastamos 800 euros. El resto del dinero lo empleamos en comprar artículos deportivos. ¿Cuánto dinero costaron los artículos deportivos?

Problemas combinados indirectos. Se caracterizan porque la persona que resuelve el problema debe reordenar los datos en función de la pregunta formulada en el enunciado, y combinarlos de forma que le permitan elaborar el plan que le llevará a la solución.

Ejemplo: Una cuba contenía 224 litros de agua. Con ella se llenaron 4 Bidones iguales y 6 garrafas de 30 litros cada una. En la cuba quedaron todavía 24 litros de agua. ¿Cuál era la capacidad de cada bidón?

C.-Problemas aritméticos de tercer nivel

En este tipo de problemas los datos del enunciado vienen dados en forma de números decimales, fraccionarios o porcentuales. Por otra parte, la situación planteada es similar a las de primer o segundo nivel, la dificultad añadida está en el tipo de números en los que se expresan los datos.

4.2.-LA DIDÁCTICA MÁS CREATIVA


9

Como su nombre indica, no hay una didáctica tan reglada ni pautada y los problemas planteados se pueden resolver por diversos caminos, para ello es conveniente tener conocimiento de algunas estrategias heurísticas y seguir un cierto modelo. Para acercarnos a este planteamiento, inicialmente - nos referimos a los primeros años de la enseñanza- conviene trabajar problemas del siguiente tipo:

Decir lo mismo que el enunciado del problema pero de otra forma Contar el problema con sus palabras Ordenar la historia Emplear elementos tangibles como apoyo al problema ¿qué puede calcularse con los datos conocidos? ¿qué datos son necesarios para poder contestar a la pregunta? Contar la historia dando marcha atrás Inventar problemas. Relacionar datos y preguntas. Contarse un problema ¿qué sé? ¿qué me preguntan?

Además, en esta didáctica incluimos el empleo de un modelo, que en nuestro caso va a ser el modelo de G. Polya, o llamado también el modelo de los cuatro pasos, que consiste en lo siguiente.

1º- Comprensión del problema. Implica entender tanto el texto como la situación que nos presenta el problema, diferenciar los distintos tipos de información que nos ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con la información que nos es aportada, etc.

2º-Concepción de un plan. Es una fase primordial del proceso de resolución de problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevarán a ella. En esta fase puede ser útil el uso de esquemas que ayuden a clarificar la situación a resolver, así como el proceso a seguir. Del mismo modo puede ser práctico recordar si se han abordado con anterioridad problemas similares y qué metodología se siguió,...

3º- Ejecución del plan. Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. Esta fase concluye con una expresión clara y contextualizada de la respuesta obtenida.

4º-Visión retrospectiva. Un problema no termina cuando hemos hallado la solución. Debemos reflexionar respecto al proceso seguido, revisar las cuentas,….si lo esperado es acorde con lo que nos preguntan, etc.. Es una fase muy importante, y en muchos casos olvidada, pues la finalidad de la resolución de problemas es aprender durante el desarrollo del proceso.


10

Para llevar adelante la aplicación de este modelo es conveniente disponer de algunas herramientas heurísticas. En Primaria las más importantes son:

Ensayo y Error Buscar un Patrón Hacer una lista o tabla Resolver un problema similar más simple. Hacer una figura. Hacer un diagrama Usar razonamiento directo Dividir el problema en partes Empleo de razonamientos inductivos y deductivos

Conviene señalar que en este periodo hay una serie de problemas que son muy recurrentes y aparecen continuamente, son los siguientes.

Problemas de razonamiento lógico. Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones con un componente de razonamientos lógicos.

Problemas de recuento sistemático Son problemas que tienen varias soluciones y es preciso encontrarlas todas. Pueden ser de ámbito numérico o geométrico. En ellos conviene ser sistemático para llegar al final.

Problemas de razonamiento inductivo. Consisten en enunciar pautas numéricas o geométricas a partir del descubrimiento de regularidades. Generalmente intervienen dos variables y es necesario expresar la dependencia entre ellas.

4.-Problemas en la Enseñanza Secundaria (12- 16 años)

En este nivel es donde la resolución de problemas se muestra con más fuerza e interés, pues el alumno ya dispone de un bagaje de conocimientos matemáticos y estratégicos, que le permitirán afrontar con confianza mayores retos. Resulta interesante disponer de un modelo de resolución de problemas, entre los variados métodos comentados dos: El modelo de G. Polya y el de M. de Guzmán, que pasamos a describir:

4.1.-Métodos para resolver problemas

Método de G. Polya

Para afrontar la resolución de problemas nos basaremos en el método de G. Polya, o bien el en el método de Miguel de Guzmán. Aunque, el primero ya ha sido presentado anteriormente, conviene hacerlo ahora desde una perspectiva más profunda. El modelo de Polya tiene cuatro fases perfectamente diferenciadas, pero que a su vez están interrelacionadas entre sí:


11

Método de G. Polya

El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Hazte a tí mismo estas preguntas:

¿Cuáles son las incógnitas? ¿Qué datos nos dan? ¿Qué relaciones existen? ¿Qué condiciones nos imponen?

En muchos problemas es útil:


12

1. Comprender el problema (identificar el objetivo)

MÉTODOS Y ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e incógnitas del problema. También puede ser de mucha ayuda

Introducir la notación adecuada (En la elección de símbolos para las incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x e y; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.

Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves una conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudarte a trazar un plan:

Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas) .En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.

Intenta reconocer algo familiar. Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.

Mira si existe un patrón en el problema. Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu ca-pacidad para reconocer patrones).

Usa analogías. Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final.

Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías)

Introduce algo extra. En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.

Separa en casos. A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).


13

2. Traza un Plan (una estrategia de trabajo)

Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces). A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.

Razonamiento indirecto. Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.

Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y obser-vaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).

Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:

¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?

Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.

Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola). Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud? ¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o

más parámetros? Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida. Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna

peculiaridad. Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema. Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta

tiene sentido.

Nota: de cara a presentar tu trabajo, esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona.


14

3. Llevar a cabo el Plan

4. Revisar y Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)

Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

1. Acepta el reto de resolver el problema.2. Reescribe el problema en tus propias palabras.3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...4. Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes

frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos.8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar

a empezar9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se

necesitas encontrar una para tener éxito.10. No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias.11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con

montones de ellos, tu confianza crecerá.12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y

asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees tiempo después.

15. Ayuda a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.


15

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito (expertos) en resolver problemas:

Método de M.de Guzmán

El primer paso para resolver un problema es comprender el enunciado, disponer de una idea clara de los datos que intervienen, las relaciones entre ellos y lo que se pide. Ser capaces de contar el problema con nuestras palabras (película del problema). En definitiva familiarizarnos con el problema.


16

Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas (G.Polya)

1.- Interesarse por su materia.2.- Conocer su materia.3.- Tratar de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.6.- Permítales aprender a conjeturar.7.- Permítales aprender a comprobar.8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

1. Familiarización

Trata de entender a fondo la situación Con paz, con tranquilidad a tu ritmo Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del

problema, piérdele el miedo

Empieza por lo fácil Experimenta y busca regularidades, pautas Hazte un esquema, una figura, un diagrama Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada Busca un problema semejante Inducción Supongamos el problema resuelto Supongamos que no Piensa en técnicas generales: inducción, descenso, p. del palomar,.. Explota la simetría Modifica el problema, cambia algo del enunciado, para ver si se te

ocurre algo interesante.

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea

Si las cosas se complican demasiado trata de buscar otra vía. ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

...

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución?

O bien, ¿por qué no llegaste? Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona. Mira si encuentras un camino más simple Mira hasta dónde llega el método Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca

consecuencias para el futuro


17

2. Búsqueda de estrategias

3. Llevar adelante la estrategia

4. Revisar el proceso y saca conclusiones

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

1.- La actitud inicial es importanteCuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansioso por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

2.-Ten confianza en tus capacidadesCon frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

3.-Sé paciente y constanteNo abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.

4.-Concéntrate en lo que hacesResolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.

5.- Busca el éxito a largo plazoAprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

Buscar semejanzas con otros problemas ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?

Reducir lo complicado a lo simpleNormalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos.

Considerar casos particularesEn algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.

Hacer un dibujoA veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo


18

ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.

Estudiar todos los casos posiblesSe trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.

Elegir una buena notaciónEligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.

Incorporar algo adicionalA veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas

Ensayo y errorEs una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.

Trabajar hacia atrásA veces es de gran ayuda imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.

Razonamiento indirecto

Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta. Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.

Aprovechar la simetríaEn algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.

Usar técnicas generalesPor ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.


19

Usar programas de cálculo simbólicoSi puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Mathematica, Maple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.

5.- Evaluación

Si como se ha señalado, lo que tratamos con este módulo es que los alumnos y las alumnas desarrollen distintas estrategias de pensamiento para resolver problemas, así como una manera de actuar..... puede afirmarse que una evaluación , al modo clásico, carece de sentido, tanto por el tema tratado como por la importancia que se debe dar a los procesos seguidos más que a los productos obtenidos ( solución). Si pensamos en alumnos de 12 a 16 años las primeras actividades (problemas para comenzar) pueden servir para realizar un diagnóstico inicial de los conocimientos del alumnado, mientras que los problemas para practicar nos pueden ayudar a sondear las distintas formas que los alumnos tienen para enfrentarse a esas situaciones. Los problemas para investigar y las situaciones abiertas, en las que no hay una sola respuesta ni tampoco un único camino, también son ocasiones ideales para informarnos del nivel de profundidad alcanzado por cada alumno y pueden ilustrarnos acerca de los recursos cognitivos que disponen los alumnos en este campo así como de la capacidad para perseverar en un trabajo complejo.

ANEXO I

EJERCICIOS

De un vistazo sabes lo que te piden que hagas. Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para

llegar a la solución. El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o

menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.

Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS


20

PROBLEMAS VERSUS EJERCICIOS

Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.

Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino. El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma

novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.

En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

a. Problema es la búsqueda consciente, con alguna acción apropiada, para lograr una meta claramente concebida, pero no inmediata de alcanzar (G. Polya, 1962).

b. Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”( G. Polya. Matematical Discovery)

c. Es una pregunta a la que es imposible dar respuesta inmediata. Esta pregunta determina toda la actividad posterior del sujeto, dándole un carácter selectivo (Luria, 1981)

d. Una tarea difícil para el individuo que está tratando de resolverla (A. Schoenfeld, 1985)

e. Es una situación en la que se intenta alcanzar un objetivo y se hace necesario encontrar un medio para conseguirlo (Chi, M., Glaser, R., 1986)

f. Problema es una situación que representa una dificultad, no hay un camino automático para resolverla y se requiere deliberación e investigación de tipo conceptual o empírica para poder resolverla

g. (Mario Bunge)

Se denomina heurística a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la ceatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente.


21

¿QUÉ ES UN PROBLEMA?

HEURÍSTICA

La etimología de heurística es la misma que la de la palabra eureka, cuya exclamación se atribuye a Arquímedes. La popularización del concepto se debe al matemático G. Polya con su libro Cómo resolverlo (How to solve it). Habiendo estudiado tantas pruebas matemáticas desde su juventud, quería saber cómo los matemáticos llegan a ellas. El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus alumnos de matemáticas. Cuatro ejemplos extraídos de él ilustran el concepto mejor que ninguna definición:

Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema. Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes

deducir de ella (razonando hacia atrás). Si el problema es abstracto, prueba a examinar un ejemplo concreto. Intenta abordar primero un problema más general (es la “paradoja del

inventor”: el propósito más ambicioso es el que tiene más posibilidades de éxito).

ANEXO II

ANEXO II

Una persona tiene en su bolsillo estas cinco monedas: 0,10€; 0,20€; 0,50€; 1€ y 2€;¿Cuántas cantidades distintas puede formar?


22

PROBLEMA 1

UNA DOCENA DE PROBLEMAS PARA PRACTICARLEMA 1

Este diagrama se ha realizado uniendo entre sí, con segmentos, los 10 puntos del círculo.Cada punto está unido con todos los demás. Sin contarlos. ¿Sabrías cuántos segmentos hay en total?

Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente o verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de las cuatro caras. Las tiramos al aire, una vez en el suelo sumamos los números que quedan a la vista, los resultados obtenidos son los siguientes:


23

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

36, 41, 50, 55.Si dos de los números son el 25 y el 30. Averigua los otros dos números.

Un coleccionista de monedas tiene 24 de ellas que parecen idénticas, pero le comunican que una de las monedas es falsa y pesa algo más que las demás. El coleccionista ha decidido encontrar la moneda falsa utilizando una balanza de dos brazos. Pero ¡qué contrariedad! sólo puede utilizar la balanza tres veces. ¿Cómo lo hará?

ç

Hallar el menor número natural n que verifique la siguiente desigualdad:

Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos ¿Qué observas?


24

PROBLEMA 5

PROBLEMA 6

PROBLEMA 7

Serías capaz de realizar una conjetura. ¿Y probarla?

Todas las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Una de ellas se dio cuenta que el número total de apretones de manos fueron 45 ¿Cuántas personas acudieron a dicha reunión?

Al realizar el siguiente producto:

N = 15 x 14 x 13 x 12 x…. 6 x 5 x 4 x 3 x 2

Y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 * 7 4 3 6 8 0 0 0 Una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podrías averiguarla, sin necesidad de repetir la operación, ni de utilizar una calculadora?


25

PROBLEMA 8

PROBLEMA 9

PROBLEMA 10

Al acabar un partido de fútbol su resultado es de 4-3 ¿cuál fue el resultado del descanso? ¿Cuántos caminos hay para llegar a este resultado?

En una academia de idiomas hay matriculados 145 alumnos, de los cuales 78 estudian inglés y 45 francés. Mientras que 20 estudiantes están matriculados en ambos idiomas.¿Cuántos hay que no estudian ni francés ni inglés?

Calcular la suma de los 20 primeros números naturales por algún método original. Haz lo mismo con la suma de los mil primeros números naturales.


26

PROBLEMA 12

PROBLEMA 11

Education

Algunas ideas sobre la resolucion de problemas