ECUACIÓN DIFERENCIAL Es aquella en la cual aparecen variables y

sus derivadas respecto a una o más variables independientes

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

nn

n

n =+

+

++

+

+

−

−

−−

−

− 012

2

22

2

21

1

1 ......)(

USO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se utilizan para representar modelos matemáticos de fenómenos físicos o sociales, tales como:

cuerdaladeamientoalx

friccióndeecoeficient

ustedsobre

cuerdaladefuerzaxb

pesosumg

xxbmgxm

arg

)(

)(

==

==

−+=′′

β

β

2

2

2

2

2

2

)()( rRa

Rg

Rr

Rg

dt

rd

l

ll

t

t

−++

+−=

NOTACIÓN EN LA ECUACIÓN DE LANZAMIENTO A LA LUNA

r = distancia de la superficie de la Tierra a la posición del cohete.

g = aceleración de la gravedad de la Tierra

Rt = Radio de la Tierra Rl = Radio de la Luna gl = aceleración de la gravedad de la

Luna a = distancia superficie Tierra,

superf. Luna

X= oscilaciones del puente

Este sistema permite predecir el clima

N = cantidad de carbono 14 en el fósil

ECUACIONES DIFERENCIALESDE PRIMER ORDEN

Problema de Epidemiología: Un problema

importante de la biología y de la

medicina trata de la ocurrencia,

propagación y control de una enfermedad contagiosa; si un

porcentaje grande no común de una

población adquiere la enfermedad, decimos

que hay una EPIDEMIA

Supongamos que restringimos el universo a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades, entonces …..

EL MODELO MATEMÁTICO ES …

La velocidad de contagio (dNi/dt) es proporcional al número de contagiados (Ni) y al número de personas no contagiadas en contacto con los primeros (N-Ni)

Ni)-Ni(Nα=dt

dNi

SOLUCIÓN DEL MODELO

teNoNN

Niα

−+

=11

SITUACIONES PARTICULARES Si en el

establecimiento existen 1000 estudiantes, que inicialmente hubo un contagiado, y que a los 4 días hubieron 3 contagiados más, entonces el modelo quedará de la siguiente forma

4)997

3*999(

9991

1

1000

tNi

+=

PRONÓSTICO

A LOS 15 DÍAS SE TENDRÍAN

58 CONTAGIADOS

Aplicación a la Química Dos químicos, A y B, reaccionan para

formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Formulación Matemática:

Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas es proporcional a la masa de los reactivos que aun no intervienen en la reacción (ley de acción de masas). Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x /

3lb.) de B, Por tanto:

)3

20)(3

2x-k(10

x

dt

dx −=

La solución del modelo es

45kte c ) x - 15 ( / ) x -60 ( =

Condiciones especiales

x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3 Lo que transforma a la solución general en:

10

10t

41

)e-60(1x t

e−=

Interpretación

Cuando

Por tanto la mayor cantidad de producto C que se podría alcanzar es de 15 lbs.

15 , →∞→ xt

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

F(t)

Movimiento Armónico Simple:

Ecuación diferencial para el movimiento forzado no amortiguado:

d²x/dt² + ω²x = F(t) donde:

X(t) representa el desplazamiento instantaneo F(t) fuerza motriz que interviene a lo largo del

movimiento

el de pende que masa la m

y resorte del delasticida de constante lak con m

k=ω

Ejemplo concreto

Se pende una masa m=1/16 unidades de un resorte cuya constante de elasticidad k=1 unidades. Sobre el sistema interviene una F(t)=10sen(4t) a lo largo del movimiento. Suponiendo que la masa parte de la posición de equilibrio con una velocidad igual a 2 unidades hacia arriba, encuentre la ecuación que describa el movimiento de m

Ecuación del sistema:

d²x/dt² + 16x = 10sen(4t)

Solución de la ecuación SOLUCIÓN GENERAL:

CONDICIONES INICIALES x(0)=0 Y x´(0)=-2, ENTONCES LA SOLUCIÓN SE TRANSFORMA EN:

)4(4

5)4()4cos( 21 ttsentsenCtC ++

)4(4

5)4(

2

1)( ttsentsentX +−=

Gráfica de la solución:

EJEMPLO DE RESONANCIA MECÁNICA

CAIDA DEL DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA (NARROWS)

FIN DE PRESENTACIÓN

GRACIAS