1. Un campo de beisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está

corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar

la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que

este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema.

DATOS

Velocidad del jugador de 1era a 2da base

X = 60 pies Y = distancia del jugador con respecto a la 3era base X = distancia recorrida por el jugador de 1era a 2da base en un instante determinado T= tiempo que transcurre SOLUCIÓN Utilizando el teorema de Pitágoras

(*)

Sabemos que x = 60 pies sustituyendo en (*)

Despejando y

Sustituyendo x = 60pies

(DISTANCIA DEL JUGADOR CON RESPECTO A LA 3ERA BASE)

Derivando (*) respecto a t

Sabiendo x = 60 pies,

y y = 94,87pies Evaluando la derivada TENEMOS

2da base

1era base 3era base

90 pies

X

y

Por lo tanto la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en

que este se encuentra a 60 pies de la primera es de 5,38

2. Un edificio de 60m. proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que

forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15° por hora. En determinado

instante del día la sombra del edificio es de 80m. hallar la razón en que cambia la sombra

en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema

DATOS

SOLUCION

Utilizando trigonometría

(*)

Sabiendo que x = 80 m sustituyendo en (*) tenemos que

Derivando (* ) respecto a t

Aplicando la derivada de la tangente y de una potencia

60 m

x

Evaluando la derivada en X = 80 m y sabiendo que

y tenemos

3. No lo realice

4. Sabiendo que un trozo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área

de su superficie.

a) Probar que la razón con que se contrae su radio es constante

b) Si, además se sabe que después de una hora el hielo que queda es de 1/8 de la

cantidad inicial, hallar el tiempo que tardara en derretirse completamente.

Solución

Datos

a) Probar que

SOLUCION

Derivando respecto t

despejando

V

A

sustituyendo

sustituyendo

simplificando

lqqd

b) No lo realice

5. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 360 pies3/min. Hallar:

a) La rapidez que disminuye el radio en el instante en que este es de 3 pies.

b) La rapidez con que disminuye el área de la superficie en el instante en que

el radio es de 3 pies.

Datos

t = 3 pies

r = 3 pies

a) El volumen correspondiente es

derivando respecto a t

simplificando y Despejando

sabiendo

y el radio r = 3tenemos

simplificando

b) El área correspondiente es derivando respecto a t

simplificando

sabiendo que r = 3 pies y

tenemos

6. Un barco navega con dirección norte a razón de 6 km/h. otro barco navega con

dirección este a 8km/h. a las 11 am. El segundo barco cruzo la ruta del primero en el

punto en el cual este paso 2 horas antes. ¿Cómo está cambiando la distancia de los barcos

a las 10am?

Datos

X = 8 Km Y = 6 Km

Solución Aplicando el teorema de Pitágoras (*) Sabiendo que x = 8 km , y = 6 km hallemos el valor de D en (*)

Derivando (*) respecto a t

Despejando

y

x

D

A

B

ar

B

B

ar

sabiendo

,

, X = 8 Km , Y = 6 Km y D = 10 km evaluemos la

derivada

7. Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. de altura y con

velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el

operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es

de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del

avión.

Datos

Solución

(*)

Si

, sustituyendo ϴ en (*) tenemos que

Y = 900 m

x

ϴ

despejando x

Derivando (*) respecto a t

despejando

evaluando la derivada sabiendo x = 519,62 m , ϴ = (π/ 3) y

8. Las dimensiones de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante

el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el volumen permanece

constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación de la altura en ese

instante.

Datos

Volumen de un cilindro

r

h

Solución

Sabiendo que el volumen de un cilindro esta dado por la formula

derivando respecto a t tenemos

) despejando

sabiendo que

simplificando

evaluando la derivada con r = 8cm, h = 20 cm y

Graficar la siguiente función (3 puntos)

Para ello de buscar

1. Dominio

2. Simetría y periodicidad

3. Intersección con los ejes

4. Continuidad y asíntotas

5. Estudio de la primera derivada: intervalos de monotonía, máximos y mínimos

6. Estudio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión

7. Esbozar el grafico

Solución

a) Dominio esta función por ser un polinomio es continua en todo R

b) Simetría y periodicidad

- Veamos si la función es par

Se observa que

Por lo tanto la función no es par

- Veamos si la función es impar

Se observa que

Por lo tanto la función dada no es impar

En consecuencia el grafico de F no es simétrico respecto al el “y” ni al origen

c) Intersección con los ejes

Corte con el eje x ( hacemos f(x) = y = 0)

Si aplicamos ruffini

1 -6 9 1

1

1

No hay raíces

Corte con el eje “y” (hacemos x = 0)

El grafico f intersecta al eje X en el punto (0, F(0)) = (0,1)

d) Continuidad y asíntotas

Asíntotas verticales: por ser una función continua en R no posee asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

No tiene asíntotas horizontales

e) Estudio de la primera derivada: intervalos de monotonía, máximos y mínimos

Luego x= 1 y x=3 son los números críticos y posibles máximos o mínimos locales

Intervalos

Intervalos F(x) F´(x) conclusión

(-α, 1) + F es creciente

Cóncava hacia abajo

X = 1 5 0 Máximo local

Cóncava hacia abajo

(1,3) - F es decreciente

cóncava hacia arriba

X = 3 1 0 Mínimo local

Cóncava hacia arriba

(3 , +α) + F creciente cóncava hacia

arriba

f) Estudio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión

Luego x = 2 es el único numero critico y posible punto de inflexión

Intervalos de concavidad son

-α 2 +α

F(x) es creciente y cóncava hacia

abajo

F(x) es decreciente cóncava hacia arriba

Esta tabla también nos dice (2,f(2)) = (2,3) es punto de inflexión

X y

-1 -15

0 1

1 5

2 3

3 1

4 5

5 21

CREADO POR: SANDRA VALERIA LOPEZ

MARTINEZ

C.I.: V- 23.485.932

// DISEÑO DE OBRAS CIVILES

INTENSIVO DE MATEMATICA II

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

y