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Introducci´ on a los Conceptos Fundamentales de la Ac ´ ustica III Jos´ e Dami´ an Mellado Ram´ ırez Marcos Vera Coello 28/9/2005

Apuntes acustica

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Page 1: Apuntes acustica

Introducci on a los ConceptosFundamentales de la Acustica

III

Jose Damian Mellado RamırezMarcos Vera Coello

28/9/2005

Page 2: Apuntes acustica

Indice

1. Propagacion de las ondas sonoras 11.1. Definicion. Tipos de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La ecuacion de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Ondas acusticas tridimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Amortiguacion del sonido en una y tres dimensiones. . . . . . . . . . . . 61.5. Ejercicios y cuestiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Soluciones de la ecuacion de ondas 82.1. Ondas armonicas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Impedancia acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Intensidad acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Ondas esfericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. Impedancia acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Intensidad acustica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Suma de sonidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Acustica geometrica: ondas y rayos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2. Ecuacion fundamental de la acustica geometrica. . . . . . . . . . 122.4.3. La ley de Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. Transmision y reflexion de las ondas acusticas. . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.1. Coeficientes de transmision y reflexion. . . . . . . . . . . . . . . 162.5.2. Incidencia normal en un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3. Incidencia oblicua en un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6. Absorcion de las ondas sonoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Ejercicios y cuestiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Analisis en frecuencia 213.1. Superposicion de soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Descomposicion en armonicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Funciones periodicas y desarrollo de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . 243.6. Ejercicios y cuestiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I

Page 3: Apuntes acustica

INDICE II

4. Modelos de Fuentes sonoras 264.1. Modelo de esfera pulsante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2. Fuente lineal sonora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Piston pulsante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. Factor de directividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5. Ejercicios y cuestiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Sumario de terminos 305.1. Velocidad del sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2. Frecuencia, perıodo, longitud de onda y tonos puros. . . . . . . . . . . . . 305.3. Presion sonora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4. Velocidad de las partıculas fluidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5. Intensidad, potencia y densidad de energıa sonora. . . . . . . . . . . . . . 325.6. Factor de directividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.7. El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.8. Adicion de niveles de ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.9. Sonoridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Referencias 37

Page 4: Apuntes acustica

Capıtulo 1

Propagacion de las ondas sonoras

1.1. Definicion. Tipos de ondas

Una onda es una perturbacion de una magnitud fısica que se propaga en el espacio yen el tiempo. Matematicamente se expresa como una funcionde la posicion y del tiempo,pudiendo corresponder a magnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, losimpulsos electricos que rigen los latidos del corazon, o incluso la probabilidad de encontraruna partıcula en mecanica cuantica. Otro ejemplo de ondas son las ondas elasticas (longitu-dinales o transversales) que aparecen en los solidos. Nosotros nos centraremos aquı en lasondas de presion correspondientes a las ondas sonoras. En este caso, la funcion representalas perturbaciones de presion que se propagan en el seno de un fluido formando lo que seconoce comocampo acustico.

Veamos que caracterısticas debe tener una funcion del espacio y del tiempo, que en prin-cipio no tiene por que propagar informacion, para que represente efectivamente una ondaque se propaga.

Empecemos por el caso mas sencillo. Imaginemos una funcionque, en lugar de dependerde la posicion y del tiempo por separado, lo hace a traves dela combinacionψ = x − at,esto es

f(x, t) = g(x− at) = g(ψ).

dondec es una constante y la funciong(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Puesbien, para cada valor deψ existe un unico valor deg (en nuestro caso tendrıamos un valorde la presion). Sin embargo, a cada valor deψ no le corresponden unos valores det y xdeterminados unıvocamente, sino todos los que cumplanx − at = ψ. De este modo, uncierto valor deg(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio.

Analicemos con un poco mas de detalle en que consiste en este caso la propagacion.Recordemos queg se mantiene constante siψ permanece constante, y esto ocurre sobre larectax− at = cte. Desplazarse sobre esta recta una distancia∆x supone esperar un tiempo∆x = a∆t, pues de no ser ası dejarıamos de estar sobre la recta. Conforme pasa el tiempo,permanecer en la recta supone moverse a velocidada, en cuyo casog es una constante. Estoes, un valor dado deg se propaga a velocidada. Este es el sentido de la propagacion de lasfunciones de la formag(x− at). A las funciones de esta forma se las llama ondas.

1

Page 5: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 2

De manera similar, tambien se les puede llamar ondas a funciones de la formaf(x, t) =A(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor def se propaga. La diferencia respecto al caso anteriores que la onda se deforma debido a que los coeficientesA(x, t) y a(x, t), que representan re-spectivamente laamplitud de la onda y lavelocidad de propagacion, ya no son constantes.El criterio para poder llamar onda a un proceso fısico se hace un poco difuso a medida queA(x, t) y a(x, t) empiezan a depender fuertemente de la posicion y del tiempo.1

Como ejercicio, se recomienda al alumno que dibuje en funci´on de la distancia y paravarios instantes de tiempo una magnitud arbitraria que represente una onda en el sentidoarriba explicado.

5

105

10

0

0.5

1

t

x

f(x-ct)

Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma.

5

105

10

00.5

11.5

t

x

A(x,t)f(x-c(x,t)t)

Figura 1.2: Onda viajera que se deforma.

1En estas notas consideraremos unicamente ondas cuya velocidad es independiente de la longitud de onda,conocidas como ondasno dispersivas. Por el contrario, las ondas cuya velocidad varıa con la longitud de ondase denominandispersivas.

Page 6: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 3

1.2. La ecuacion de ondas

Para derivar la ecuacion que gobierna la propagacion de las ondas tomaremos aquı elejemplo mas sencillo: la propagacion del sonido en una dimension. Vamos a ocuparnosaquı de la propagacion en gases, pues la derivacion para lıquidos y solidos es completamenteanaloga. En resumidas cuentas, la fısica del fenomeno delas ondas sonoras comprende tresprocesos:2

1. El gas se mueve y varıa la densidad.

2. La variacion de densidad provoca variaciones de presion.

3. Las variaciones de presion generan movimientos en el gas, y volvemos al punto 1.

Consideremos primero el punto 2 relacionando las variaciones de densidad con las depresion. Antes de que llegue la onda, tenemos equilibrio a una presionp0 y una densidadρ0. En general, la presionp del gas esta ligada con la densidad por una relacion del tipop = f(ρ) y, en particular, la presionp0 de equilibrio esta dada porp0 = f(ρ0). En el caso delsonido, las variaciones de presion,p ′ = p − p0, y de densidad,ρ′ = ρ − ρ0, respecto a losvalores de equilibrio son extremadamente pequenas.3 Podemos entonces desarrollar en seriede Taylor las variaciones de presion en funcion de las variaciones de densidad y quedarnoscon el primer termino del desarrollo:

p ′ =

(

∂p

∂ρ

)

0

ρ′ (1.1)

Como establece elprincipio de estadode la termodinamica [6], cualquier variable termodina-mica de un sistema simple compresible (en nuestro caso un gas) puede determinarse comofuncion de dos propiedades termodinamicas independientes. La relacion anterior serıa en-tonces incorrecta, pues faltarıa sumar la derivada de la presion respecto a una segunda vari-able multiplicada por las variaciones de dicha variable. Sin embargo, realizando estimacionesde ordenes de magnitud se puede demostrar que en una onda sonora el tiempo en que unacierta porcion de aire se comprime, y por lo tanto se eleva supresion y temperatura, es mu-cho mas corto que el tiempo que tardarıa esa porcion de aire en transmitir calor por difusiona otras regiones vecinas menos comprimidas y por tanto mas frıas. Esto quiere decir que elproceso de compresion es tan rapido que no ha tenido tiempode ceder ni recibir calor de losalrededores, lo que nos permite suponer que los procesos de compresion y expansion del gas

2La derivacion de la ecuacion de ondas que se presenta aquıse basa en la discusion sobre las ondas sonorasque realiza Feynman [3, Cap. 47].

3Para el oıdo humano, el umbral de sonido, por debajo del cualno se percibe sonido alguno, corresponde aperturbaciones de presion,p ′ = p − p0, del orden dep ′/p0 ∼ 10−10, mientras que perturbaciones tales quep ′/p0 ∼ 10−1 corresponden al umbral de dolor. En ambos casos, las variaciones de presion son mucho maspequenas que la propia presion, es decir,p ′/p0 ≪ 1. (Una discusion mas detallada de las escalas espaciales ytemporales y del orden de magnitud de las perturbaciones queaparecen en las ondas sonoras puede encontrarseen el libro de Barrero y Perez-Saborid [4, Cap. 11].)

Page 7: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 4

x x+ ∆x x+ ξ(x, t) x+ ∆x+ ξ(x+ ∆x, t)

VolumenOriginal

NuevoVolumen

ξ(x, t)

ξ(x+ ∆x, t)

Figura 1.3: El desplazamiento del gas enx es ξ(x, t), y en x + ∆x es ξ(x + ∆x, t). Elvolumen originalde aire para un area unitaria de la onda plana es∆x; el nuevo volumenes∆x+ ξ(x+ ∆x, t) − ξ(x, t).

en la propagacion de las ondas sonoras suceden de maneraadiabatica. La adiabaticidad esmuy importante porque implica que se conserva la entropıa,de manera que si escribimos lapresion en funcion de la densidad y la entropıa,p = p(ρ, s), la variacion de la densidad seproduce a entropıa constante y podemos despreciar el termino que falta en la ecuacion (1.1).

Consideremos a continuacion el punto 1 para tratar de relacionar los desplazamientos delgas respecto a su posicion inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas.Supondremos quex es la posicion de equilibrio de una partıcula fluida, es decir la posicionque tenıa dicha porcion de fluido antes de que ninguna onda pasara por allı; esta es la posi-cion a la que regresara la partıcula despues de que pasenlas ondas.4 Como comentamos masarriba, nos centraremos en el caso de propagacion de ondas unidimensionales y cuando es-cribamos alguna relacion entenderemos que estamos hablando de magnitudes por unidad dearea de la onda plana. Vamos a llamarξ(x, t) al desplazamiento en tiempot debido al sonidode la partıcula fluida respecto de su posicion de equilibrio,x; notese que debido a la pequenaintensidad de las ondas de presion, este desplazamiento vaa ser muy pequeno. La cantidadde masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porcion de fluidoque se encuentra entrex y x+∆x eraρ0∆x. Como se muestra en la Fig.1.3, cuando la ondaesta pasando, la partıcula fluida que inicialmente se encontraba en el puntox ocupa ahorala posicionx + ξ(x, t), y la partıcula que se encontraba enx + ∆x ocupa ahora la posicionx+ ∆x+ ξ(x+ ∆x, t). La cantidad de masa que hay ahora entre estas dos partıculas fluidaspuede expresarse en la formaρ[x+∆x+ ξ(x+∆x, t)−x− ξ(x, t)], dondeρ es la densidadmedia de la region de fluido considerada en el instantet. Si tomamos∆x muy pequeno larelacion anterior se convierte en una diferencial, e igualando la masa inicial y final tenemos

ρ′ = −ρ0

∂ξ

∂x(1.2)

4Hasta ahora y de aquı en adelante estamos suponiendo que no existe movimiento convectivo del gas,solamente movimiento ocasionado por las ondas sonoras; evidentemente, si hubiera corrientes convectivas laspartıculas fluidas se moverıan y el movimiento del sonido habrıa que superponerlo al movimiento convectivodel fluido.

Page 8: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 5

La expresion anterior se puede generalizar facilmente alcaso de una onda plana que sepropaga en una direccion arbitraria del espacio dada por elvector de desplazamientoξ(x, t),en cuyo caso hubieramos obtenido

ρ′ = −ρ0|∇ξ| (1.3)

donde∇(·) = ∂(·)/∂x~i+ ∂(·)/∂y~j + ∂(·)/∂z ~k representa el operador nabla.Para terminar consideremos el punto 3. Necesitamos una ecuacion para describir el de-

splazamiento producido por las variaciones de presion. Para ello aplicaremos la segunda leyde Newton para relacionar las variaciones espaciales de presion con las aceleraciones gener-adas en el fluido. En resumen, la resultante de las fuerzas exteriores (de presion) que actuansobre la region de fluido situada entrex y x + ∆x es igual al producto de la masa de fluidocontenida en el elemento por la aceleracion que experimenta el fluido. Procediendo de unmodo similar al utilizado para derivar las dos ecuaciones anteriores (se deja como ejercicioal lector), se obtiene

∂p ′

∂x= −ρ0

∂2ξ

∂t2(1.4)

Al igual que antes, resulta facil generalizar esta expresion para el caso de una onda plana quese propaga en una direccion arbitraria del espacio

∇p ′ = −ρ0

∂2ξ

∂t2= −ρ0

∂u

∂t(1.5)

Combinando las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.4) obtenemos finalmente laecuacion deondaspara el desplazamientoξ(x, t):

∂2ξ

∂t2= c20

∂2ξ

∂x2siendo c20 =

(

∂p

∂ρ

)

S

, (1.6)

donde hemos anadido el subındiceS a la constante(∂p/∂ρ)S para enfatizar que la derivadaha de tomarse a entropıa constante. La raız cuadrada de esta cantidad, que tiene dimen-siones de velocidad, representa la velocidad de propagaci´on de las pequenas perturbacioneso velocidad del sonido, y se suele designar porc0. Es facil comprobar que las variacionesde densidad, presion y velocidad,ρ′, p ′ y ∂ξ/∂t, satisfacen todas exactamente la mismaecuacion de ondas que el desplazamiento,ξ. Pero como la magnitud que se puede medir masfacilmente de las tres es la presion, a partir de ahora hablaremos de ondas de presion.

Veamos por que se llama a esta ecuacion diferencial la ecuacion de ondas. El motivoes muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos visto,p ′ = f(x± at), comprobamos que la ecuacion (1.6) se cumple si la velocidad de la ondaacoincide con la velocidad del sonidoc0. Esto nos dice que las soluciones a la ecuacion (1.6)son efectivamente ondas que se mueven a velocidadc0, motivo por el cual a esta constantese la denomina velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuacion (1.6) son por tanto:

p ′ = f(x± c0t) (1.7)

Page 9: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 6

-15-10

-50

510

1520

-15-10

-50

510

1520-0.5

0

0.5

1

x

y

f(r-ct)/r

Figura 1.4: Variaciones de presion de una onda acustica tridimensional sin viscosidad.

1.3. Ondas acusticas tridimensionales

Si hubieramos realizado el analisis de la seccion anterior suponiendo que las ondas sepropagan radialmente de manera isotropa en el espacio a partir de un punto formando esferashubieramos obtenido, en lugar de (1.6), la ecuacion de ondas tridimensional

∂2p ′

∂t2− c20

(

∂2p ′

∂x2+∂2p ′

∂y2+∂2p ′

∂z2

)

= 0 (1.8)

Las soluciones a la ecuacion diferencial (1.8) que solo dependen del radio son del tipo

p ′ = f(r ± c0t)/r (1.9)

donder es la distancia radial recorrida por la onda. (Para el alumnointeresado, esta solu-cion se obtiene introduciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esfericas∆ ≡1

r2

∂∂r

(

r2 ∂∂r

)

y haciendo el cambioP = p ′r.)

1.4. Amortiguacion del sonido en una y tres dimensiones

Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9), observamos una diferencia esencial entreambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan(salvo por efectos debidosa viscosidad, que aquı estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales sı.Estas ultimas avanzan, pero la amplitud de las perturbaciones de presion decae con el inversode la distancia al origen de la perturbacion.

1.5. Ejercicios y cuestiones

1. Explique en que consiste la linealidad de la ecuacion deondas acustica. Comenteque pasarıa si las variaciones de presion y densidad fueran del mismo orden que lapresion y densidad atmosfericas.

Page 10: Apuntes acustica

CAPITULO 1. PROPAGACION DE LAS ONDAS SONORAS 7

2. Explique por que una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas debil mientrasque una onda plana mantiene su amplitud.

3. Definiendo la impedancia acustica comoZ = p ′/u, calcule el valor de esta impedanciapara una onda plana unidimensional de la forma

u = sin[w(x/c− t)].

Calcule este mismo valor para una onda acustica tridimensional de la forma

u = sin[w(r/c− t)]/r.

Nota: en el siguiente capıtulo se explicara como es mas util ver las soluciones de ondaplanas como funciones de variable compleja, definiendose acontinuacion la impedan-cia compleja acustica, que en general sera una cantidad compleja.

4. Represente graficamente una onda tridimensional en el ordenador.

Page 11: Apuntes acustica

Capıtulo 2

Soluciones de la ecuacion de ondas

2.1. Ondas armonicas planas

Como se vio en el capıtulo anterior, las ondas armonicas planas son soluciones de laecuacion de ondas de la forma

p ′ = A cos(wt− kx+ φ). (2.1)

Es comun utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonometricas para representar estasondas, puesto que es mucho mas facil operar con exponenciales que con senos y cosenos. Elcalculo elemental de variable compleja establece que

exp(iθ) = cos θ + i sen θ, (2.2)

luego la onda plana (2.1) se puede escribir como la parte real de una funcion compleja

p ′ = ReA exp[i(wt− kx+ φ)] = ReA′ exp[i(wt− kx)], (2.3)

dondeA′ = A exp(iφ) (2.4)

representa una amplitud compleja. Esta notacion es tan utilizada que normalmente cuandoescribimos una onda en forma compleja se sobreentiende que se toma la parte real, por loque se suele escribir

p ′ = A′ exp[i(wt− kx)], (2.5)

sabiendo que la presion es en realidad la parte real de esta expresion. La forma complejatambien puede utilizarse para expresar la velocidadu, la densidadρ′ y todas las demas vari-ables que satisfacen la ecuacion de ondas, sobreentendiendose siempre que se debe tomar laparte real.

Gracias a la linealidad de la ecuacion de ondas cualquier suma de ondas planas es tambiensolucion de la ecuacion de ondas. Esta propiedad sera analizada con mayor detalle en elcapıtulo siguiente, en el que se expondra la teorıa de descomposicion de una onda arbitrariacomo superposicion de ondas planas (armonicos).

8

Page 12: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 9

2.1.1. Impedancia acustica

En el capıtulo anterior obtuvimos la ecuacion de cantidadde movimiento para el campoacustico

ρ0

∂u

∂t= −∇p ′. (2.6)

Para una onda plana expresada en su forma compleja, esta ecuacion permite escribir

u =p ′

ρ0c0. (2.7)

Se define laimpedancia acustica, Z, como la cantidad, en general compleja,

Z =p ′

u. (2.8)

Sin embargo, segun la ecuacion (2.7), para una onda plana la impedancia acustica es unacantidad real

Zonda plana = ρ0c0. (2.9)

2.1.2. Intensidad acustica

Se define laintensidad acustica, I, como la media temporal en un punto del espacio delproducto de la presion por la velocidad (ambas magnitudes reales), es decir

I =< Re[p ′] Re[u] >T

=1

T

∫ T

0

Re[p ′] Re[u] dt. (2.10)

Esta cantidad representa la cantidad de energıa que atraviesa por unidad de tiempo (potencia)la unidad de superficie perpendicular a la direccion de propagacion de la onda. Por definicionla intensidad acustica es siempre una magnitud real.

Para una onda plana tenemos

Ionda plana =1

T

∫ T

0

A2 cos2(wt− kx+ φ)

ρ0c0dt =

A2

2ρ0c0

2.2. Ondas esfericas

Las ondas esfericas son soluciones con simetrıa esferica de la ecuacion de ondas tridi-mensional

∂2p ′

∂t2− c20∇2p ′ = 0. (2.11)

Como vimos en el capıtulo anterior, tienen la forma general

p ′ =1

rf1(c0t− r) +

1

rf2(c0t+ r), (2.12)

Page 13: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 10

lo que se puede comprobar facilmente si escribimos la parteradial del laplaciano en esfericas

∇2r =

∂2

∂r2+

2

r

∂r. (2.13)

y sustituimos (2.13) y (2.12) en la ecuacion de ondas (2.11). El primer termino de la soluciongeneral (2.12) representa una onda divergente que se propaga radialmentehacia todos ladosa partir del origen de coordenadas, mientras que el segundo termino representa una onda queconverge hacia el centro.

Vemos que las ondas planas no son solucion de la ecuacion deondas esferica, pero sinembargo sı que son soluciones funciones de la forma

p ′ =A

rcos(wt− kr + φ) (2.14)

que, como las ondas planas, tambien pueden representarse en forma compleja

p ′ = Re

A′

rexp[i(wt− kr)]

(2.15)

dondeA′ = A exp(iφ) vuelve a ser una amplitud compleja. Conviene hacer notar queestasondas tambien pueden expresarse como superposicion de ondas planas siempre que hagamosesta superposicion para cada punto fijo del espacio, en cuyocasor sera fijo y su contribucionpodra absorberse en el coeficienteA′.

2.2.1. Impedancia acustica

Para calcular el campo de velocidades en el caso de ondas esf´ericas introducimos (2.15)en la ecuacion de cantidad de movimiento

ρ0

∂u

∂t= −∂p

∂r=A′

r2exp[i(wt− kr)] + i

A′

rk exp[i(wt− kr)], (2.16)

e integramos una vez con respecto al tiempo, de donde se obtiene

u =A′

rexp[i(wt− kr)]

(

1

ρ0c0− i

ρ0c0kr

)

= p ′

(

1 − i/kr

ρ0c0

)

(2.17)

lo que nos permite observar que en este caso la impedancia ac´ustica

Z =p ′

u=

ρ0c01 − i/kr

= ρ0c0(kr)2

1 + (kr)2+ iρ0c0

kr

1 + (kr)2. (2.18)

no es real, sino compleja.A la parte real de la impedancia se le denominaresistencia acustica especıfica, y a la

parte imaginaria se le llamareactancia acustica especıfica. Cuandokr → ∞ la impedancia

Page 14: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 11

acustica tiende a contener tan solo la parte real, que adem´as coincide con la de las ondasplanas. Podemos calcular el modulo y la fase de la impedancia de una onda esferica,

Z = |Z| exp(iψ), (2.19)

donde

|Z| =ρ0c0kr

1 + (kr)2= ρ0c0 cosψ, (2.20)

ψ = arcsen

[

1√

1 + (kr)2

]

= arccos

[

kr√

1 + (kr)2

]

. (2.21)

2.2.2. Intensidad acustica

La intensidad acustica de una onda esferica viene dada por(el resultado es trivial y sedeja como ejercicio al lector)

I =1

T

∫ T

0

Re[p ′]Re[u]dt =A2

2ρ0c0r2, (2.22)

que como puede observarse decae con el cuadrado de la distancia al origen. Desde un puntode vista fısico, esto se debe al hecho de que el flujo total de energıa asociado a la onda sereparte sobre una superficie cuyo area crece proporcionalmente al cuadrado de la distanciaal origen. Observese que la expresion para la intensidad coincide con la de una onda planasi definimos una amplitud de presion que decaiga linealmente con la distancia al origen,P = A/r, en cuyo caso

I =P 2

2ρ0c0. (2.23)

2.3. Suma de sonidos

En esta seccion estudiaremos la suma en un punto del espaciode los sonidos provenientesde dos o mas fuentes distintas. En general los sonidos tendran distinta amplitud, fase y fre-cuencia. Debido a la linealidad de la ecuacion de ondas, la presion resultante en dicho puntosera la suma de las presiones individuales

p ′

total =

n∑

j=1

Re[A′

j exp(iwjt)] =

n∑

i=1

Ai cos(wit+ φ), (2.24)

aunque con caracter general no podremos decir nada sobre laamplitud de este sonido. Sinembargo, la intensidad del sonido resultante sera (en estecasoT ya no representa el perıodo,sino un intervalo de tiempo suficientemente grande como paraque esten incluidos muchos

Page 15: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 12

ciclos de todos los sonidos)

I =1

T

∫ T

0

Re

[

n∑

i=1

p ′

i

]

Re

[

n∑

i=1

ui

]

dt

=

n∑

i=1

1

T

∫ T

0

Re[p ′

i]Re[ui]dt+

n∑

i=1

n∑

j=1

j 6=i

1

T

∫ T

0

Re[p ′

i]Re[uj]dt. (2.25)

El primer termino de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos,y es un termino siempre positivo. El segundo termino representa una suma de integrales deproductos de pares de funciones periodicas de frecuenciasque no son iguales. Es casi im-posible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matem´aticamente el conjunto de valoresde frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen cero en el es-pacio de frecuencias). De este modo, en primera aproximaci´on la intensidad total podremoscalcularla simplemente como la suma de las intensidades de los sonidos individuales, es decir

I ≃n∑

i=1

A2i

2ρ0c0. (2.26)

Sin embargo, si los sonidos son producidos por fuentes identicas la frecuencia sera la misma,con lo que si en algun punto del espacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad delsonido resultante ya no sera igual a la suma de las intensidades de los sonidos por separado.

2.4. Acustica geometrica: ondas y rayos

2.4.1. Introduccion

Una onda plana se distingue porque su direccion de propagacion y su amplitud son lasmismas en todo el espacio. En el mundo real las ondas sonoras no gozan de esta propiedad,en lugar de ondas planas encontramos haces de sonido cuya seccion transversal y direccionde propagacion van cambiando al atravesar el medio. Sin embargo, existen casos donde unaonda sonora no plana puede considerarse como plana en una pequena region del espacio. Paraello es necesario que la amplitud y la direccion de la onda varıen muy poco en distancias delorden de la longitud de onda.

Cuando se satisface esta condicion, resulta conveniente introducir la nocion derayos enel sentido de lıneas cuyas tangentes coinciden en todo punto con la direccion de propagacionde la onda [5, Cap. 8]. Se puede hablar entonces de la propagacion del sonido a lo largo de losrayos sin prestar atencion a su naturaleza ondulatoria. Elestudio de las leyes de propagaciondel sonido se enmarca entonces en el ambito de laacustica geometrica.

2.4.2. Ecuacion fundamental de la acustica geometrica

En muchas ocasiones resulta por tanto mas util pensar en t´erminos de rayos que en lugarde ondas. Esta utilidad se debe a la idea intuitiva, justificada matematicamente bajo ciertas

Page 16: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 13

Figura 2.1: La aproximacion de un haz de sonido por un rayo esta justificada si la secciontransversal del haz es grande frente a la longitud de onda,A ≫ λ. En el centro, el haz secomporta como una onda plana. En el borde, donde la amplitud varıa en distancias del ordende la longitud de onda, deja de ser valida la aproximacion por rayos.

Figura 2.2: Ejemplo de aplicacion de la acustica geometrica: debido a la difraccion la barreracontra el sonido es mas efectiva para las frecuencias altasque para las bajas.

condiciones, de que la energıa viaja a lo largo de los rayos.De un modo formal, un rayo sedefine como una lınea perpendicular en todos los puntos a lassuperficies de fase constante.Para poder interpretar las ondas en terminos de rayos estashan de cumplir las siguientescondiciones:

1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del ordende la longitud de onda.

2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden dela longitud de onda.

En ese caso, si∇Γ es un vector perpendicular a las superficies de fase constante y n =c0/c(x, y, z) es el ındice de refraccion, definido como la velocidad del sonido en algun puntofijo dividida por la velocidad del sonido como funcion del espacio, obtenemos la ecuacionde la Eikonal en una de sus formas

d

ds(∇Γ) = ∇n. (2.27)

En los ejercicios de final de capıtulo se exploran mas a fondo las consecuencias de estaecuacion.

Page 17: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 14

Figura 2.3: Evolucion temporal de una porcion de superficie de fase constante.

Quizas la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si un sonido consisteen un haz de una determinada seccion transversalA, tal queA1/2 ≫ λ, entonces podemosaproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comportacomo unaonda plana(veaseFig. 2.2). En el borde del haz de sonido, donde la amplitud varıa rapidamente, no se puedeaproximar las ondas por rayos, pues aparece la difraccion.En resumen, la acustica geometri-ca sera tanto mas aproximada cuanto menor sea la longitud de onda del sonido, o mayor seala frecuencia.

A continuacion se da la demostracion matematica de (2.27), que por su complejidad sedeja como lectura voluntaria.

Consideremos la ecuacion de ondas tridimensional

∂2p ′

∂t2− [c(x, y, z)]2∇2p ′ = 0 (2.28)

donde la velocidad del sonidoc puede ser funcion de la posicion. Deseamos obtener una ecuacionpara un vector perpendicular a las superficies de fase constante. Para un haz de sonido que atraviesaun fluido homogeneo (c = cte) o inhomogeneo (c =funcion de la posicion), podemos esperar quela amplitud de la onda varıe con la posicion y que las superficies de fase constante esten dadas porfunciones complicadas de la posicion. Ası pues, probamossoluciones de la forma

p ′(x, y, z) = A(x, y, z) expiw[t − Γ(x, y, z)/c0] (2.29)

dondeA tiene unidades de presion,Γ tiene unidades de longitud yc0 es una constante arbitraria querepresenta la velocidad del sonido de referencia. Las superficies de fase constante son por definicionlas superficiesΓ(x, y, z) = cte, de modo que∇Γ es un vector perpendicular en cada punto a una deestas superficies. Por ejemplo, siA = cte y Γ = x, la solucion (2.29) se reduce ap ′ = A exp[iw(t−x/c0)], que es una solucion de (2.28) de tipo onda plana sic = cte = c0. Asimismo, notese que∇Γ =~i tiene modulo unidad y apunta siempre en la direccion de propagacion de la onda (la direccionx en este sencillo ejemplo).

Introduciendo la solucion de prueba (2.29) en la ecuacion de ondas (2.28) se obtiene

∇2A

A−(

w

c0

)2

∇Γ · ∇Γ +(w

c

)2

− iw

c0

(

2∇A

A· ∇Γ + ∇2Γ

)

= 0 (2.30)

Page 18: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 15

Esta ecuacion es tan complicada que aparentemente el tratamiento de ondas por rayos no ofreceninguna ventaja. Sin embargo(w/c0)

2 es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la longitudde onda es mucho mas pequena que las longitudes caracterısticas de variacion deA oΓ en el problemalos dos terminos dominantes en la ecuacion resultan ser elsegundo y el tercero. La ecuacion (2.30)adopta entonces la forma simplificada

∇Γ · ∇Γ = n2 (2.31)

donden(x, y, z) =

c0

c(x, y, z)(2.32)

es el denominadoındice de refraccion. La ecuacion (2.31) se conoce como ecuacion de laEikonal,y las simplificaciones que introduce ya sı que justifican el tratamiento de las ondas por rayos. Laecuacion de la Eikonal implica que∇Γ debe tener la forma

∇Γ = n (cos θx~i + cos θy

~j + cos θz~k) (2.33)

dondecos θx, cos θy y cos θz representan los cosenos directores del vector∇Γ, paralelo en todos lospuntos a los rayos. Si llamamoss a la distancia medida a lo largo de un rayo, la derivada del vector∇Γ con respecto as viene dada por la ecuacion1

d

ds(∇Γ) = ∇n (2.34)

que es precisamente la ecuacion (2.27).

2.4.3. La ley de Snell

Un resultado muy potente que se deriva de (2.27) es la conocida comoLey de Snell. Sepuede obtener un enunciado simple de esta ley si consideramos que la velocidad del sonidoes solo funcion dex. Si nos restringimos por sencillez a la propagacion en el planox, y, elvector∇Γ se puede escribir

∇Γ = n(cosϕ~i+ senϕ~j) (2.35)

dondeϕ es el angulo de elevacion del rayo sobre la horizontal, definida por el ejex. En elcason = n(x) las dos componentes de (2.27) se reducen a

d

ds

(c0c

senϕ)

= 0,d

ds

(c0c

cosϕ)

= −c0c2dc

dx. (2.36)

Integrando la primera ecuacion se obtiene la siguiente relacion

sinϕ

c(x)= cte, (2.37)

1La demostracion de este resultado puede encontrarse en el libro de Kinsler et al. [1, Sec. 5.13]

Page 19: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 16

que constituye uno de los enunciados de la ley de snell. Esta ley establece que la direccionen que se propaga un rayo,ϕ, queda determinada de manera unıvoca una vez conocida ladireccionϕ0 del rayo en otra posicionx0 donde la velocidad del sonidoc0 es conocida:

sinϕ

c(x)=

sinϕ0

c0(2.38)

Conviene destacar que (2.38) sigue siendo valida incluso si la funcionc(x) es discontinua.Como veremos mas abajo esto permite, por ejemplo, ligar losangulos de la onda incidentey transmitida en la incidencia oblicua de una onda plana en lainterfase con un fluido dedistintas propiedades.

2.5. Transmision y reflexion de las ondas acusticas

Cuando una onda plana viaja en un medio 1 e incide sobre la superficie de separacioncon otro medio 2, la onda sufre en general una reflexion y una refraccion, produciendose dosnuevas ondas cuyas amplitudes y fases son en general distintas a las de laonda incidente.Parte de la energıa transportada por la onda incidente continua propagandose por el segundomedio, dando lugar a lo que se conoce comoonda transmitida, mientras que otra parterebota en la entrefase entre los dos medios y vuelve como unaonda reflejada en sentidocontrario a la original. De este modo, en el medio 1 el movimiento resulta de la superposicionde dos ondas (la incidente y la reflejada) mientras que en el medio 2 solo hay una (la ondatransmitida o refractada). La relacion existente entre estas tres ondas viene determinada porlas condiciones de contorno en la superficie de separaracion. Estas condiciones de contornose resumen en que la presion y la velocidad normal a la entrefase deben ser continuas a travesde la misma.

2.5.1. Coeficientes de transmision y reflexion

Si p ′

i es la presion compleja de la onda incidente yp ′

t y p ′

r las de las ondas transmitidasy reflejadas, respectivamente, podemos definir loscoeficientes de transmision y reflexionde presion, que en general seran complejos, como

T =p ′

t

p ′

i

, R =p ′

r

p ′

i

. (2.39)

Tambien se suelen usar los coeficientes de transmision y reflexion de intensidad denotadosporTI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la ondaincidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente,

TI =ItIi, RI =

IrIi. (2.40)

Estos coeficientes son reales y pueden expresarse en funcion de los anteriores como

TI =ρ01c1ρ02c2

|T |2, RI = |R|2 (2.41)

Page 20: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 17

En general no tendremos ondas planas, sino haces de sonido, pero vimos en la seccionanterior que cuando el area de la seccion de los haces es grande frente a la longitud de onda,estos se comportan como una onda plana en un dominio finito; enese caso los coeficientesde transmision y reflexion son igualmente aplicables. Evidentemente, aun teniendo un hazque cumpla las condiciones de rayo, si el objeto que provoca la reflexion es de tamanocomparable a la longitud de onda se producen interferencias(difraccion) y las relacionesque presentamos aquı dejan de ser aplicables.

Un parametro importante en un haz de sonido es la potencia que transmite el haz.Estase calcula multiplicando la intensidad del haz por su area de seccion. De manera analoga ala presion e intensidad se pueden definir coeficientes de transmision y reflexion de potencia,Tπ y Rπ, que no coincidiran en general con los de intensidad, porque aunque el area del hazreflejado es igual al area del incidente (Ai), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefaseel haz transmitido tiene un area distinta (At), de donde

Tπ =Atρ01c1Aiρ02c2

|T |2, Rπ = |R|2 (2.42)

Como consecuencia de la conservacion de la energıa, la potencia del rayo incidente deberepartirse entre los rayos transmitido y reflejado, luego sedebe cumplir que

Tπ +Rπ = 1. (2.43)

2.5.2. Incidencia normal en un fluido

Los coeficientes de transmision y reflexion para el caso de incidencia normal en la fron-tera entre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presion como la veloci-dad normal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser

Rπ =1 − r1/r21 + r1/r2

, TI =2

1 + r1/r2, (2.44)

donde se han definido las impedanciasri = ρici. Los coeficientes de transmision y reflexionde intensidad son

RI =

(

1 − r1/r21 + r1/r2

)2

, TI = 4r1/r2

(1 + r1/r2)2, (2.45)

que son iguales a los de potencia, puesto que el area de los tres haces es igual en este caso.El coeficiente de reflexion es positivo cuandor1 < r2, y negativo en caso contrario, lo

cual implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estaren fase con la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario,T siemprees positivo, por lo que en la frontera la onda transmitida siempre esta en fase con la ondaincidente.

Page 21: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 18

ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA

ONDA REFLEJADA

1 2

Figura 2.4: Reflexion y refraccion por la incidencia normal de una onda en una frontera dedos fluidos.

2.5.3. Incidencia oblicua en un fluido

Cuando una onda incide oblicuamente formando un anguloθi con la frontera de sep-aracion entre dos fluidos como muestra la figura, resulta quede aplicar la continuidad depresiones obtenemos que el angulo de la onda reflejada,θr, debe cumplir

sen θi = sen θr, (2.46)

mientras que por la ley de Snell el angulo de la onda transmitida,θt, viene dado por

sen θi

c1=

sen θt

c2. (2.47)

Utilizando ahora la relacion trigonometricacos θt =√

1 − sen2 θt junto con la expresionanterior se obtiene

cos θt =√

1 − (c2/c1)2sin2θi . (2.48)

Este resultado permite extraer una importante conclusion.Para que exista onda transmitidadebe cumplirse la relacion

c2sen θi

c1< 1. (2.49)

Como vemos, es posible que esta ultima ecuacion no tenga solucion, lo cual ocurrira paraangulos de incidenciaθi tales que

sen θi >c1c2, (2.50)

en cuyo caso no existira onda transmitida y se producira una reflexion total. Existe por tantoun angulo de incidencia crıtico θc, definido por

θc = arcsen

(

c1c2

)

, (2.51)

tal que para angulos de incidencias mayores no existe onda transmitida.

Page 22: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 19

θ

θθr

i

t

1 2

Figura 2.5: Reflexion y refraccion por la incidencia oblicua de una onda en una frontera dedos fluidos.

Aunque podrıa parecer que siempre deberıa existir onda reflejada, esto no es cierto. Deaplicar continuidad en la componente normal de la velocidadobtenemos la siguiente expre-sion para el coeficiente de reflexionR, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida,siendo igual a uno en caso contrario,

R =(ρ2c2/ρ1c1) − (cos θt/ cos θi)

(ρ2c2/ρ1c1) + cos θt/ cos θi. (2.52)

Vemos que cuandoρ2c2/ρ1c1 = cos θt/ cos θi el valor deR es igual a cero por lo que deja deexistir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminandocos θt obtenemos el valor delangulo de incidenciaθI para el que esto ocurre, llamadoangulo de intromision, que vienedado por

sen θI =

1 − (ρ1c1/ρ2c2)2

1 − (ρ1/ρ2)2. (2.53)

2.6. Absorcion de las ondas sonoras

Aunque no ha habido ninguna mencion sobre el efecto de la disipacion del sonido debidoa que hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una ondasonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirtiendose en energıatermica. Las causas de esta disipacion se encuentran tanto en el seno del propio fluido comoen la frontera de este fluido con superficies solidas u otros fluidos que se hacen importantesen medios porosos, en tubos finos o en conductos pequenos. Las causas de estas perdidas sonvarias, siendo las mas importantes las perdidas por viscosidad, las perdidas por conducciontermica y las perdidas por intercambios moleculares.

Un estudio completo del efecto de estas perdidas cae fuera del objetivo de estas notas.Aquı solo queremos senalar que el efecto mas importante es en su forma mas simple provocar

Page 23: Apuntes acustica

CAPITULO 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDAS 20

un decaimiento en la amplitud de tipo exponencial, de maneraque la solucion en lugar deser por ejemplo una onda plana es de la forma

p ′ = A′ exp[i(wt− kx)] exp(−x/δ) (2.54)

dondeδ es una distancia caracterıstica de relajacion que depende en general de la frecuen-cia. Normalmente los fenomenos de disipacion de la energ´ıa acustica ocurren a lo largo demuchas longitudes de onda, siendo por tantoδ ≫ λ.

2.7. Ejercicios y cuestiones

1. Repita el problema 3 del capıtulo anterior usando esta vez la impedancia compleja.

2. Calcule numericamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases arbitrarias en unpunto fijo del espacio. Calcule(I1 + I2 + I3)

2 y compare este valor conI21 + I2

2 + I23 .

3. Considerando la propagacion de un rayo en el ejex, y, demuestre que si la velocidaddel sonidoc es solo funcion dex, entoncesdϕ/ds = (sinϕ0/c0) dc/dx, conϕ = ϕ0

parac = c0, dondeϕ es el angulo de elevacion del rayo sobre la horizontal. Determineel radio de curvaturaR del rayo en el casodc/dx = cte.

4. Calcule los angulos de reflexion y refraccion de una onda plana que viaja en el aire eincide con un angulo de incidencia de30o sobre el agua.

Page 24: Apuntes acustica

Capıtulo 3

Analisis en frecuencia

3.1. Superposicion de soluciones

Debido a la linealidad de la ecuacion de ondas, si tenemos dos soluciones de la forma

p ′

1 = A ′

1 exp[i(w1t− k1x)], (3.1)

p ′

2 = A ′

2 exp[i(w2t− k2x)], (3.2)

la sumap ′

12 = p1 +p2 tambien es solucion de la ecuacion. Esta nueva solucionno tendra unafrecuencia definida, sino que sera la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se dice quela nueva ondap ′

12 contiene dosarmonicos de frecuenciasw1 y w2. En general podemosobtener una onda con tantos armonicos como queramos simplemente sumando otras tantasondas elementales de frecuencias puras.

En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio y analizaremos lapresion en dicho punto como funcion del tiempo. Consideraremos por tanto armonicos de laforma

p ′

n = An′ exp(iwnt). (3.3)

3.2. Descomposicion en armonicos

Los resultados de la seccion anterior son mas o menos triviales, y se pueden resumircomo sigue: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintasondas sonoras que no son puras. Sin embargo, tambien se puede demostrar en sentido inversogracias al analisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas defrecuencia pura (tonos puros o armonicos). En general, haran falta infinitos armonicos parareconstruir una onda genericaf(t), esto es

f(t) = A ′

1 exp(iw1t) + A ′

2 exp(iw2t) + A ′

3 exp(iw3t) + · · · (3.4)

21

Page 25: Apuntes acustica

CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 22

3.3. Funciones periodicas y desarrollo de Fourier

En vista de los resultados de la seccion anterior, nos planteamos ahora el siguiente pro-blema: dada una funcionf(t) periodica de perıodoT deseamos calcular los armonicos deforma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la funcion originalf(t). Para ello, suponemos quef(t) puede desarrollarse como suma de armonicos,

f(t) =

∞∑

n=−∞

An exp(iwnt). (3.5)

Notese que, en principio, la funcionf(t) puede ser compleja. A este desarrollo se le llamadesarrollo de Fourier para funciones periodicas, y a los coeficientesAn, que en general sonnumeros complejos, se les llamacoeficientes de Fourier. Al ser la funcionf(t) periodica deperiodoT , se puede demostrar que los armonicos tambien han de serlo. Esto implica que lasfrecuenciaswn solo pueden ser las siguientes,

wn = 0,2π

T,

T, · · · , 2πn

T, · · · (3.6)

luego el desarrollo paraf(t) queda de la forma,

f(t) =

∞∑

n=−∞

An exp

(

i2πnt

T

)

. (3.7)

Para calcular los coeficientesAn aplicamos la condicion de ortogonalidad de las funcionesbase. Multiplicando los dos miembros de (3.7) por exp(−iwmt) e integrando en un perıodo,se obtiene

∫ T

0

f(t) exp

(−i2πmtT

)

dt =

∞∑

n=0

∫ T

0

An exp

(

i2π(n−m)t

T

)

dt. (3.8)

La integral del termino de la derecha se anula sim 6= n, al tratarse de la integral de unafuncion periodica sobre un perıodo, solo es distinta decero sim = n, en cuyo caso

∫ T

0

f(t) exp

(−i2πntT

)

dt = TAn, (3.9)

de donde se obtiene finalmente la conocida expresion para los coeficientes de Fourier,

An =1

T

∫ T

0

f(t) exp

(−i2πntT

)

dt. (3.10)

Es interesante estudiar lo que sucede cuando el perıodo def(t) tiende a infinito. Loprimero que se observa es que la diferenciawn − wn+1 entre los valores de las frecuenciasde dos armonicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollode Fourier de una senal no periodica contenga unespectro de frecuencias continuo. Lo

Page 26: Apuntes acustica

CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 23

segundo es que la amplitud de los armonicosAn tiende a cero, lo que significa que losarmonicos individuales cuentan cada vez menos a la hora de evaluar la senal. Esto es logico sipensamos que en una cierta region del espacio de las frecuencias, de espesorδw, se acumulaun numero creciente de armonicos al aumentar el periodoT , numero que se hace infinitosen el lımiteT → ∞. De este modo, si queremos que su suma total sea finita, la amplitud decada uno debe de tender a cero.

En la siguiente figura se muestran los armonicos de una onda cuadrada de amplitudunidad y periodo2π, cuyo desarrollo de Fourier viene dado porf(t) =

n=0An sen(nt)conAn = 4/nπ paran impar yAn = 0 paran par (la demostracion se deja como ejercicioal lector).

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 1

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 3

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 5

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 7

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 9

0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x/π

n = 11

Figura 3.1: Representacion de Fourier de una onda cuadradautilizandon = 1, 3, 5, 7, 9 y 11armonicos.

Page 27: Apuntes acustica

CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 24

3.4. Espectro continuo. Transformada de Fourier

Los resultados de la seccion anterior sugieren como se debe actuar para calcular la des-composicion en armonicos de una funcion no periodica. Ala funcion que da la amplitudde un armonico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llamatransformadade Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una funcion distinta para cadaonda, y que asocia para cada valor de frecuencia un numero que representa la amplitud delarmonico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguiente ecuacion

f(t) =

−∞

f(w) exp(iwt)dw. (3.11)

La transformada inversa de Fourierpermite obtener de forma explıcita los coeficientes

f(w) =1

−∞

f(t) exp(−iwt)dt. (3.12)

3.5. Teorema de Parseval y espectro de frecuencias

Es facil demostrar la siguiente ecuacion:∫

−∞

f(t)f ∗(t)dt =1

−∞

f(w)f ∗(w)dw, (3.13)

que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energıa de una senal como integralen el tiempo con la energıa en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor def(w)f ∗(w)dw/2π como la cantidad de energıa contenida en un intervalo de frecuenciasdwen torno aw.

El conocimiento de las bandas de octava de un sonido generico es una informacion muyutil, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como severa mas adelante, es fundamen-tal a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decae parafrecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad de energıacomo funcion de la frecuencia,log[f(w)f ∗(w)]. La figura3.2 representa el espectro tıpicode un ruido.

3.6. Ejercicios y cuestiones

1. Represente graficamente el primer armonico de la descomposicion de Fourier de unaonda cuadrada. Represente a continuacion tres, cinco, diez y veinte armonicos. Com-pruebe que a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada, que po-drıan inducir a pensar que los armonicos de altas frecuencias son importantes, la ampli-tud de los armonicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe que en los puntosde discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio.

Page 28: Apuntes acustica

CAPITULO 3. ANALISIS EN FRECUENCIA 25

w

log(|f(w)| )2

Figura 3.2: Espectro tıpico de un ruido.

2. Calcule el espectro de Fourier para ondas cuadradas de distintos periodos. Observecomo al crecer el periodo los distintos armonicos se van juntando y su amplitud vadecreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a infinito, lo que se correspondecon una onda no periodica el espectro de frecuencias tiendehacia el continuo.

3. Represente los armonicos de la onda cuadrada pero con unafase arbitraria. Pese aque esto no se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el oıdo humano nodistingue entre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual queuna onda cuadrada.

Page 29: Apuntes acustica

Capıtulo 4

Modelos de Fuentes sonoras

4.1. Modelo de esfera pulsante

Consideremos una esfera de radioa que esta pulsando periodicamente, es decir, aumen-tando y disminuyendo de radio de manera periodica con cierta amplitud. Supondremos quela amplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que este-mos dentro de la aproximacion de la acustica lineal. El objetivo es calcular el campo acusticogenerado en el exterior de la esfera pulsante.

Como hemos visto en capıtulos anteriores la solucion con simetrıa esferica a la ecuacionde ondas tiene de la forma

p ′(r, t) =A ′

rexp[i(wt− kr)], (4.1)

que sera la solucion al problema una vez hayamos determinado la constanteA ′. Para cal-cular esta constante debemos imponer la condicion de contorno en la superficie de la esferapulsante, donde la velocidad es conocida,

u(a, t) = U0 exp[i(wt+ φ)]. (4.2)

La presion en la superficie de la esfera la obtenemos sin masque multiplicar la velocidadpor la impedancia acustica evaluada enr = a. La impedancia acustica es, como sabemos, lacorrespondiente a una onda esferica evaluada enr = a,

Z(a) = ρ0c0 cosψa exp(iψa), (4.3)

donde, como vimos en el capıtulo 2,

ψa = arcsen

(

1√

1 + (ka)2

)

. (4.4)

Ası pues la presion a una distanciar del centro de la fuente viene dada por

p ′(r, t) = ρ0c0U0

(a

r

)

cosψa exp[i(wt− k(r − a) + ψa + φ)]. (4.5)

26

Page 30: Apuntes acustica

CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 27

La intensidad acustica media es

I =1

2ρ0c0U

20

(a

r

)2

cos2 ψa. (4.6)

Es interesante observar que cuandoka → 0 la intensidad tiende a cero, de modo que unaesfera cuyo radio sea muy pequeno comparado con la longitudde onda del sonido que emiteapenas radia energıa acustica.

4.2. Fuente lineal sonora

En esta seccion consideraremos el campo acustico generado por una varilla de dimensionlongitudinalL y radio nulo como muestra la figura 3.1. Aunque no es muy difıcil obteneranalıticamente el campo acustico generado por una varilla pulsante de dimension finita, eldesarrollo matematico se sale de los objetivos de este documento introductorio. Sin embargo,sı se debe mencionar que el procedimiento es realizar una serie de simplificaciones quepermiten escribir la amplitud del campo acustico a distancias grandes comparadas con lasdimensiones de la varilla como el producto de dos funciones,una depende solo de la distanciaa la varilla, y la otra depende del angulo al eje de la varilla, como muestra la figura 3.1,

p ′(r, θ, t) = Pax(r)H(θ) exp[i(wt− kr)]. (4.7)

Este procedimiento se usa frecuentemente para describir elcampo acustico lejanode fuentescomplicadas. Para la varilla se puede obtener una expresion analıtica para estas funciones,resultando

Pax(r) =1

2ρ0cU0

a

rkL, H(θ) =

sen v

v

∣, (4.8)

dondev = 1/2kLsenθ.Es comun representar graficamente las funcionesH(θ) como funcion del angulo para

obtener una idea significativa de las direcciones en las que el sonido va a ser mas fuerte.Es mas comun representar20 logH(θ). A estos graficos se les denomina patrones de rayos.En los ejercicios propuestos al final de esta leccion se invita al alumnos a que represente elpatron de rayos tanto para la varilla como para el piston pulsantes.

4.3. Piston pulsante

En esta seccion consideraremos el campo acustico generado por un piston plano pul-sante de radioa, como muestra la figura 3.2. Al igual que con la varilla, se puede obteneruna expresion analıtica para el campo acustico generadopero aquı nos limitaremos a darla expresion para las funcionesPax(r) que coincide con la expresion para la varilla, y paraH(θ),

Pax(r) =1

2ρ0cU0

a

rkL, H(θ) =

2J1(v)

v

, (4.9)

dondev = ka sen(θ) y J1(v) es la funcion de Bessel de primera clase y orden 1.

Page 31: Apuntes acustica

CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 28

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

kL=24

abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t)))

Figura 4.1: Patron de rayos para la varilla vibrante conkL = 24.

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ka=10

abs(2.*besj1(10.*sin(t))/(10.*sin(t)))

Figura 4.2: Patron de rayos para el piston pulsante conka = 10.

4.4. Factor de directividad

Como hemos visto, las fuentes sonoras no radian sonido por igual en todas las direc-ciones. La potencia totalΠ radiada por una fuente proviene de integrar la intensidad delaenergıa sonora en una superficie cerrada que contenga la fuente. Si descomponemos la pre-sion en el campo lejano como hemos hecho para la varilla y el piston en una funcion quedepende del radio por una funcion que depende de los angulos tenemos:

Π =1

2ρ0c0

P 2(r, θ, φ)r2dΩ =1

2ρ0c0r2P 2

ax

H2(θ, φ)dΩ, (4.10)

donde hemos escogido una esfera de radio r para integrar ydΩ es el diferencial de angulosolido. Si esta fuente radiara igual en todas las direcciones entonces la intensidadIo quehabrıa a una distanciar no dependerıa de los angulos y serıa

Io =Π

4πr2. (4.11)

Se define elfactor de directividad de una fuente en una determinada direccion como elcociente entre la intensidad de energıa sonora realmente radiada en esa direccionIr y la que

Page 32: Apuntes acustica

CAPITULO 4. MODELOS DE FUENTES SONORAS 29

radiarıa si la fuente fuese omnidireccionalIo. El factor de directividad se designa por la letraQ y no tiene dimensiones:

Q =IrIo. (4.12)

4.5. Ejercicios y cuestiones

1. Represente graficamente mediante ordenador las funcionesH(θ) y 20 logH(θ), parala varilla y el piston pulsante.

2. Calcular el factor de directividad para una fuente que radia de manera isotropa perosolo en un semiespacio.

Page 33: Apuntes acustica

Capıtulo 5

Sumario de terminos

En esta seccion vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan elsonido. Muchos de los conceptos ya han quedado explicados anteriormente, pero los repe-tiremos aquı para que esta seccion sirva de referencia y contenga todas las magnitudes im-portantes, por lo que no seran explicados en detalle.

5.1. Velocidad del sonido

Es la velocidad a la que se propagan las perturbaciones en un medio material elastico. Lavelocidad del sonido depende de la densidad y del grado de elasticidad del medio a travesdel cual se transmite. En el caso de un gas ideal, como puede ser considerado el aire, hemosvisto que

c20 =

(

∂p

∂ρ

)

S

, (5.1)

pero, del primer principio de termodinamica para procesosreversibles,

du = TdS − pd(1/ρ) → cvdT = −pd(1/ρ) → cvd

(

p

Rgρ

)

= −pd(1/ρ), (5.2)

y usando queRg = cp − cv y γ = cp/cv, tenemos, para un gas ideal,

c0 =

γp

ρ=√

γRgT . (5.3)

En el aire y en condiciones normales de presion y temperatura (p = 1 atmT = 300K),resulta serc0 = 344 m/s.

5.2. Frecuencia, perıodo, longitud de onda y tonos puros

La frecuenciaes el numero de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo en una posiciondel espacio fija. La unidad es el ciclo o Hercio (Hz) y se representa porf . Algunas veces se

30

Page 34: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 31

usa el concepto defrecuencia angular, la cual esta relacionada con la frecuencia mediantela expresionw = 2πf . Si tenemos una onda sonora de la formap′ = sin(wt + kx), lafrecuencia angular esw.

El oıdo humano solo es capaz de ser excitado por sonidos cuya frecuencia este compren-dida entre 20 y 20.000 Hz, conociendose a los sonidos de frecuencia menor de 20 Hz comoinfrasonidos y a los de frecuencia mayor a 20.000 Hz como ultrasonidos.

La frecuencia nos indica eltonode un sonido, y nos ayuda a diferenciar subjetivamentelos sonidos de baja frecuencia (tono grave) de los de alta frecuencia (tono agudo). En generalel sonido estara compuesto por una suma de sonidos de distintas frecuencias, si el sonido solocontiene una frecuencia se le llamatono puro. El perıodo (T ) es la inversa de la frecuencia,T = 1/f .

Analogamente al caso de una onda del tipop ′ = sen(wt + kx), dondew representa lafrecuencia angular,k representa elnumero de ondas angular, y la cantidadK = k/2π,el numero de ondas, que es el numero de ciclos que ocurren en la unidad de espacio paraun instante de tiempo determinado. La inversa deK es lalongitud de ondaλ = 1/K, yrepresenta la distancia espacial que hay entre dos picos consecutivos de una onda periodica.La longitud de onda se relaciona con la frecuencia y la velocidad del sonido mediante laexpresionλ = c0/f .

5.3. Presion sonora

Se define lapresion sonoracomo la variacion de presion producida en un punto comoconsecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a traves del medio. Es decir, loque hemos llamandop ′ en estos apuntes. Como el valor medio en el tiempo de la presi´onsonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la variacion se utiliza lapresioneficaz(Prms), que es la raız cuadrada del valor cuadratico medio de la presion sonora:

Prms =

1

T

∫ T

0

p ′2(t)dt. (5.4)

En el caso de ondas sinusoidales, se tiene:

Prms =p ′

0√2, (5.5)

siendop ′

0 el valor maximo, oamplitud , de la presion sonora.Las variaciones de presion mas pequenas que son audiblespor el ser humano tienen un

valor eficaz de aproximadamente2 · 10−4 µbar (2 · 10−5 Pa). Para una presion media eficazmayor de200 µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el oıdo humano.

5.4. Velocidad de las partıculas fluidas

Si observamos la ecuacion (1.4), e introducimos para la presion la expresion para ladiferencia de presiones o presion sonora,p ′ = p ′

0 sen(kx−wt), y sabiendo que la velocidad

Page 35: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 32

de las partıculas fluidas esu = dξ/dt, tenemos:

∂p ′

∂x= −ρ0

∂u

∂t= kp ′

0 cos (kx− wt) → u =k

ρ0wp ′

0sen (kx− wt) =p ′

c0ρ0

, (5.6)

luegou = p ′/c0ρ0, y tenemos relacionada la velocidad con la presion sonora para una ondasinusoidal. Esta relacion es completamente valida sea o no la onda sinusoidal, bastando conquep ′ = f(x− ct). Un valor tıpico de la impedancia acustica esρ0c0 = 413 kg/m2s para elcaso del aire a temperatura y presion ambientes.

5.5. Intensidad, potencia y densidad de energıa sonora

La energıa sonora que atraviesa por unidad da tiempo la unidad de superficie perpen-dicular a la direccion de propagacion se denominaintensidad sonoray viene dada por laexpresion

I = |p′u| (5.7)

donde las barras verticales indican que estamos haciendo lamedia temporal. Es facil ver quepara una onda plana la intensidad sonora es

I =P 2

rms

ρ0c0. (5.8)

La potencia sonora(W ) a traves de un area muy pequena∆A es el producto de laintensidad sonora por ese area,

∆W = I ∆A =P 2

rms

ρ0c0∆A. (5.9)

Si queremos calcular la potencia sonora a traves de un areagrande, la dividimos en areas losuficientemente pequenas para que la intensidad sonora seaconstante en ellas, y sumamostodas las potencias que pasan por cada una de ellas:

W =∑

i

Ii ∆Ai, (5.10)

donde el subındicei nombra a cada una de las subareas. Por ejemplo, si tenemos una inten-sidad uniforme (no depende del espacio), la potencia sonoraque atraviesa un area igual aAperpendicularmente a la direccion de propagacion es

W = AI. (5.11)

La densidad de energıa sonora(D) se define como la cantidad de energıa sonora con-tenida en la unidad de volumen del medio, se mide enJ/m3, y se expresa para una intensidadde energıa sonora uniforme como

D =P 2

rms

ρ0c20

. (5.12)

Page 36: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 33

5.6. Factor de directividad

Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situacion en el espacio,no radian la misma cantidad de energıa en todas las direcciones. En general la radiacion sepuede concentrar en una cierta direccion o direcciones y seaparta del patron de radiacionesferico u omnidireccional.

Se define comofactor de directividad de una fuente en una determinada direccion alcociente entre la energıa (intensidad de energıa sonora)realmente radiada en esa direccion yla que radiarıa (para una misma potencia total) si la fuentefuese omnidireccional. Se designapor la letraQ y no tiene dimensiones:

Q =IrIo, (5.13)

dondeIr es la intensidad de energıa en esa direccion yIo es la intensidad que se radiarıa parael caso de radiacion isotropa.

Veamos para fijar ideas un ejemplo sencillo de como se calcularıa el factor de directividadpara una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esferica alrededor de lafuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esferica en superficies pequenas donde laintensidad sonora sea uniforme (∆Ai). Medimos todas las intensidades sonoras (Ii) en cadauna de las superficies pequenas. A continuacion calculamos la potencia total radiada multi-plicando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W =

i Ii∆Ai). A con-tinuacion calculamos la intensidad que radiarıa la fuente esferica homogenea (I0 = W/A).Finalmente calcularıamos los factores de directividad enesas direcciones (Qi = Ii/I0).

5.7. El decibelio

Si se tiene en cuenta que el margen de presion sonora que el o´ıdo humano es capazde interpretar se extiende en un rango que comprende desde2 · 10−5 Pa hasta20 Pa, esevidente la imposibilidad de utilizacion de una escala lineal de medida compuesta por unmillon de unidades. Ademas, es conocido que el organismo humano tiene una respuestaaproximadamente logarıtmica a los estımulos sonoros. Por todo ello se recurre en acustica aexpresar las magnitudes endecibelios(unidad logarıtmica) al hablar de niveles de presion,intensidad y potencia.

El Belio (B) es la division fundamental de una escala logarıtmica utilizada para expresarla relacion de dos medidas depotencia. Se define el numero de Belios como el logaritmodecimal del cociente entre las dos cantidades y es por lo tanto una magnitud que no tienedimensiones.

Si W es la potencia que se considera,W0 es una potencia de referencia yN el numerode Belios que representa la relacionW/W0, entonces se tiene:

N = logW

W0

. (5.14)

Page 37: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 34

Por ejemplo, siW es diez veces mayor queW0 la relacionW/W0 sera10 y log 10 = 1,si la relacion es de 100, entonceslog 100 = log 102 = 2, vemos pues que el Belio crece enuna unidad cada vez que la magnitud de potencia se multiplicapor diez.

Por razones practicas se usa el decibelio (dB) que es la decima parte de un Belio. Portanto el numero de decibelios (n) es igual al numero de Belios multiplicado por diez:

n = 10 logW

W0

. (5.15)

Como las intensidades acusticas son directamente proporcionales a las potencias acusticasque las producen, se dice que en un punto del espacio elnivel de intensidades den deci-belios, dados por la ecuacion

n = 10 logI

I0. (5.16)

En general estos valores de decibelios para la intensidad y para la presion no tienen porque co-incidir. Su igualdad depende de los valores de referencia que se utilicen para intensidad ypotenciaI0 y W0.

De igual manera, las potencias son proporcionales a los cuadrados de las presiones efi-caces, por lo que igual que hemos hecho para la intensidad podemos definir decibelios depresion como:

n = 10 logP 2

rms

P 20

= 20 logPrms

P0

, (5.17)

y de igual manera estos decibelios corresponderan o no con los de potencia e intensidaddependiendo del valor que se tome para la presion de referenciaP0.

Por acuerdo internacional se han tomado como valores de referencia las siguientes can-tidades:

Potencia sonoraW0 = 10−12 watios.

Intensidad sonoraI0 = 10−12 watios/m2

Presion sonoraP0 = 20 × 10−6 Pa (N/m2).

Cuando se utilizan estas referencias normalizadas, los sımbolos que se emplean interna-cionalmente para expresar respectivamente los niveles de presion, intensidad y potencia sonLp, Li. Lw.

En el aire, en condiciones normales, los niveles de presion(Lp) y de intensidad (Li) sonnumericamente iguales debido a queI = P 2

rms/ρ0c0 = P 2rms/413 (dondeI y P 2

rms estanmedidos en unidades S.I):

Lp = 10 logP 2

rms

P 20

= 10 logP 2

rms

20 · 10−6= 94 + 10 logP 2

rms, (5.18)

Li = 10 logI

I0= 10 log

P 2rms/413

I0= 10 log

P 2rms

413 · 10−12= 93,9 + 10 logP 2

rms, (5.19)

de manera queLp ≃ Li.

Page 38: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 35

5.8. Adicion de niveles de ruido

Cuando se superponen dos o mas sonidos de frecuencias distintas, estadısticamente laintensidad sonora resultante es la suma de las intensidadesde cada uno de los sonidos, o loque es lo mismo, el cuadrado de la presion sonora eficaz es la suma de los cuadrados de laspresiones sonoras eficaces de los distintos ruidos.

Si queremos sumar tres ruidos de presiones eficacesP1, P2, P3, tendremos:

Lp = 10 log

(

P 21 + P 2

2 + P 23

P 20

)

. (5.20)

Por ejemplo, si sumamos dos ruidos de igual intensidad:

Lp = 10 log

(

2P 21

P 20

)

= 10 log

(

P 21

P 20

)

+ 10 log(2) = Lp1 + 3,0103,

lo que nos indica que la suma de dos niveles sonoros iguales, sea el que fuere su valor, solose incrementa en 3 dB en el nivel sonoro global.

5.9. Sonoridad

La respuesta del oıdo, ademas de no ser lineal en intensidad, tampoco lo es en frecuencia,existiendo una sensacion diferente para tonos de igual nivel sonoro y distinta frecuencia. Estasensacion sonora o intensidad subjetiva es conocida comosonoridad.

Mediante ensayos subjetivos se han determinado las curvas de igual sonoridad dadas porRobinson y Dadson (1956,National Physical Laboratory, ISO 226, 1961) donde en abscisasse indican las frecuencias de los tonos puros que percibe el oıdo humano y en ordenadas elnivel de presion sonora. Las curvas, que se muestran en la Fig. 5.1, unen puntos de igualsensacion sonora, por ello llamadasisofonas, correspondiendo cada una a un numero deFonios igual al nivel de presion sonora en decibelios a 1000Hz.

La percepcion de sonoridad para sonidos complejos es asimismo compleja y es objeto deestudio de lapsicoacustica.

Page 39: Apuntes acustica

CAPITULO 5. SUMARIO DE TERMINOS 36

Figura 5.1: Isofonas dentro del rango de audicion humano,obtenidas en un experimento encampo abierto, de acuerdo con Robinson y Dadson. A 1000 Hz, elnivel de presion sonoracoincide con los decibelios. Se observa que el rango dinamico y el humbral de audicion sonpeores en la region de bajas frecuencias del espectro. Asimismo, se observa que para altosniveles de presion sonora la dependencia con la frecuenciaes menor (las curvas situadas masarriba son mas planas que las de mas abajo).

Page 40: Apuntes acustica

Referencias

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[2] M. Recuero,Ingenierıa Acustica, Ed. Paraninfo, 2000.

[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands,Fısica, Volumen I: Mecanica, Radiacion yCalor, Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.

[4] A. Barrero y M. Perez-Saborid,Fundamentos y Aplicaciones de la Mecanica de Flui-dos,McGraw Hill, 2005.

[5] L. D. Landau y E. M. Lifshitz,Curso de Fısica teorica. Tomo VI. Mecanica de fluidos,Reverte, 1991.

[6] M. J. Moran y H. N. Shapiro,Fundamentos de Termodinamica Tecnica,Reverte, 1993.

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[8] Campanella Associates,Acoustics FAQhttp://www.campanellaacoustics.com/faq.htm

[9] D. Russell, Kettering University,Acoustics and Vibration Animationshttp://www.gmi.edu/ drussell/Demos.html

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