Aprendiendo de las matemáticas

04/15/23

Aprendiendo de las Matemáticas

Medios, Métodos, Modelos y Sistemas Aplicados a la Educación Superior Tecnológica

Pensamiento Complejo y Metacognición

Instituto Tecnológico de la Laguna

M. C. J. Agustín Flores Avila Email: [email protected]

04/15/23M. C. J. Agustín Flores Avila2


Esta propuesta tiene como base el principio teórico conocido como Juego de Marcos en el sentido de presentar el objeto de conocimiento mediante diversos enfoques para, en función de aproximaciones diferentes al mismo, extraer el conocimiento de manera fraccionaria y englobarlo después en su totalidad.



Por desgracia, la parte constructiva y más motivante de esta disciplina, que es la de sus APLICACIONES, se extravía en los objetivos del corto plazo o se enmascara mediante “técnicas de solución de problemas catalogados de antemano, cuyos enunciados de manera predeterminada señalan al estudiante las recetas que debe aplicar” [1].



El problema fundamental de las aplicaciones, en cualquier curso de matemáticas, es que es prácticamente imposible abrigar esperanzas de éxito si dejamos de lado la representación de los conceptos y el significado de las operaciones matemáticas. Nuestra hipótesis de partida en este trabajo, es que el problema de la construcción del conocimiento matemático es un problema de representación y significado.



Partiendo de la premisa anterior, en el curso de Matemáticas V que a los alumnos de Ingeniería Mecánica se les imparte en nuestra institución y que comprende parte de Análisis de Fourier, estudiamos una serie de problemas en los que el significado adquiere particular relevancia y nos permite Aprender de las Matemáticas.



En esta ponencia exponemos un ejemplo de una estrategia didáctica que estamos empleando para abordar las aplicaciones, desde una perspectiva constructivista, de esta rama de las matemáticas. No obstante que el problema es muy simple, su análisis enriquece en gran medida la enseñanza de las matemáticas.


Aprendiendo de las Matemáticas.Problema

El problema lo enunciamos en los siguientes términos:

"Describa la posición x(t) de un cuerpo de masa m que se mueve en el vacío si se le aplica una fuerza impulsiva unitaria (t) en t = 0".


Aprendiendo de las MatemáticasGráfica

(t)

0


Aprendiendo de las MatemáticasPlanteamiento

De acuerdo con el principio de D'Alambert [3, en un Sistema Mecánico Traslacional, la fuerza externa aplicada se distribuye en cada uno de sus componentes según las leyes correspondientes.

En este caso, como el sistema es un cuerpo que se mueve bajo el influjo de una fuerza externa, entonces, las Leyes de Newton [4, Pag.10 de la Mecánica Clásica son las aplicables. A saber:


Aprendiendo de las MatemáticasLeyes Físicas

1ª Ley: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de

movimiento rectilíneo uniforme a menos que se vea obligado a alterar este estado por fuerzas aplicadas a él".

2ª Ley: "La variación del momento lineal con el tiempo es

proporcional a la fuerza aplicada, y su dirección es la de esta fuerza".

3ª Ley. "A cada acción se opone siempre una reacción igual y de

sentido contrario".


Aprendiendo de las MatemáticasModelo Matemático

Por la naturaleza del problema, el Modelo Matemático que lo representa está determinado únicamente por la 2ª Ley de Newton, que usualmente se expresa como:

F = m a . . . (1).


Aprendiendo de las MatemáticasEcuación Diferencial

Por el cálculo elemental, sabemos que la aceleración a es la segunda derivada [x''(t)] del desplazamiento x(t) con respecto al tiempo t. Utilizando este conocimiento y, como la fuerza aplicada F es un Impulso Unitario (t), la mencionada ley (1) queda dada por:

(t) = m x''(t) . . . (2).

Una sencilla Ecuación Diferencial de Primer Grado y

Segundo Orden cuya solución es relativamente fácil.


Aprendiendo de las MatemáticasResolución de . . .

Por la teoría elemental de las Ecuaciones Diferencial, sabemos que existen diferentes técnicas para resolverla, como son, entre otras, Integración Sucesiva, Métodos Numéricos, Transformada de Laplace, Transformada de Fourier, etc..


Aprendiendo de las MatemáticasResolución de . . .

Aparentemente -en realidad así lo es-, por lo antes dicho, obtener la solución de (2) viene a ser trivial. Sin embargo, dependiendo del método empleado se llega a obtener información adicional que mucho enriquece la enseñanza de la Ciencia Matemática.

Para el objetivo que nos hemos fijado, vamos a resolver (2) utilizando la técnica clásica de la Transformada de Laplace [3 y 5 y la de Fourier [3 y 6. Una vez obtenida la solución compararemos resultados y enunciaremos algunas observaciones.


Aprendiendo de las MatemáticasTransformada de Laplace

Por la Teoría de la Transformada de Laplace sabemos que:

a).- La Transformada del Impulso Unitario (t) es 1. b).- Para efectos de resolución definimos la

Transformada de x(t) como X(s). c).- La transformada de x''(t) es S2 X(s). (Recordar que

estamos considerando que las condiciones iniciales son cero).



Por lo tanto, si le aplicamos a (2) la transformada de Laplace obtenemos que:

(t) = m x''(t) se transforma en

1 = m S2 X(s) . . . (3).

Es un conocimiento elemental para nuestros estudiantes de Ingeniería, que el Método de la Transformada de Laplace transforma una ecuación diferencial en una expresión algebraica de fácil resolución.



Así, despejando X(s) de (3), obtenemos que:

X(s) = 1/( m S2 ) . . . (4)

Ahora, si obtenemos la Transformada Inversa de (4)

llegaremos a la función buscada, que queda como:

x(t) = (1/m) t u(t) . . . (5).


Aprendiendo de las MatemáticasSolución

Donde u(t) representa la función escalón unitario utilizada para definir funciones con dominios en tiempos positivos.

Este resultado nos indica que la posición x(t) del cuerpo es inversamente proporcional a su masa m y directamente proporcional al tiempo t. El cuerpo se mueve con una velocidad constante de v = (1/m)u(t) (primera derivada de x(t) con respecto a t) y se aleja indefinidamente del origen. ¡Nunca se detiene!. Se desplaza ad infinitum obedeciendo la 1ª Ley de Newton.


Aprendiendo de las MatemáticasComentarios

Este resultado ya había sido anticipado por la primera Ley de Newton. Como nada se opone a su desplazamiento, el cuerpo tiende a conservar su estado de movimiento rectilíneo uniforme. Por lo demás, los viajes espaciales confirman este mismo resultado.

La matemática de acuerdo con la realidad o la realidad de acuerdo con la matemática, que no por secundario [7 pierde relevancia en su enseñanza


Aprendiendo de las MatemáticasTransformada de Fourier

3.3.b.- Transformada de Fourier. Este método conserva tantas semejanzas con el de

Laplace, que la transformada de algunas funciones es idéntica en ambos, con el simple intercambio de la variable s por la compleja j.

a).- En particular, la transformada del Impulso Unitario (t) es 1 en ambos casos.

b).- La transformada de x(t) en Fourier se define como X().

c).- La transformada de x''(t) en Fourier está dada por (j)2 X().



Entonces, aplicando el Método de la Transformada de Fourier a la Ecuación Diferencial (2), obtenemos que:

(t) = m x''(t)

se transforma en 1 = m (j)2 X() . . . (6).

Que al desarrollarla queda dada por:

1 = - m 2 X() . . . (6.a)



Resolviendo para X() tenemos la expresión:

X() = - 1/( m2 ) . . . (7). Vemos que hasta esta etapa de la solución las

diferencias no existen. Las expresiones (4) y (7) son idénticas, intercambiando, como ya se indicó, la variable s por la compleja j.


Aprendiendo de las MatemáticasSolución

Sin embargo, al momento de obtener la

Transformada Inversa de la expresión (7), aparece una pequeña diferencia que es de suma importancia. Esta Transformada Inversa está dada por:

x(t) = (1/m)[ t u(t) - (t / 2) . . . (8).



Esta es la solución buscada, y para efectos de resultados aquí terminaría nuestro problema. Sin embargo, como no deseamos quedarnos solamente con los resultados, sino que aspiramos a ir "más allá" a partir del significado de los resultados y "realmente ver" las Enseñanzas de las Matemáticas, son válidos los siguientes comentarios.



El resultado obtenido mediante Fourier tiene el término - t/(2m) adicional con respecto a Laplace.

Este término tan simple implica una gran variante, ya que representa una función cuyo dominio son todos los reales. Es decir, está definida desde - hasta + . Para clarificar su importancia expresemos (8) de la siguiente manera:



x t( )1

2mt

t 0if

1

2mt

t 0if



¿Ahora sí vemos realmente una de las Enseñanzas de Las Matemáticas?.

Lo que nos está diciendo Fourier con su resultado, es que un cuerpo que se mueva en el vacío bajo los efectos de una simple Fuerza Impulsiva Unitaria, es un sistema lineal que proporciona una respuesta incluso antes de que se aplique la señal de excitación.



En el resultado tenemos una respuesta de -

(1/2m)t para tiempos negativos (¿?). ¿Es esto posible?. ¡Por supuesto que no!.

¿Qué explicación podemos dar a este resultado a todas luces absurdo?.

Existen tres posibles según el análisis de A. Beisser [8.


Aprendiendo de las MatemáticasExplicación A

El resultado es incorrecto. Estamos estudiando un problema utilizando Leyes Físicas y Técnicas Matemáticas en un contexto en el que no son válidas.


Aprendiendo de las MatemáticasComentario

Sabemos que las Leyes de Newton son aplicables a

fenómenos que ocurran en el vacío y en condiciones semejantes a las del problema planteado. (Como sabemos, las Leyes de Newton fueron la base para desarrollar la Mecánica Celeste). Por otro lado, el Análisis de Fourier es el Lenguaje Matemático de la Teoría de las Comunicaciones cuyo medio natural es el vacío y, por lo tanto, es aplicable al problema.


Aprendiendo de las MatemáticasConclusión

El problema está bien abordado desde el punto de vista Teórico.

Esta explicación no es válida


Aprendiendo de las MatemáticasExplicación B

El resultado es correcto. El problema planteado define un Sistema Lineal NO CAUSAL, es decir, uno que no puede existir en la realidad o que no se puede construir, según menciona Hwei P. Hsu [6.



Las sondas espaciales Voyager 1 y 2 que

hacia 1989 traspasaron las fronteras de nuestro sistema solar alejándose a razón de 520 y 470 millones de Kms. por año y los satélites geoestacionarios que orbitan la tierra sin necesidad de una fuerza motriz propia, sino solamente obedeciendo la 1ª Ley de Newton, desmiente la explicación anterior.



Esta explicación no es válida.


Aprendiendo de las MatemáticasExplicación C

El resultado es correcto (nunca debimos dudar de esto). Lo que necesitamos, en el marco teórico de las Leyes de Newton, es reinterpretarlo y encontrarle algún sentido a la respuesta en el "tiempo negativo” para seguir "aprendiendo" de las matemáticas.



Recordemos lo que nos dice la 3ª Ley de Newton: "a cada acción se opone siempre una reacción igual y de sentido contrario".[4] En el problema usted se encuentra, junto con el cuerpo, en algún punto imaginario situado en el vacío y que define nuestro origen x = 0. En el instante t = 0 le aplica un Impulso Unitario (t) (por ejemplo un martillazo) poniéndolo en movimiento en el sentido "positivo" con una velocidad constante v = (1/2m) y una cantidad de movimiento p = ½ . Esta es la acción.



¿Cual es la reacción?. 3ª Ley de Newton: Usted recibe un martillazo del objeto obligándolo a moverse en sentido contrario, es decir, en la dirección negativa con una cantidad de movimiento p = ½ idéntica. La componente positiva proporciona la posición, la velocidad y el sentido del movimiento del cuerpo y la componente negativa proporciona la misma información pero . . . ¡de usted! . . . y ambas medidas con respecto al origen imaginario.



Esto significa que el cuerpo no puede estar aislado, sino que debe existir "alguien" que le aplique el impulso: si no ¿Cómo se mueve?. Fourier resuelve "todo" el problema no obstante que no se había especificado el otro componente oculto ante nosotros. ¡Enseñanzas de Las Matemáticas!.



En este sencillo ejemplo hemos resaltado una de las ventajas que se obtienen al construir problemas en los que el significado esté presente, pero, sobre todo, que se haga hincapié en él. La matemática no se queda solamente en un conjunto de algoritmos -impresión que permea el conocimiento de muchos de nuestros egresados- sino que da un paso más allá y en forma inmediata hacia las aplicaciones, lo que realmente nos permite conocerla, apreciarla, disfrutarla, y concederle su justo valor.


Aprendiendo de las MatemáticasBibliografía

1. Quintero R., Ursini, S: Desde el enfoque tutorial hacia el uso constructivista de la computadora en el aula; Reporte de investigación; Cinvestav, México. 1988.

2. Koyré, Alexandre: Estudios de Historia del Pensamiento Científico. México: Edit. Siglo XXI.

3. Cheng, K. D: Analysis of Linear System. Tokio, Japan: Edit. Addison-Wesley, 1959.

4. Symon, R. Keith: Mecánica. Madrid, España: Edit. Aguilar, 1968.


Aprendiendo de las MatemáticasBibliografía

5. Zill, Dennis G: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. México: Gpo. Edit. Iberoamérica,1982.

6. Hsu, Hwei P: Análisis de Fourier. México: Edit. Addison-Wesley Iberoamericana., 1987. 4ª Edición, 1973.

7. Courant, R. & Robbins, R: ¿Qué es la Matemática?. New Rochelle, N. Y. Aguilar Ediciones. 1979.

8. Beisser, A. Conceptos de Física Moderna. Madrid, España. Ediciones del Castillo, S. A., 1965.

9. Polya, George: Mathematical Methods In Science. New York: Leon Bowden Edit., 1976.


DATOS DEL AUTOR

Nombre.- J. Agustín Flores Avila Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista Población.- Gómez Palacio, Dgo. C:P: 35050 Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21 C. E. [email protected] Instituto Tecnológico de la Laguna Torreón, Coah.

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