Matemáticas 4º ESO Opción B (Eddy)

OPERACIONES CON FUNCIONES

Después de estudiar las funciones racionales f ( x )= P ( x )Q ( x )

vamos a

explicar todas las operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división, composición y función inversa.

1.- Suma, resta, multiplicación y división de funciones: se operan las expresiones correspondientes.

Ejercicios resueltos:

a) Halla la suma de f ( x )=2x+5 , g ( x )=3 x2−9x:

( f +g ) (x )=2x+5+3 x2−9 x=3 x2−7 x+5

b) Halla la resta de f ( x )=5 x3+7 x+1 , g ( x )=4 x+3:

( f−g ) ( x )=5 x3+7 x+1−4 x−3=5 x3+3 x−2

c) Halla el producto de f ( x )=3 x+5 , g (x )=3x−5:

( f·g ) ( x )=(3 x+5 ) · (3 x−5 )=9 x2−25

d) Halla la división de f ( x )=3 x+2 , g ( x )=x−1:

( f /g ) (x )=3 x−2x−1 (Puedo dividir por cajas si es necesario)

2.- Composición de funciones:

La función compuesta de las funciones f y g es la función que transforma la variable independiente x en g (f ( x ) ) . Se representa por go f , y se lee “f compuesta con g”. La composición de funciones no es conmutativa, es decir, go f no tiene por qué ser igual que f og.

En otras palabras consiste en sustituir la x de una función por la otra función. Veámoslo con un ejemplo:

Halla la composición go f de las funciones f ( x )=x+3 , g ( x )=x2:

(go f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g ( x+3 )=( x+3 )2=x2+6 x+9

Ahora prueba a averiguar f og de las mismas funciones.

3.- Función inversa:

La función inversa de la función f se representa por f−1. Verifica si f ( x )= y , entonces f−1 ( y )=x. Como consecuencia se verifica que:

( f−1o f ) ( x )=x ( f o f −1 ) ( x )=x

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta bisectriz del 1er y 3er cuadrantes, y=x.

Para que exista la función inversa, se debe cumplir que a cada valor de y le corresponda un único valor de x. De no ser así, la inversa no es función.

Procedimiento para hallar la función inversa, que explicaremos con un ejemplo: y=x2−3 ,cuando x ≥0

1º Se intercambian la x e y: x= y2−3

2º Se despeja la y: − y2=−x−3→ y2=x+3→ y=√ x+3

3º Se escribe la fórmula: f−1 (x )=+√x+3con x ≥−3

Ejercicio: halla la función inversa de y=x−2x+1