Apuntes-MatematicasII

Indice

1 Funciones reales 11.1 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Determinacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Simetrıa de las graficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1 Simetrıa respecto del origen. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . 31.5.2 Simetrıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares . . . . . . . . 4

1.6 Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7.2 Extremos: maximo y mınimo absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

T1 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Lımites 72.1 Lımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Propiedades de los lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Calculo de algunos lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Lımites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Lımites de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Funciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Asıntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Asıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Asıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Asıntotas oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11T2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Continuidad 153.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Propiedades de la continuidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Unicidad del lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Teorema del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.3 Acotacion de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.4 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Discontinuidad inevitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.2 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux . . . . . . . . . . 173.5.4 Imagen de un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.5 Continuidad y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


4 Derivadas 214.1 Derivada de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . 214.2.2 Normal a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Funcion derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.1 Funcion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.2 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Operaciones con derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24T4 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Propiedades de las funciones derivables 295.1 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Derivada en un punto maximo o mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Teorema del valor medio o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 Consecuencias del Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.5.1 Caracterizacion de las funciones constantes . . . . . . . . . . . . . . . 315.5.2 Relacion entre funciones con igual derivada . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.6 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7 Raıces de una ecuacion o funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.8 Regla de L’Hopital. Calculo de lımites indeterminados . . . . . . . . . . . . . 32T5 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Aplicaciones de las derivadas 366.1 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Intervalos de monotonıa en funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Problemas sobre maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.6 Puntos de inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39T6 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Integrales indefinidas 437.1 Primitiva. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Propiedades lineales de la integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3 Integrales inmediatas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.4 Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4.1 Integral de un producto o metodo de integracion por partes . . . . . . 457.4.2 Integral de la funcion compuesta o metodo de sustitucion . . . . . . . 46

7.5 Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

INDICE 3


8 Integral definida 538.1 Area del trapecio mixtilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.4 Teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.5 Funcion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.6 Relacion con la derivada. Teorema de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59T8 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9 Aplicaciones de la integral definida 629.1 Area del recinto donde interviene una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.2 Area del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3 Volumen de un cuerpo de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.4 Volumen de un cuerpo por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65T9 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10 Espacios Vectoriales 6810.1 Definicion de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.2 Otras propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.4 Combinacion lineal de vectores. Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . 70

10.4.1 Combinacion lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.4.2 Subespacio engendrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un conjunto devectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . 7110.5.2 Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6 Base de un espacio vectorial. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.6.1 Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.6.2 Dimension de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.7 Coordenadas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11 Matrices y determinantes 7411.1 Concepto de matriz o tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.2.1 Segun su forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.2.2 Segun sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.3 El espacio vectorial de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.3.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.3.2 Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna . . . . . . . . . . 7711.4.2 Producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.5 Rango de una matriz. Calculo por el metodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . 7811.5.1 Calculo del rango por el metodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 INDICE

11.6 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.6.1 Determinantes de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.6.2 Determinantes de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.7 Determinantes de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.9 Calculo de un determinante por el Metodo de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 8311.10Calculo de un determinante por los elementos de una fila o columna . . . . . 8411.11Calculo del rango de un conjunto de vectores y de una matriz por determinantes 8511.12Calculo de la matriz inversa por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 85T11 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12 Sistemas de ecuaciones lineales 9112.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . 92T12 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13 Espacio afın euclıdeo 9613.1 Los vectores fijos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9613.2 Los vectores libres en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9613.3 El espacio vectorial de los vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9713.4 Bases en V 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9713.5 Producto escalar de dos vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.6 Modulo de un vector. Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13.6.1 Modulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.6.2 Angulo de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13.7 Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.8 Producto mixto de tres vectores libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.9 Espacio afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10313.10Espacio afın euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103T13 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14 Ecuaciones de rectas y planos 10514.1 Coordenadas de un vector libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.2 Coordenadas del punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Ecuacion de la recta. Determinacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.4 Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10714.5 Ecuacion del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10814.6 Ecuacion normal del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10914.7 Ecuacion del plano que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10914.8 Ecuacion del plano determinado por una recta y un punto exterior . . . . . . 110T14 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15 Posiciones de rectas y planos 11215.1 Posiciones de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11215.2 Posiciones de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11315.3 Haces de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

15.3.1 Haz de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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15.3.2 Haz de planos secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.4 Posiciones de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11415.5 Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116T15 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

16 Problemas metricos 12116.1 Angulo de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12116.2 Angulo de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12116.3 Angulo de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12216.4 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12316.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos . . . . . . 12316.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas . . . . . . 12416.7 Distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

16.7.1 Perpendicular comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12616.8 Areas de paralelogramos y triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716.9 Volumenes de paralelepıpedos y tetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127T16 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Tema 1 Funciones reales

1.1 Funciones reales

Una funcion real de variable real es toda ley que asocia a cada elemento de un determi-nado subconjunto de numeros reales uno y solo un numero real. Se representa por

f : D ⊆ IR −→ IRx 7−→ f(x) = y

El subconjunto en el que se define la funcion recibe el nombre de dominio de definicionde la funcion o campo de existencia, y se designa por Dom(f) o simplemente D.

La letra x, que representa cualquier numero del dominio, recibe el nombre de variableindependiente.

A la letra y, que representa el numero al que f asocia a x, se le llama variable depen-diente (porque “depende” de lo que valga x).

El conjunto de valores reales que puede tomar la variable y, recibe el nombre de reco-rrido de la funcion, y se denota por f(D).

Toda funcion queda determinada por el conjunto de pares de numeros reales {(x, y)} ={(x, f(x))}, donde x es la variable independiente de f .

Dos funciones reales f y g son iguales, y se denota f ≡ g, cuando tienen el mismo dominioy coinciden para todo valor del mismo (es decir, f(x) = g(x) para todo x ∈ D).

1.2 Representacion de funciones

Puesto que una funcion se puede reducir a un conjunto de pares de numeros {(x, y), x ∈ D},su representacion consiste en dibujar cada uno de ellos en el plano cartesiano.

Si f es una funcion real, a cada par {(x, f(x))} (o {(x, y)}), determinado por la funcionf le corresponde en el plano cartesiano un unico punto P (x, y).

Mas rigurosamente, la grafica de una funcion f es el lugar geometrico de los puntos delplano cuyas coordenadas satisfacen la ecuacion

y = f(x)

La construccion de unos cuantos puntos de la grafica da idea de como varıa la funcion,pero por muchos puntos que dibujemos, es arriesgado unirlos mediante trazos continuos sinun estudio previo de la funcion.

1.3 Determinacion de funciones

Existen al menos cuatro formas de determinar una funcion:

• Descriptivamente: explicando con palabras lo que hace la funcion. Ejemplo: “fun-cion que a cada numero real le asigna su doble”.

1

2 TEMA 1. FUNCIONES REALES

• Por formulas: la mayorıa de las funciones que se presentan en la practica se expresangeneralmente por una formula algebraica. Es indudable que se trata de la mejormanera de determinar una funcion, puesto que se facilita el estudio de sus propiedadespor metodos matematicos rigurosos y exactos. Ejemplo: f(x) = 2x.

• Por graficas: esta forma no exige conocer su correspondienteexpresion algebraica. Ademas la grafica da una informacion masrapida que la formula y muchas veces es suficiente para tener lainformacion descriptiva y global del fenomeno considerado.

• Por tablas de valores: la experimentacion o la observacion deun fenomeno en el que intervienen dos magnitudes dependientesnos da un conjunto de valores (x, y), es decir, una tabla. El estudiode esta tabla y de su grafica de puntos permite algunas veces hallaruna formula algebraica con la que se pueden obtener otros valoresno registrados en la misma.

x y = f(x)1 22 4...

...

1.4 Operaciones con funciones

Dadas dos funciones, f y g, se pueden definir las siguientes operaciones entre ellassiempre que tengan el mismo dominio:

Funcion Definicion

suma (resta) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

cero 0(x) = 0

opuesta (−f)(x) = −f(x)

producto (fg)(x) = f(x)g(x)

uno 1I(x) = 1

inversa (respecto al producto)

(1

f

)(x) =

1

f(x)

cociente

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

1.5. SIMETRIA DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES 3

Funcion Definicion

producto por un numero (af)(x) = af(x)

compuesta (g◦f)(x) = g(f(x))

identidad id(x) = x

recıproca f−1(x) es tal que (f ◦f−1)(x) = xo inversa es decir

(respecto a la composicion) f−1(y) = x ⇔ y = f(x)

Observaciones:

• La inversa (respecto al producto) de una funcion, ası como el cociente de dos funciones,no estan definidas en los puntos que anulan el denominador.

• El producto de una funcion por un numero real es un caso particular del producto defunciones, si convenimos que el numero real a representa tambien la funcion constantedefinida por f(x) = a.

• Para que pueda definirse la funcion recıproca f−1 es necesario que la funcion directa fsea inyectiva, es decir, que a valores distintos del dominio, f haga corresponder valoresdistintos del recorrido.

x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y)

Las funciones recıprocas tienen la propiedad geometrica de que sus graficas son sime-tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

1.5 Simetrıa de las graficas de funciones

1.5.1 Simetrıa respecto del origen. Funciones impares

Una funcion f es simetrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se tiene

f(−x) = −f(x)

Las funciones simetricas respecto del origen reciben el nombre de funciones impares.La grafica de una funcion impar queda determinada si conocemos su forma para valorespositivos de x, ya que la parte de la grafica correspondiente a valores negativos de x seconstruye por simetrıa respecto del origen de coordenadas.


1.5.2 Simetrıa respecto del eje de ordenadas. Funciones pares

Una funcion f es simetrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x deldominio se tiene

f(−x) = f(x)

Las funciones simetricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funcionespares. La grafica de una funcion par queda determinada si conocemos su forma paravalores positivos de x, ya que la parte de la grafica correspondiente a valores negativos de xse construye por simetrıa respecto del eje de ordenadas.

1.6 Funciones periodicas

Una funcion f es periodica de periodo T si:

f(x + T ) = f(x)

para todo x perteneciente al dominio de definicion.Las funciones periodicas mas importantes son las funciones circulares seno, coseno y

tangente, ya que muchos fenomenos naturales son periodicos y vienen expresados matema-ticamente por ellas.

1.7 Funciones acotadas

1.7.1 Cotas superiores e inferiores. Acotacion

Una funcion f esta acotada inferiormente cuando existe un numero real K tal quetodos los valores que toma la funcion son mayores que K.

f acotada inferiormente ⇐⇒ ∃K ∈ IR / f(x) > K ∀x ∈ Dom(f)

El numero real K se llama cota inferior.Una funcion f esta acotada superiormente cuando existe un numero real K ′ tal que

todos los valores que toma la funcion son menores que K ′.

f acotada superiormente ⇐⇒ ∃K ′ ∈ IR / f(x) < K ′ ∀x ∈ Dom(f)

El numero real K ′ se llama cota superior.Una funcion esta acotada si lo esta inferior y superiormente.

1.7.2 Extremos: maximo y mınimo absoluto

Se llama extremo superior de una funcion a la menor de las cotas superiores. Si estevalor lo alcanza la funcion se llama maximo absoluto.

Se llama extremo inferior de una funcion a la mayor de las cotas inferiores. Si estevalor lo alcanza la funcion se llama mınimo absoluto.

T1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 5

T1 Ejercicios y problemas

T1.1 Un rectangulo tiene de perımetro 40 m. Expresa la altura del rectangulo en funcion del ladox de la base; lo mismo para el area.

T1.2 Se quiere construir un pozo cilındrico de 2 m de diametro. Expresa el volumen del agua quecabe en el pozo en funcion de su profundidad x.

T1.3 Expresa en funcion de la base el area de un rectangulo inscrito en un cırculo de radio r.

T1.4 Idem el area de un triangulo isosceles inscrito en un cırculo de radio r.

T1.5 Se dispone de una cartulina de 100 × 40 cm y se quiere construir una caja sin tapaderacortando un cuadrado en las cuatro esquinas. Halla la expresion del volumen en funcion del lado xdel cuadrado.

T1.6 Expresa el area de un triangulo equilatero en funcion del lado. ¿Que tipo de funcion seobtiene? Halla el valor de esa funcion si el lado mide 10 unidades.

T1.7 Halla el dominio de las funciones

(a) f(x) =2x + 1

x2 − 5x + 6(b) g(x) =

√x2 − 16 (c) h(x) = log(x2 − 4)

T1.8 La funcion f(x) =x2 − 3x + 2

x2 − 5x + 4es igual que otra funcion g, salvo en un punto. Halla g y el

dominio comun de ambas.

T1.9 Llamamos ent(x) a la funcion que da la parte entera de cualquier numero real. Por ejemplo,ent(3′2) = 3, ent(−2′3) = −3. Representala en el intervalo [−4, 4].

T1.10 Llamamos dec(x) a la funcion que da la parte decimal de cualquier numero real. Porejemplo, dec(3′2) = 0′2, dec(−2′3) = 0′7. Representala en el intervalo [−4, 4].

T1.11 Partiendo de la grafica de la funcion y = 2x, dibuja mediante una traslacion de la misma,las graficas de las funciones y = 2x + 1, y = 2x + 4, y = 2x − 3. Halla los puntos de corte con losejes de estas funciones.

T1.12 Calcular los coeficientes de la funcion f(x) = ax+ b si los valores f(0) y f(1) son conocidos.

T1.13 Se consideran las funciones f(x) = ax + b y g(x) = cx + d. Halla una relacion entre loscoeficientes a, b, c y d para que la composicion de funciones sea conmutativa.

T1.14 Halla la funcion y = ax2 + bx + c sabiendo que el vertice es V (1, 1) y pasa por el puntoP = (0, 2). Dibuja previamente el eje de simetrıa de la parabola y halla el punto simetrico de Prespecto a el.

T1.15 Representa la funcion y = x2 − |x| + 2, considerando las dos parabolas que la definen altomar valores positivos y negativos de x.

T1.16 Representa la funcion y = |x2−5x+6|, dibujando previamente la funcion f(x) = x2−5x+6,y teniendo en cuenta a continuacion la definicion de valor absoluto.

T1.17 Estudia la simetrıa de las siguientes funciones:

1. f(x) = x3 + sen x 2. f(x) = x2 + cos x3. f(x) = | sen x| + cos x 4. f(x) = x + x3 + x5

5. f(x) = sec x 6. f(x) = x · sen x7. f(x) = sen x + cos x 8. f(x) = sen2 x + cos2 x

T1.18 Dada la funcion f(x) = dec x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tienemaximo y mınimo absoluto? Haz un dibujo de esta funcion.


T1.19 Dada la funcion f(x) = arctg x, halla el extremo superior y el extremo inferior. ¿Tienemaximo y mınimo absoluto? Haz un dibujo de esta funcion.

T1.20 Demostrar la veracidad o no de las siguientes proposiciones:

(1) La suma de dos funciones pares es una funcion par.

(2) El producto de dos funciones pares es una funcion par.

(3) La suma de dos funciones impares es una funcion impar.

(4) El producto de dos funciones impares es una funcion impar.

T1.21 Se conoce la grafica de una funcion f . Dibuja razonadamente las graficas de las funciones:(a) y = f(x − 3) (b) y = f(x + 3) (c) y = f(x) + 3 (d) y = f(x) − 3

T1.22 Representa las siguientes graficas por traslacion a partir de la funcion f(x) = x2:

(a) F (x) = x2 + 2x + 1 (b) F (x) = x2 − 2x − 1(c) F (x) = x2 + 1 (d) F (x) = x2 − 1

T1.23 Representa las siguientes funciones a partir de la funcion y = |x|:

(a) y = |x + 1| (b) y = |x − 1|(c) y = |x| + 1 (d) y = |x| − 1

Tema 2 Lımites

2.1 Lımites de funciones

Una funcion f tiene lımite L en el punto x = a, si para todo numero real ε > 0, existeotro numero real δ > 0 tal que si

0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

Es decir, ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

Se representa: limx→a

f(x) = L.

Otras definiciones de lımite

limx→a

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M

limx→a

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −M

limx→a+

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

limx→a−

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

limx→a+

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > M

limx→a+

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −M

limx→a−

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > M

limx→a−

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −M

limx→+∞

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ |f(x) − L| < ε

limx→−∞

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ |f(x) − L| < ε

limx→+∞

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x > H ⇒ f(x) > M

limx→−∞

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃H > 0 / x < −H ⇒ f(x) < −M

2.2 Propiedades de los lımites

(1) Si una funcion tiene lımite en un punto, forzosamente es unico.

(2) Si los lımites laterales de una funcion en un punto son distintos, entonces la funcionno tiene lımite en ese punto.

Si limx→a+

f(x) 6= limx→a−

f(x) entonces 6 ∃ limx→a

f(x)

(3) Si una funcion tiene lımite distinto de cero en un punto, entonces existe un entorno delmismo en el que los valores que toma la funcion tienen el mismo signo que el lımite.

(4) Sean f y g dos funciones tales que existan limx→a

f(x) y limx→a

g(x) y sea c un numero

real. Las siguientes relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones

7

8 TEMA 2. LIMITES

definidas ya sea en la recta real IR o en la recta completa IR = IR⋃ {−∞,+∞}. En

caso contrario no es posible obtener el lımite del primer miembro a partir de los lımitesdel segundo. Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso indeterminado.

Funcion Propiedades

suma (resta) limx→a

(f ± g)(x) = limx→a

f(x) ± limx→a

g(x)

opuesta limx→a

(−f)(x) = − limx→a

f(x)

producto limx→a

(fg)(x) = limx→a

f(x) limx→a

g(x)

inversa (respecto al producto) limx→a

(1

f

)(x) =

1

limx→a

f(x)

cociente limx→a

(f

g

)(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)

producto por un numero limx→a

(cf)(x) = c limx→a

f(x)

constante limx→a

c = c

compuesta (f continua) limx→a

f(g(x)) = f(

limx→a

g(x))

identidad limx→a

x = a

potencia limx→a

f(x)g(x)

=(

limx→a

f(x)) lim

x→ag(x)

Los tipos de indeterminacion para las operaciones anteriores son los siguientes:

k

0(k 6= 0),

0

0,∞∞ , 0 · ∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00

Si al calcular un lımite se presenta alguna de estas indeterminaciones, es conve-niente transformar la expresion de la funcion en otra equivalente a la que sı puedanaplicarse las propiedades anteriores.

2.3 Calculo de algunos lımites

2.3.1 Lımites de funciones racionales

En las funciones racionales aparecen tres tipos de indeterminaciones, aunque en realidadsolo dos de ellas son consideradas como tales:

2.3. CALCULO DE ALGUNOS LIMITES 9

(1) Indeterminacion tipok

0(k 6= 0)

Para resolverla se calculan los lımites laterales; si son iguales, la funcion tiene lımite, encaso contrario no existe. Sin embargo, este caso no suele tomarse como indeterminadoya que el lımite, si existe, es siempre +∞ o −∞. Por ejemplo:

limx→1−

1

x − 1= −∞

limx→1+

1

x − 1= +∞

⇒6 ∃ limx→1

1

x − 1

(2) Indeterminacion tipo0

0

Esta indeterminacion en funciones racionales desaparece descomponiendo en factoresel numerador y el denominador y simplificando. En general, si se anulan el numeradory el denominador para x = a, ambos son divisibles por x − a. Por ejemplo:

limx→1

x3 − 1

x − 1

(=

0

0

)= lim

x→1

(x − 1)(x2 + x + 1)

x − 1= lim

x→1(x2 + x + 1) = 3

(3) Indeterminacion tipo∞∞

Esta indeterminacion en funciones racionales desaparece dividiendo numerador y deno-minador por la potencia maxima que aparezca. Por ejemplo:

limx→+∞

4x2 + x − 1

x2 + 1

(=

∞∞

)= lim

x→+∞

4x2

x2+

x

x2− 1

x2

x2

x2+

1

x2

= limx→+∞

4 +1

x− 1

x2

1 +1

x2

=4 + 0 − 0

1 + 0= 4

2.3.2 Lımites de funciones irracionales

La indeterminacion tipo0

0o ∞−∞ de funciones con radicales de ındice 2 desaparece

multiplicando y dividiendo la funcion por la expresion radical conjugada. Por ejemplo:

limx→0

x

1 −√

1 − x

(=

0

0

)= lim

x→0

x(1 +√

1 − x)

(1 −√

1 − x)(1 +√

1 − x)=

limx→0

x(1 +√

1 − x)

1 − (1 − x)= lim

x→0(1 +

√1 − x) = 2

2.3.3 Funciones equivalentes

Dos funciones son equivalentes en un punto si el lımite de su cociente en dicho puntoes 1.

Si en una expresion figura como factor o divisor una funcion, el lımite de la expresion novarıa al sustituir dicha funcion por otra equivalente.

Tabla de lımites equivalentes:

10 TEMA 2. LIMITES

sen x ∼ xtan x ∼ x

arcsenx ∼ xx → 0 arctan x ∼ x

1 − cos x ∼ x2

2

ex − 1 ∼ xln(1 + x) ∼ x

ln x ∼ x − 1x → 1

sen(x − 1) ∼ x − 1

2.4 Asıntotas horizontales y verticales

2.4.1 Asıntotas horizontales

La recta y = k es una asıntota horizontal de la funcion f si existe alguno de los lımitessiguientes:

limx→−∞

f(x) = k o limx→+∞

f(x) = k

Ası pues, para calcular las asıntotas horizontales de una funcion, si es que tiene, se hacetender x hacia −∞ o +∞ y se observa el valor de la y obtenido.

Observaciones:

• Una funcion puede tener como maximo dos asıntotas horizontales, correspondientes acada uno de los lımites en −∞ y +∞.

• La grafica de la funcion puede cortar a la asıntota horizontal en uno o varios puntos. Noobstante, en la mayorıa de las funciones elementales la grafica esta permanentementepor encima o por debajo de la asıntota considerada a partir de un punto.

• El conocimiento de la situacion de la grafica con relacion a las asıntotas es esencialpara la representacion de funciones. En el caso de la asıntota horizontal y = k esconveniente estudiar si la funcion se acerca tomando valores mayores o menores.

2.4.2 Asıntotas verticales

La recta x = a es una asıntota vertical de la funcion f si existe alguno de los lımitessiguientes:

limx→a

f(x) = +∞ o −∞, limx→a+

f(x) = +∞ o −∞, limx→a−

f(x) = +∞ o −∞,

Ası pues, para calcular las asıntotas verticales de una funcion, si es que tiene, se localizanlos valores finitos de la variable x que hacen tender la variable y a +∞ o −∞.

Observaciones:

• Una funcion puede tener infinitas asıntotas verticales.

• En la funciones elementales, la grafica de la funcion nunca corta a la asıntota vertical,ya que en los puntos donde existe asıntota no esta definida la funcion.

2.5. ASINTOTAS OBLICUAS 11

• La situacion de la grafica de la funcion con relacion a la asıntota x = a se obtienecalculando los lımites laterales en x = a y viendo si valen +∞ o −∞.

• En las funciones racionales, las asıntotas verticales se hallan tomando los puntos queanulan al denominador pero no al numerador.

EJEMPLO:

Calcular las asıntotas horizontales y verticales de la funcion f(x) =x + 1

x − 2La recta x = 2 es la asıntota vertical.

limx→+∞

f(x) = 1+

limx→−∞

f(x) = 1−

}⇒ La recta y = 1 es la asıntota horizontal

2.5 Asıntotas oblicuas

La recta y = mx + n, m 6= 0 es una asıntota oblicua de la funcion f si existe algunode los lımites siguientes:

(1) limx→+∞

(f(x) − mx − n) = 0 Asıntota oblicua en +∞.

(2) limx→−∞

(f(x) − mx − n) = 0 Asıntota oblicua en −∞.

La asıntota y = mx + n quedara completamente determinada cuando conozcamos losvalores de m y n.

m = limx→±∞

f(x)

x

Segun el valor de m obtenido al calcular el lımite en +∞ (respectivamente en −∞)pueden darse tres casos:

a) Si m es un numero real no nulo, la funcion tiene una asıntota oblicua en +∞ (resp.en −∞).

b) Si m = ±∞, la funcion no tiene asıntota oblicua en +∞ (resp. en −∞).c) Si m = 0, la funcion no tiene asıntota oblicua sino horizontal en +∞ (resp. en −∞).Conocido m, se tiene:

limx→±∞

(f(x) − mx − n) = 0 ⇔ n = limx→±∞

(f(x) − mx)

Observaciones:

• Una funcion puede tener como maximo dos asıntotas oblicuas, correspondientes a cadauno de los lımites.

• Si una funcion tiene asıntota oblicua en +∞ y −∞, no puede tener ninguna asıntotahorizontal.

• La grafica de la funcion puede cortar a la asıntota oblicua en uno o varios puntos. Noobstante, en la mayorıa de las funciones elementales la grafica esta por encima o pordebajo de la asıntota a partir de un punto en adelante.

• La situacion de la grafica con relacion a una asıntota se comprueba estudiando si lafuncion se aproxima a ella tomando valores mayores o menores.

12 TEMA 2. LIMITES


T2.1 Calcula los siguientes lımites de funciones polinomicas:

1. limx→2

(x2 − 5x + 6) 2. limx→1

(x − 1)7

3. limx→2

(x3 − x2 + x + 1) 4. limx→+∞

(x2 − x + 1)

5. limx→+∞

(−x2 + x + 25) 6. limx→−∞

(−x3 + x2 + 1)

T2.2 Calcula los siguientes lımites de funciones racionales, si existen; en caso contrario halla loslımites laterales.

1. limx→1

x2 − 1

x + 12. lim

x→1

x − 1

x + 1

3. limx→1

1

x − 14. lim

x→1

x + 1

x2 − 1

5. limx→4

x2 − 6x + 8

x − 46. lim

x→1

x4 − 1

x − 1

7. limx→2

x2 − x − 2

x2 − 4x − 48. lim

x→1

x3 − 1

x2 − 1

9. limx→3

3

x − 310. lim

x→−1

x2 + 2x + 1

x3 + 3x2 + 3x + 1

11. limx→2

x2 − 6x + 8

x − 212. lim

x→1

x4 − 1

x2 − 1

13. limx→0

(1 + x)2 − 1

x14. lim

x→1

x5 − 1

x2 − 1

15. limx→+∞

x2 − 6x + 8

x2 − 216. lim

x→+∞

x4 − 1

x2 − 1

17. limx→+∞

(1 + x)2 − 1

x218. lim

x→1

x5 − 1

x7 − 1

T2.3 Calcula los siguientes lımites de funciones irracionales, si es posible:

1. limx→0

x

1 −√

x + 12. lim

x→3

√x + 1 − 2

x − 3

3. limx→1

√x − 1

x − 14. lim

x→0

√1 − x − 1

x

5. limx→0

√1 − x −

√1 + x

x6. lim

x→0

1 −√

1 − x2

x

7. limx→0

√x + 9 − 3√x + 16 − 4

8. limx→1

√x − 1 +

√x + 1√

x + 1 −√

x − 1


9. limx→+∞

√x + 1 − x 10. lim

x→+∞

√1 + x −

√x

11. limx→+∞

√x2 + x − x 12. lim

x→+∞

√x + 2 −

√x − 2

13. limx→+∞

√x2 + 1 −

√x2 − 1 14. lim

x→+∞

√(x + 2)(x − 3) − x

T2.4 Calcula los siguientes lımites utilizando funciones equivalentes en x = 0:

1. limx→0

sen(8x)

4x2. lim

x→0

sen(14x)

sen(7x)

3. limx→0

5 arcsen x

7x4. lim

x→0

tg(2x)

sen(5x)

5. limx→0

tg(8x)

4x6. lim

x→0

x arctg x

cos x sen(2x)2

7. limx→0

sen(tg(sen x)))

sen(tg x)8. lim

x→0

x(1 − cos x)

sen3 x

9. limx→0

1 − cos x

x2

T2.5 Calcula los siguientes lımites utilizando funciones equivalentes en x = 1:

1. limx→1

sen(x − 1)

x − 12. lim

x→1

ln x

x − 1

T2.6 Calcula los siguientes lımites utilizando funciones equivalentes en x = +∞:

1. limx→+∞

3x2 + x − 1

2x2 − x2. lim

x→+∞

x3 − x2 + 1

4x3 + x2 − x

T2.7 Hallar las asıntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones:

1. f(x) =1

x22. f(x) =

1

x3

3. f(x) =x2 + 1

x2 − 14. f(x) =

x − 1

x + 1

5. f(x) =1

x − 16. f(x) =

x + 1

x − 1

7. f(x) =x2 − 6x + 8

x − 48. f(x) =

x4 − 1

x − 1

9. f(x) =x2 − x − 2

x2 − 4x + 410. f(x) =

x3 − 1

x2 − 1

14 TEMA 2. LIMITES

T2.8 Hallar por division las asıntotas oblıcuas de las siguientes funciones racionales:

1. f(x) =x2 + 1

x2. f(x) =

x3

(x − 1)2

3. f(x) =x2

x − 24. f(x) =

x3

1 − x2

5. f(x) =x2 − 5x + 4

x − 56. f(x) =

x2 − 4x + 3

x + 1

7. f(x) =x2 − 3x − 4

2x − 58. f(x) =

x3 + x2 − 2x + 3

x2 − 3

T2.9 Dibuja las funciones f(x) = ex y g(x) = ln(x), di si tienen asıntotas y de que clase son.

Tema 3 Continuidad

3.1 Continuidad en un punto

Una funcion f es continua en un punto si existe lımite en el y coincide con el valorque toma la funcion en ese punto.

f es continua en x = a ⇔ limx→a

f(x) = f(a)

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condiciones:

(1) Existe el lımite de la funcion f(x) en x = a.

(2) La funcion esta definida en x = a, es decir, existe f(a).

(3) Los dos valores anteriores coinciden.

Si una funcion no es continua en x = a, diremos que es discontinua en ese punto.Si consideramos la definicion metrica de lımite, la definicion de continuidad queda como

sigue:Una funcion f es continua en el punto x = a si a cada numero real positivo ε se le puede

asociar otro numero real positivo δ, tal que:

|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

Es decir, “a puntos cercanos, f hace corresponder puntos cercanos”.Una funcion es continua por la derecha en un punto si existe lımite por la derecha en

el y coincide con el valor que toma la funcion en ese punto.

f es continua en a+ ⇔ limx→a+

f(x) = f(a)

Una funcion es continua por la izquierda en un punto si existe lımite por la izquierdaen el y coincide con el valor que toma la funcion en ese punto.

f es continua en a− ⇔ limx→a−

f(x) = f(a)

Si una funcion es continua por la derecha y por la izquierda en un punto dado, entonceses continua en ese punto.

3.2 Propiedades de la continuidad local

3.2.1 Unicidad del lımite

Si una funcion es continua en un punto, entonces tiene lımite en ese punto y es unico.

3.2.2 Teorema del signo

Si una funcion es continua en un punto x = a y f(a) 6= 0, entonces existe un entornosimetrico de x = a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a).

15

16 TEMA 3. CONTINUIDAD

3.2.3 Acotacion de la funcion

Si una funcion es continua en el punto x = a, entonces esta acotada en ese punto, esdecir, existe un entorno simetrico de x = a en el que la funcion esta acotada.

3.2.4 Continuidad y operaciones

Las operaciones con funciones continuas en x = a da como resultado otra funcion con-tinua en un entorno simetrico de x = a, siempre que tenga sentido la operacion. Esto esconsecuencia de las operaciones con lımites de funciones.

Por ejemplo, f(x) = x2 y g(x) = sen(3x) son continuas en toda la recta real, por tantof(x) + g(x) = x2 + sen(3x) y f(g(x)) = f(sen(3x)) = sen2(3x) son tambien funcionescontinuas.

3.3 Discontinuidades

Una funcion es discontinua en un punto cuando no existe lımite en el o, existiendo, nocoincide con el valor de la funcion en ese punto.

3.3.1 Discontinuidad evitable

Una funcion tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe lımite enel y no coincide con el valor de la funcion en el mismo.

El valor que deberıamos dar a la funcion en dicho punto para que fuera continua en else llama verdadero valor de la funcion en ese punto.

3.3.2 Discontinuidad inevitable

Una funcion tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen loslımites laterales en el y son distintos.

Si f es discontinua en el punto x = a, el valor

∣∣∣∣ limx→a+

f(x) − limx→a−

f(x)

∣∣∣∣

se llama salto de la funcion en ese punto, y puede ser finito o infinito.

3.4 Continuidad en un intervalo

Una funcion es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos los puntos de(a, b), y ademas es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

3.5. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 17

3.5 Propiedades de la continuidad en un intervalo

3.5.1 Teorema de Weierstrass

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene maximo y mınimo en eseintervalo.

Este teorema implica que la funcion definida en el intervalo [a, b] esta acotada.

3.5.2 Teorema de Bolzano

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuestoen los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0.

3.5.3 Teorema del valor intermedio. Teorema de Darboux

Si una funcion es continua en el intervalo [a, b], la funcion toma en ese intervalo todoslos valores comprendidos entre el mınimo y el maximo. Es una consecuencia inmediata delTeorema de Bolzano.

3.5.4 Imagen de un intervalo cerrado

La imagen de un intervalo cerrado por una funcion continua es un intervalo cerrado.Si la funcion esta definida en [a, b], alcanza un valor maximo M y un valor mınimo m.

Por el teorema del valor intermedio, la funcion tomara todos los valores comprendidos entreel mınimo y el maximo. Estos puntos pertenecen al intervalo [m,M ].

Por ejemplo, la funcion f(x) = senx definida en [0, 2π] tiene por imagen el intervalocerrado [-1,1].

3.5.5 Continuidad y operaciones

Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo dan como re-sultado otra funcion continua en el siempre que tenga sentido la operacion.

Esto es consecuencia de las operaciones con funciones continuas en puntos.



T3.1 Se define una funcion de la siguiente forma:

f(x) =

{0 si x es un numero entero1 si x no es un numero entero

Representa la funcion y di en que puntos es discontinua.

T3.2 Se considera la funcion racional f(x) =x2 − 1

x − 1; calcula:

(1) Su dominio.

(2) ¿Es discontinua en algun punto? ¿Por que?

(3) En x = 1 la funcion no esta definida. Amplıa esta funcion para que sea continua en todo IR.

T3.3 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x) =1

x(b) f(x) =

1

x2 − 4

(c) f(x) =

{x + 1 si x ≥ 0x − 1 si x < 0

(d) f(x) =

{x2 − 1 si x ≤ 02x − 3 si x > 0

(e) f(x) =

{x + 1 si x ≥ 0−x − 1 si x < 0

(f) f(x) =

{x + 1 si x ≤ 22x − 1 si x > 2

(g) f(x) =

{2 − x2 si x ≤ 22x − 6 si x > 2

(h) f(x) =

1

xsi x < 1

√x + 1 si x ≥ 1

T3.4 Calcula cuanto debe valer a para que la funcion f sea continua:

f(x) =

{x + 1 si x ≤ 1

3 − ax2 si x > 1

T3.5 Representa la siguiente funcion e indica si tiene algun punto de discontinuidad:

f(x) =

{x + 1 si x < 3x2 si 3 ≤ x < 40 si x ≥ 4

T3.6 Estudia la continuidad de la siguiente funcion:

f(x) =

2x2 + 3x − 2

2x2 − 5x + 2si x 6= 1

2

−5

3si x =

1

2

T3.7 Representa la siguiente funcion e indica si tiene algun punto de discontinuidad:

f(x) =

{x − 1 si x ≤ 1x2 − 1 si 1 < x ≤ 2x2 si x > 2


T3.8 Prueba que la funcion

f(x) =x2 − 1

x3 + 7x − 8

no es continua en x = 1 e indica que tipo de discontinuidad presenta.

T3.9 La funcion

f(x) =x3 + x2 + x + a

x − 1

no esta definida en x = 1. Halla el valor de a para que sea posible definir el valor de f(1) y resulteası una funcion continua.

T3.10 Dada la funcion

f(x) =

{x2 + 2x − 1 si x < 0ax + b si 0 ≤ x < 12 si x ≥ 1

halla a y b para que la funcion sea continua y dibuja su grafica.

T3.11 Dadas las funciones f y g definidas en IR por:

f(x) =x + |x|

2g(x) =

{x si x < 0x2 si x ≥ 0

estudia la continuidad de la funcion compuesta dada por g◦f .

T3.12 Sea f(x) la funcion que en el intervalo abierto (0,1) esta dada por:

f(x) =x2 − x

sen πx

¿Que valores habrıa de tener en 0 y en 1 para que fuese continua en el intervalo cerrado [0, 1]?

T3.13 ¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la funcion definida por:

f(x) = 1 − x sen1

x

(para x 6= 0) sea continua en el punto x = 0?

T3.14 Dada la funcion:

f(x) =x(log x)2

(x − 1)2

(1) Determina su dominio.

(2) ¿Se podrıa asignar a f(x) algun valor en los puntos de discontinuidad para que fuese continuaen el intervalo [0, +∞)?

T3.15 Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuacion x3 + x2 − 7x + 1 = 0 tieneuna solucion en el intervalo [0, 1].

T3.16 Si f(x) es continua en [1, 9] y es tal que f(1) = −5 y f(9) > 0, ¿podemos asegurar que enestas condiciones la funcion g(x) = f(x) + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?

T3.17 ¿Se puede afirmar que la ecuacion sen x + 2x − 1 = 0 tiene al menos una raız real? Si esası, halla un intervalo en el cual se encuentre dicha raız.

T3.18 Comprueba que la ecuacion x2 = x sen x + cos x posee alguna solucion real en [−π, π].

T3.19 Demuestra que la ecuacion πx = e tiene una solucion en el intervalo (0, 1).

T3.20 Demuestra que la ecuacion x = cos x tiene una solucion en el intervalo (0, 1).


T3.21 Sea f(x) una funcion continua en [a, b], c, d ∈ [a, b] con f(c) = 10 y f(d) = 7. Demuestraque la ecuacion g(x) = f(x) + 7 tiene un valor p del intervalo [c, d] tal que g(p) = 15.

T3.22 Prueba que la funcion f(x) =6

2 + sen xalcanza el valor 4 en el intervalo [−π

2,π

2].

T3.23 De dos funciones F (x) y G(x) se sabe que son continuas en el intervalo (a, b), que F (a) >G(a) y que G(b) > F (b). ¿Puede demostrarse que existe algun punto t del intervalo en el que secorten las graficas de las dos funciones?

T3.24 Utilizando el teorema de Bolzano acerca de las funciones continuas, indica como y en queintervalo se aplicarıa para saber que la ecuacion log x = 1 − x tiene solucion.

T3.25 Consideremos la funcion f(x) =1

x − 1

(1) ¿Es f continua en el intervalo [1,2]?

(2) ¿Esta acotada en tal intervalo?

(3) ¿Tiene algun mınimo o maximo absolutos?

(4) ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?

Tema 4 Derivadas

4.1 Derivada de una funcion en un punto

Se llama derivada de la funcion f en el punto x = a, si es que existe a:

limh→0

f(a + h) − f(a)

h

Si el lımite existe se dice que la funcion es derivable en el punto x = a. La derivada deuna funcion en un punto es un numero real.

Para designar la derivada de la funcion f en el punto x = a, se emplean diversas nota-

ciones: y′(a), f ′(a), Df(a),df

dx(a).

Si hacemos x = a+h, entonces h = x−a, con lo que x → a cuando h → 0. Sustituyendoestos valores en la formula anterior se obtiene una segunda forma de expresar la derivada:

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)

x − a

4.1.1 Derivadas laterales

Se llama derivada por la izquierda de la funcion f en el punto x = a al lımitesiguiente, si es que existe:

limh→0−

f(a + h) − f(a)

h

Se llama derivada por la derecha de la funcion f en el punto x = a al lımite siguiente,si es que existe:

limh→0+

f(a + h) − f(a)

h

La derivada por la izquierda se designa por f ′(a)− y la derivada por la derecha porf ′(a)+.

De otra forma:

f ′(a)− = limx→a−

f(x) − f(a)

x − af ′(a)+ = lim

x→a+

f(x) − f(a)

x − a

Una funcion es derivable en un punto si y solo si es derivable por la izquierda y por laderecha en ese punto y las derivadas laterales coinciden.

Una funcion es derivable en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.Una funcion es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en cada punto de

(a, b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

4.2 Interpretacion geometrica de la derivada

4.2.1 La derivada como pendiente de la recta tangente

21

22 TEMA 4. DERIVADAS

x0 x1

f(x0)

f(x1)

y = f(x)

P0

P1

P2

P3

Sea P0(x0, f(x0)) un punto fijo y sea Pi(xi, f(xi))un punto cualquiera de la grafica correspondiente ala funcion y = f(x)La pendiente de la recta secante P0Pi es:

mi =f(xi) − f(x0)

xi − x0

Si los puntos Pi se aproximan hacia el punto P0, sus abscisas xi tenderan a x0. Portanto, si indicamos por mt la pendiente de la recta tangente en P0, resulta:

mt = limxi→x0

f(xi) − f(x0)

xi − x0

que es la derivada de la funcion f en el punto x = x0, correspondiente al punto P0.La recta tangente es el lımite de la secante, y su pendiente coincide con el lımite de las

pendientes de las secantes.La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la funcion en ese punto:

mt = f ′(x0)

La ecuacion de la recta tangente en el punto P0(x0, f(x0)) es:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0)

4.2.2 Normal a una curva en un punto

La normal a una curva en un punto P0 es la perpendicular a la recta tangente en dichopunto.

Si la pendiente de la tangente es mt = f ′(x0), la pendiente de la normal es:

mn = − 1

f ′(x0)

y la ecuacion de la normal viene dada por:

y − f(x0) = − 1

f ′(x0)(x − x0)

4.3 Funcion derivada. Derivadas sucesivas

4.3.1 Funcion derivada

Si una funcion f es derivable en un subconjunto D′ de su dominio D, es posible definiruna nueva funcion que asocie a cada numero real de D′ su derivada en ese punto. Estafuncion ası definida se llama funcion derivada, o simplemente, derivada. La notacion dela derivada de la funcion y = f(x) viene dada por y′ = f ′(x) o por Df(x).

4.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 23

4.3.2 Derivadas sucesivas

A partir de la funcion derivada primera se puede definir, si existe, tambien su derivada,y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y′′ = f ′′(x) o D2f(x).

Analogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, quinta,..., n-esima, quese designan por:

f ′′′(x), f IV (x), fV (x), ..., fn(x) o D3f(x), D4f(x), D5f(x), ..., Dnf(x)

4.4 Derivadas de las funciones elementales

Simples CompuestasFuncion Derivada Funcion Derivada

xn nxn−1 f(x)n nf(x)n−1 · f ′(x)

√x

1

2√

x

√f(x)

f ′(x)

2√

f(x)

ln x1

xln f(x)

f ′(x)

f(x)

loga x1

xloga e =

1

x · ln aloga f(x)

f ′(x)

f(x) · ln a=

f ′(x)

f(x)loga e

ex ex ef(x) ef(x) · f ′(x)

ax ax ln a af(x) af(x) · f ′(x) · ln a

senx cos x sen f(x) cos f(x) · f ′(x)

cosx − senx cos f(x) − sen f(x) · f ′(x)

1 + tg2 x = (1 + tg2 f(x)) · f ′(x) =

tg x = sec2 x = tg f(x) = sec2 f(x) · f ′(x) =

=1

cos2 x=

f ′(x)

cos2 f(x)

arcsen x1√

1 − x2arcsen f(x)

f ′(x)√1 − f(x)2

arccos x− 1√1 − x2

arccos f(x)− f ′(x)√1 − f(x)2

arctg x1

1 + x2arctg f(x)

f ′(x)

1 + f(x)2


4.5 Operaciones con derivadas

Operacion Derivada

f(x) ± g(x) f ′(x) ± g′(x)

f(x)g(x) f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

f(x)

g(x)

f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

(g(x))2

a · f(x) a · f ′(x)

g(f(x)) g′(f(x)) · f ′(x)

f−1(x)1

f ′(f−1(x))

f(x)g(x) g(x) · f(x)g(x)−1 · f ′(x)︸︷︷︸potencial

+ f(x)g(x) · ln f(x) · g′(x)︸︷︷︸exponencial

Observacion: la derivacion de la composicion de funciones se llama regla de la cadena.La formula de la composicion de funciones se extiende a tres o mas funciones aplicando laregla de la cadena repetidamente.

Para derivar la funcion potencial-exponencial f g se usa la derivacion logarıtmica y resulta:

y = f(x)g(x) tomando logaritmosln y = ln(f(x)g(x)) por propiedades del logaritmoln y = g(x) ln f(x) derivando la igualdady′

y= g′(x) ln f(x) + g(x)

f ′(x)

f(x)despejando y′

y′ = y ·(

g′(x) ln f(x) + g(x)f ′(x)

f(x)

)es decir

y′ = f(x)g(x) ·(

g′(x) ln f(x) + g(x)f ′(x)

f(x)

)

Tambien podemos derivarla teniendo en cuenta que el primer sumando corresponde a laderivada de la funcion considerada como potencial y el segundo como exponencial.

Dfg = g · fg−1 · f ′

︸︷︷︸potencial

+ fg · ln f · g′︸︷︷︸exponencial



T4.1 En la ecuacion de la recta y = mx + b, explica como se determinarıan los numeros m y bpara que sea tangente a la grafica de la funcion y = f(x) en el punto de esta de abscisa p.

T4.2 La funcion f(x) = |x + 1| no tiene derivada en un punto; ¿cual es? Representa primero lagrafica de la funcion f y, sobre ella, razona la respuesta.

T4.3 Dada la parabola de ecuacion y = x2 + x + 1, halla la pendiente de la recta tangente en elpunto de abscisa x = 2.

T4.4 Halla la ecuacion de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:

1. f(x) = 3x2 + 8 en el punto P (1, 11)2. f(x) = x4 − 1 en el punto P (0,−1)3. f(x) = x5 + 1 en el punto P (0, 1)4. f(x) = 2x5 + 4 en el punto P (−1, 2)

5. f(x) = 32x2+1 en el punto de abscisa x = 0

T4.5 Escribe la ecuacion de la recta tangente a la hiperbola xy = 1 en el punto de abscisa x = 3.Razonalo.

T4.6 ¿En que punto de la grafica de la funcion f(x) = x2 − 6x + 8 la tangente es paralela al eje deabscisas? ¿Que nombre recibe ese punto de la parabola?

T4.7 ¿En que punto de la grafica de la funcion f(x) = x2 − 6x + 8 la tangente es paralela a labisectriz del primer cuadrante?

T4.8 Determina los puntos de la curva y = x3 +9x2 − 9x+15 en los cuales la tangente es paralelaa la recta y = 12x + 5.

T4.9 Busca los puntos de la curva y = x4 − 7x3 + 13x2 + x + 1 que tienen la tangente formandoun angulo de 45◦ con el eje de las abscisas.

T4.10 Obten las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = (x + 1) · 3√

3 − x en elpunto P (2, 3).

T4.11 Demuestra que la curva y = |x − 2| no puede tener tangente en x = 2.

T4.12 Estudia la derivabilidad en x = 1 de la siguiente funcion y dibuja su grafica

f(x) =

{1 si x ≤ 12 si x > 1

T4.13 Dada la funcion

f(x) =

{2 si x ≤ 0x2 si x > 0

¿Es derivable en x = 0? ¿Es continua en x = 0? (aplica la definicion de derivada).

T4.14 Dada la funcion f(x) =mx2 − 1

x, hallar m para que f ′(1) = 0. (Aplica la definicion de

derivada).

T4.15 El espacio recorrido por un movil viene dado por la ecuacion s(t) = 3t + 5. Demuestra quela velocidad media es constante en cualquier intervalo.

T4.16 La ecuacion del espacio recorrido por un movil en funcion del tiempo es s(t) = 3t2 − t + 1.Halla la velocidad en el instante t = 2.


T4.17 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial:

1. f(x) = x6 2. f(x) = x−6

3. f(t) = t2/3 4. f(t) = t−2/3

5. f(x) = x2 · x1/3 6. f(x) = x2 · x−1/3

7. f(m) = (m2 − 1)7 8. f(m) = (m2 + 1)−1/3

9. f(x) =x2

x1/210. f(x) = x1/2 · x1/3 · x1/4

11. f(x) =

√√√x 12. f(x) =

√3√

x

13. f(x) =

√x

x14. f(x) =

x√x

15. f(t) = sen2 t 16. f(x) = sen−2 x17. f(x) =

√sen x 18. f(x) = 3

√sen x

19. f(x) = cos2 x 20. f(x) = cos−2 x

21. f(t) =√

cos t 22. f(x) = 3√

cos x23. f(x) = tg2 x 24. f(x) = tg−2 x

25. f(x) =√

tg x 26. f(x) = tg−1/2 x27. f(t) = cotg2 t 28. f(x) = cotg−2 x

29. f(t) =√

cotg t 30. f(x) = cotg−1/2 x

T4.18 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo logarıtmico:

1. f(x) = ln(x2 − x + 1) 2. f(x) = ln(sen x)3. f(t) = ln(cos t) 4. f(x) = ln(ex)5. f(x) = ln(tg x2) 6. f(x) = ln(x2 + 1)2

7. f(x) = ln(sen x)1/2

T4.19 Calcula las derivadas de las siguientes funciones de tipo exponencial:

1. f(x) = e4x 2. f(x) = e3−x2

3. f(x) = 5x2+x+1 4. f(x) = 2x2+1

5. f(x) = eeex

6. f(x) = 3x · 5x

T4.20 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo potencial-exponencial:

1. f(x) = xtg x 2. f(x) = (sen x)cos x

3. f(x) = (sen x)sen x 4. f(x) = (sen x)x

T4.21 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo seno:

1. f(x) = sen 2x 2. f(x) = sen(−2x)3. f(t) = sen(2t + 7) 4. f(x) = sen(−3x + 6)2

5. f(m) = sen(m2 + 1) 6. f(x) = sen x−2

7. f(x) = sen(ex) 8. f(x) = sen5(x2 + 1)7

9. f(x) = sen(ln(x2 + 1)) 10. f(x) = sen(5x)11. f(p) = sen(cos p) 12. f(x) = sen(tg x)13. f(x) = sen(cotg x) 14. f(x) = sen2(x2 + 1)2


T4.22 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo coseno:

1. f(x) = cos 2x 2. f(x) = cos(−2x)3. f(s) = cos(2s + 7) 4. f(x) = cos(−3x + 6)2

5. f(t) = cos t2 6. f(x) = cos x−2

7. f(x) = cos(ln(x2 + 1)) 8. f(x) = cos(5x)9. f(x) = cos(cos x) 10. f(x) = cos(cos(cos x))

11. f(x) = cos(tg x) 12. f(x) = cos(ex)13. f(x) = cos(cotg x) 14. f(x) = cos(x2 + 1)2

T4.23 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo tangente:

1. f(x) = tg 2x 2. f(x) = tg(−2x)3. f(t) = tg(2t + 7) 4. f(x) = tg(−3x + 6)5. f(x) = tg x−2 6. f(x) = tg(ex)7. f(x) = tg(ln(x2 + 1)) 8. f(x) = tg(5x)

T4.24 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo cotangente:

1. f(x) = cotg 2x 2. f(x) = cotg(−2x)3. f(t) = cotg(2t + 7) 4. f(x) = cotg(−3x + 6)5. f(x) = cotg(x2 + 1)2 6. f(x) = cotg x−2

T4.25 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcoseno:

1. f(x) = arcsen 2x 2. f(x) = arcsen(x2 + 1)3. f(x) = arcsen

√x 4. f(x) = arcsen(cos x)

T4.26 Calcula las derivadas de las siguientes funciones tipo arcotangente:

1. f(x) = arctg(x2 + 1) 2. f(x) = arctg√

x3. f(x) = arctg(ln x) 4. f(x) = arctg(ex)

5. f(x) = arctg x−1/2

T4.27 Calcula las derivadas de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma massimple posible:

1. f(x) =√

ln(tg(x2 + 1)) 2. f(x) = arcsen(2x√

1 − x2)

3. f(x) = (1 − cos x) cotg x 4. f(x) =

√x + 1

x − 1

5. f(x) = ln(x + 1 +√

x2 + 2x + 1) 6. f(x) = ln

√1 + sen x

1 − sen x

7. f(x) = arctg

√1 + x2 − 1

x8. f(x) = eln sen2 x

9. f(x) = arctg1 + x

1 − x− arctg x 10. f(x) = arcsen(xcos2 x)

11. f(x) =

√ax + b

cx + d12. f(x) = arctg

x√1 − x2

T4.28 Halla la derivada vigesimo tercera de y = a sen bx para a y b constantes.

T4.29 Deriva la funcion y = (cos x)ln x2

y halla el valor de la funcion en x =π

2y x = 1.

T4.30 Dada la funcion f(x) = esen x, calcula y′, y′′, y′′′.


T4.31 Calcula y simplifica las derivadas de las siguientes funciones

1. f(x) = ln

√1 + ex − 1√1 + ex + 1

f ′(x) =1√

1 + ex

2. f(x) =√

a2 − x2 + a · arcsen x

af ′(x) =

√a − x

a + x

3. f(x) = ln(x +√

a2 + x2) f ′(x) =1√

a2 + x2

4. f(x) = − 1

2 sen2 x+ ln(tg x) f ′(x) =

1

sen3 x cos x

5. f(x) =1

10e−x(3 sen 3x − cos 3x) f ′(x) = e−x cos 3x

6. f(x) = 2 sen x cos x f ′(x) = 2 cos 2x

7. f(x) = (sen x)cos x f ′(x) = (sen x)cos x

(cos2 x

sen x− sen x · ln(sen x)

)

8. f(x) = ln(tg x) f ′(x) =1

sen x cos x

9. f(x) =1

2ln(1 + x2) f ′(x) =

x

1 + x2

10. f(x) = ln(sen x) f ′(x) = cotg x

11. f(x) = sen x − x cos x f ′(x) = x sen x

12. f(x) = 2 arctg(√

x) f ′(x) =1

(1 + x)√

x

13. f(x) = −√

x2 + 4

4xf ′(x) =

1

x2√

4 + x2

T4.32 Halla la derivada vigesimo cuarta de y = a sen bx para a y b constantes.

T4.33 Deriva la funcion y = ln(x2)cos x y halla el valor de la funcion en x =π

2y x = 1.

T4.34 Dada la funcion y = f(x) = etg x, calcula y′, y′′, y′′′.

Tema 5Propiedades de las funcionesderivables

5.1 Continuidad y derivabilidad

Si una funcion es derivable en un punto x = a, entonces es continua en el. Veamoslo:

Sabiendo que f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)

x − ahay que probar que lim

x→af(x) = f(a).

limx→a

f(x) = f(a) ⇐⇒ limx→a

(f(x) − f(a)) = 0

Multiplicando y dividiendo por x − a:

limx→a

(f(x) − f(a)) = limx→a

(f(x) − f(a)

x − a· (x − a)

)= lim

x→a

f(x) − f(a)

x − a︸︷︷︸‖

f ′(a)

· limx→a

(x − a)︸︷︷︸

‖

0

= 0

Sin embargo, el recıproco de este teorema no es cierto. Cualquier funcion derivable escontinua, pero una funcion continua no es necesariamente derivable. Por ejemplo, la funcionf(x) = |x| es continua pero no es derivable en x = 0.

De este teorema se deduce que las funciones derivables forman un subconjunto de lasfunciones continuas.

5.2 Derivada en un punto maximo o mınimo

Sea f una funcion definida en un intervalo abierto (a, b). Si la funcion alcanza un maximoo un mınimo en un punto c del intervalo y es derivable en el, entonces su derivada es nula.

La interpretacion geometrica de este hecho es que la recta tangente en un punto maximoo mınimo es paralela al eje de abscisas.

5.3 Teorema de Rolle

Si una funcion f es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en su interior (a, b)y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto interior c tal que f ′(c) = 0.

Geometricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que larecta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje de abscisas.

Demostracion por ser f continua en [a, b] y debido al teorema de Weierstrass, la funcionalcanza un maximo y un mınimo. De este hecho se obtienen tres posibilidades:

29

30 TEMA 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

a bc a c b a b

Si el valor maximo o mınimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teoremaanterior de la derivada en un punto maximo o mınimo, es f ′(c) = 0.

Si los valores maximo y mınimo se presentan ambos en los extremos, son iguales, yaque f(a) = f(b), luego la funcion f es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b) esf ′(c) = 0.

5.4 Teorema del valor medio o de Lagrange

Si una funcion f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior(a, b), entonces existe al menos un punto interior c de (a, b) tal que:

f(b) − f(a)

b − a= f ′(c)

lo cual equivale a:

f(b) − f(a) = f ′(c) · (b − a)

que recibe el nombre de formula de incrementos finitos.

Demostracion

?6s(x)

f(x)

g(x)

a b

Para demostrar este teorema aplicaremos el teoremade Rolle a una funcion auxiliar s(x) que da la longi-tud del segmento vertical, es decir:

s(x) = f(x) − g(x)

siendo g(x) la funcion cuya grafica es la recta, lla-mada secante, que une (a, f(a)) con (b, f(b)), es de-cir:

g(x) =f(b) − f(a)

b − a· (x − a) + f(a)

Por tanto:

s(x) = f(x) − f(b) − f(a)

b − a· (x − a) − f(a)

Esta funcion verifica las condiciones del teorema de Rolle, pues es continua en [a, b],derivable en (a, b) y s(a) = s(b) = 0. Por tanto, existe algun c en (a, b) tal que s′(c) = 0.

5.5. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31

Pero:

s′(c) = f ′(c) − f(b) − f(a)

b − a= 0 =⇒ f ′(c)︸︷︷︸

pendiente de latangente en (c, f(c))

=f(b) − f(a)

b − a︸︷︷︸pendiente de la secante

5.5 Consecuencias del Teorema del valor medio

5.5.1 Caracterizacion de las funciones constantes

Si una funcion f tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, esconstante.

Demostracion tomemos dos valores x y x + h del intervalo (a, b) y aplicando el teoremade Lagrange al intervalo [x, x + h], habra un punto c del intervalo (x, x + h) que verifica:

f(x + h) − f(x) = f ′(c) · h

y como f ′(c) = 0, resulta:

f(x + h) − f(x) = 0 =⇒ f(x + h) = f(x) =⇒ f es constante

Este teorema no es valido si el dominio de la funcion no es un intervalo.

5.5.2 Relacion entre funciones con igual derivada

Si dos funciones f y g tienen derivadas iguales en todos los puntos de un intervaloabierto, difieren en una constante.

Demostracion

D(f(x) − g(x)) = Df(x) − Dg(x) = 0

Luego, por el apartado anterior:

f(x) − g(x) = C

Graficamente, esto significa que la curva g(x) se obtiene a partir de f(x) trasladandolaparalelamente al eje de las y.

Este teorema no es valido si el dominio de la funcion no es un intervalo.

5.6 Teorema de Cauchy

Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b], derivables en suinterior (a, b), g(b) 6= g(a) y g′(x) 6= 0 para todo x de (a, b), entonces existe al menos unpunto c de (a, b) tal que:

f(b) − f(a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c)

Nota: este teorema es una generalizacion del teorema del valor medio cuando g(x) = x.


5.7 Raıces de una ecuacion o funcion

Entre cada dos raıces de una funcion derivable existe al menos una raiz de la funcionderivada.

De este resultado se deduce cierta informacion sobre el numero de raıces reales de fcuando conocemos las de f ′. Por ejemplo:

• Si f ′ no posee raıces reales, el numero maximo de raıces de f sera uno.

• Si f ′ solo posee una raiz real, el numero maximo de raıces de f sera dos, y ası sucesi-vamente.

5.8 Regla de L’Hopital. Calculo de lımites indetermi-

nados

(a) Indeterminacion0

0:

Supongamos que limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0, siendo g(x) 6= 0 en un entorno de a.

Si limx→a

f ′(x)

g′(x)existe, tanto si es finito como infinito, entonces:

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

El valor de a puede finito o infinito.

En algunos casos el lımite del cociente de las derivadas vuelve a presentar la mismaindeterminacion. Si sucede esto, se repite el proceso una vez que hayamos comprobado quepuede aplicarse la regla de L’Hopital.

(b) Indeterminacion∞∞ :

Supongamos que limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞.

Si limx→a

f ′(x)

g′(x)existe, tanto si es finito como infinito, entonces:

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

El valor de a puede finito o infinito.

(c) Otros tipos de indeterminacion:

Las indeterminaciones tipo 0 · ∞,∞−∞ se reducen a uno de los tipos anteriores trans-formando adecuadamente las expresiones.

Para las indeterminaciones del tipo 1∞,∞0, 00, el truco consiste en considerar no lasexpresiones que nos dan, sino sus logaritmos. De este modo, puede aplicarse la regla deL’Hopital, puesto que se reduce a uno de los tipos anteriores.

A = limx→a

f(x)g(x)

5.8. REGLA DE L’HOPITAL. CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS 33

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros, se tiene:

ln A = limx→a

(g(x) · ln f(x))

de donde:limx→a

f(x)g(x) = eln A

Ejemplos:

(1) limx→0

x − senx

x3

(=

0

0

)L’H= lim

x→0

1 − cos x

3x2

(=

0

0

)L’H= lim

x→0

senx

6x

(=

0

0

)L’H= lim

x→0

cos x

6=

1

6

(2) A = limx→0

xx ⇒ ln A = limx→0

(x · ln x)(= 0 · ∞)

ln A = limx→0

(x · ln x) = limx→0

ln x

1

x

(=

∞∞

)L’H= lim

x→0

1

x

− 1

x2

= limx→0

(−x) = 0

Por tanto, A=e0=1.



T5.1 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) = |x − 1| en el intervalo [−2, 2].

T5.2 Dada la funcion definida por

f(x) =

{x2sen

1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

estudia su continuidad y derivabilidad.

T5.3 Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion

f(x) =

{2 si x < 0

x − 2 si x ∈ [0, 4]x2 − 8 si x > 4

T5.4 Calcula la derivada de la siguiente funcion e interpreta el resultado.

f(x) = arctg1 + x

1 − x− arctg x

T5.5 Dada la funcion f(x) = |x2 − 4|, confirma si se verifican las hipotesis del Teorema de Rolleen [−3, 3].

T5.6 ¿Es aplicable el Teorema de Rolle a la funcion

f(x) =

{x + 2 si 1 ≤ x < 37 − x si 3 ≤ x ≤ 5?

T5.7 Halla el punto c al que se refiere el teorema del valor medio para la funcion f(x) = x2 −x+3en el intervalo [2, 5].

T5.8 Indica si las funciones f y g verifican las hipotesis del Teorema del valor medio y, en casoafirmativo, encuentra los puntos c cuya existencia asegura el teorema:

f : [0, 1] −→ IR g : [0, π] −→ IRx 7−→ x(x − 2) x 7−→ 2x + sen x

T5.9 Dadas las funciones f(x) = x2 − 1 y g(x) = x + 2 que cumplen las condiciones del Teoremade Cauchy en [0, 4], halla el punto c al que se refiere el teorema.

T5.10 Dada la funcion f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4), halla tres intervalos tales que cada unode ellos contenga una raız diferente de la ecuacion f ′(x) = 0.

T5.11 Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma esepolinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para algun valor de x; razona a queintervalo pertenece ese valor.

T5.12 Demuestra que la ecuacion x3 + 6x2 + 15x − 23 = 0 no puede tener mas de una raız real.

T5.13 Demuestra que la ecuacion x18 − 5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raıces reales.

T5.14 Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curva y = x5 − 5x− 1 tieneexactamente tres puntos de interseccion con el eje OX.

T5.15 Halla un intervalo no superior a1

8en el cual se anule la funcion definida por

f(x) =x3 + 2x − 1

x(x 6= 0)

¿En cuantos puntos corta su grafica al eje de abscisas?


T5.16 Sea f(x) = x2 − 1 y g(x) = x − 1. ¿Por que limx→1

f(x)

g(x)= 2?

T5.17 Calcula los siguientes lımites:

1. limx→1

x5 − 1

x3 − 12. lim

x→2

x3 − 3x − 2

x2 − 4

3. limx→0

(1 − cos x) sen x

x24. lim

x→0

x cos x − sen x

x3

5. limx→0

x − sen x

cos x − 16. lim

x→0

ex − e−x − 2x

x − sen x

7. limx→1

sen(x − 1)

x2 − 3x + 28. lim

x→0

ex − esen x

x3

9. limx→0

x ln(1 + x)

1 − cos x10. lim

x→0

(2 − x)ex − x − 2

x2

11. limx→+∞

x2 + x + 1

x2 − x12. lim

x→2

(x − 2)(x + 1)

2x2 − 2x − 4

13. limx→0+

x · ln x 14. limx→0

x arcsen x

sen x cos x

15. limx→1

x3 − 3x + 2

x4 − 2x2 + 116. lim

x→0

1 − cos x

(ex − 1)2

17. limx→+∞

(2x + 3

2x − 1

)x

18. limx→0

(1

ln(1 + x)− 1

x

)

19. limx→+∞

(cos

1

x

)x

20. limx→0

(cotg x − 1

x

)

Tema 6 Aplicaciones de las derivadas

6.1 Funciones crecientes y decrecientes

Una funcion f es estrictamente creciente en un intervalo si para dos valores cuales-quiera del mismo x e y, se cumple:

x < y =⇒ f(x) < f(y)

Esta relacion puede expresarse tambien en funcion de la tasa de variacion media:

f(y) − f(x)

y − x> 0 (tasa de variacion media positiva)

Una funcion f es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismo x ey, se cumple:

x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

o tambien:f(y) − f(x)

y − x≥ 0 (tasa de variacion media positiva o nula).

Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simetrico delmismo, se dice que la funcion es creciente en dicho punto.

Una funcion f es estrictamente decreciente en un intervalo si para dos valores cua-lesquiera del mismo x e y, se cumple:

x < y ⇒ f(x) > f(y)


y − x< 0 (tasa de variacion media negativa)

Una funcion f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del mismox e y, se cumple:

x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)


y − x≤ 0 (tasa de variacion media negativa o nula).

Si tomamos x = a y se verifican las relaciones anteriores en un entorno simetrico delmismo, se dice que la funcion es decreciente en dicho punto.

6.2 Intervalos de monotonıa en funciones derivables

Estudiar la monotonıa de una funcion es hallar los intervalos en los que es solo crecienteo solo decreciente.

De la tasa de variacion media que aparece en la definicion de monotonıa se pasa, tomandolımite, a la derivada:

f ′(x) = limy→x

f(y) − f(x)

y − x

36

6.3. MAXIMOS Y MINIMOS 37

Criterio 1: Derivada primera

• Si f ′ > 0 en un intervalo, la funcion es estrictamente creciente en ese intervalo.

• Si f ′ < 0 en un intervalo, la funcion es estrictamente decreciente en ese intervalo.

Criterio 2: Crecimiento en un punto

Sea x = a un punto donde se anula la primera derivada; se supone ademas que existe laderivada de orden 2n + 1 (impar) en un entorno de dicho punto y que f ′(a) = f ′′(a) = ... =f (2n(a) = 0.

• Si f (2n+1(a) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = a.

• Si f (2n+1(a) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = a.

6.3 Maximos y mınimos

La funcion f tiene en x = a un maximo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≤ f(a).

La funcion f tiene en x = a un mınimo relativo si existe un entorno de a, (a−h, a+h),tal que para todo x del intervalo (x − h, x + h) se tiene: f(x) ≥ f(a).

Los puntos maximos o mınimos relativos se llaman tambien puntos crıticos, estacio-narios o singulares.

Teorema

Si una funcion tiene maximos o mınimos relativos y es derivable en ellos, entonces suderivada se anula en esos puntos.

Demostracion

La demostracion la hicimos en el tema anterior, ya que la tangente en los puntos crıticoses paralela al eje de abscisas y, por tanto, su pendiente es cero.

Este teorema nos permite hallar los puntos candidatos a ser maximo o mınimo. Estospuntos son las soluciones de la ecuacion f ′(x) = 0. Obtenidos estos puntos, los siguientescriterios precisan si en ellos existe maximo, mınimo o ninguna de las dos cosas.

Criterio 1: Variacion de la funcion en el entorno del punto

Si sustituimos en la funcion x por a−h y a+h para un valor h suficientemente pequenoy se verifica:

• f(a + h) ≤ f(a)f(a − h) ≤ f(a)

}⇒ f tiene un maximo relativo en x = a.

• f(a + h) ≥ f(a)f(a − h) ≥ f(a)

}⇒ f tiene un mınimo relativo en x = a.

38 TEMA 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Criterio 2: Variacion del signo de la primera derivada en el entorno del punto

• Si a la izquierda de x = a es f ′ > 0 (funcion creciente) y a la derecha es f ′ < 0 (funciondecreciente), entonces la funcion alcanza un maximo relativo en x = a.

• Si a la izquierda de x = a es f ′ < 0 (funcion decreciente) y a la derecha es f ′ > 0(funcion creciente), entonces la funcion alcanza un mınimo relativo en x = a.

Criterio 3: Valor de la derivada segunda en el punto

• Si f ′′(a) > 0 ⇒ f tiene un mınimo relativo en x = a.

• Si f ′′(a) < 0 ⇒ f tiene un maximo relativo en x = a.

Criterio 4: Anulacion de sucesivas derivadas en el punto

Sea x = a un punto donde puede existir un maximo o un mınimo relativo; se suponeque existe derivada 2n (par) en un entorno de dicho punto y ademas que: f ′(a) = f ′′(a) =... = f (2n−1(a) = 0.

• Si f (2n(a) > 0 ⇒ f tiene un mınimo relativo en x = a.

• Si f (2n(a) < 0 ⇒ f tiene un maximo relativo en x = a.

6.4 Problemas sobre maximos y mınimos

El calculo de maximos y mınimos por derivadas permite resolver de una manera sencillay rapida muchos problemas que aparecen en Matematicas y en otras disciplinas cientıficas enlos que se trata de optimizar una funcion. Para resolverlos, seguiremos el esquema generalsiguiente:

(1) Mediante los datos del problema se construye la funcion que hay que maximizar ominimizar; la mayorıa de las veces en funcion de dos o mas variables.

(2) Si la funcion tiene mas de una variable hay que relacionar las variables mediante ecua-ciones para conseguir expresar la funcion inicial planteada en el punto (1) utilizandouna sola variable.

(3) Se hallan los maximos y mınimos de esta funcion.

(4) Se interpretan los resultados obtenidos y se rechazan aquellos que por la naturalezadel problema no sean posibles.

EJEMPLO:Calcular las dimensiones del rectangulo de mayor area cuyo perımetro sea de 40 metros.

(1) Incognitas: x largo, y ancho. Funcion a optimizar: S(x, y) = xy.

(2) P : 2x + 2y = 40 ⇒ x + y = 20 ⇒ y = 20 − x luego S = xy ⇒ S(x) = x(20 − x).

(3) S′(x) = 20 − 2x = 0 ⇔ x = 10 ⇒ y = 10.

(4) Es un cuadrado de 10 metros de lado.

6.5. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 39

6.5 Concavidad y convexidad

Una funcion definida en un intervalo es convexa si “mira” hacia la parte positiva deleje de ordenadas y, es concava, si “mira” hacia la parte negativa del eje de ordenadas.

Si la funcion es convexa, la grafica de la funcion queda encima de la recta tangente encada uno de los puntos y si la funcion es concava, la grafica de la funcion queda debajo dela recta tangente en cada uno de los puntos.

Criterio 1: Derivada primera

Sea f una funcion definida en el intervalo I.

• Si f ′ es creciente en el intervalo I, la funcion f es convexa en I.

• Si f ′ es decreciente en el intervalo I, la funcion f es concava en I.

Criterio 2: Derivada segunda

• Si f ′′ > 0 en el intervalo I, la funcion f es convexa en I.

• Si f ′′ < 0 en el intervalo I, la funcion f es concava en I.

Criterio 3: Anulacion de sucesivas derivadas

Sea x = a un punto donde la funcion puede ser convexa o concava; se supone que existederivada de orden 2n (par) en un entorno de x = a, y ademas que f ′(a) 6= 0 y f ′′(a) = ... =f (2n−1(a) = 0.

• Si f (2n(a) > 0, entonces la funcion es convexa en x = a.

• Si f (2n(a) < 0, entonces la funcion es concava en x = a.

6.6 Puntos de inflexion

Una funcion f tiene un punto de inflexion en x = a si la funcion pasa de convexaa concava o de concava a convexa en ese punto. Si la funcion pasa de convexa a concava,diremos que x = a es un punto de inflexion convexo-concavo. Si la funcion pasa deconcava a convexa, diremos que x = a es un punto de inflexion concavo-convexo.

Si una funcion tiene puntos de inflexion, entonces su derivada segunda se anula en esospuntos.

Este resultado nos permite calcular los puntos de la grafica f que pueden ser de inflexion.Las abscisas de estos puntos son las raıces de la ecuacion f ′′(x) = 0.

Criterio 1: Signo de la derivada segunda en el entorno del punto

• Si a la izquierda de x = a es f ′′ > 0 (f convexa) y a la derecha de x = a es f ′′ < 0 (fconcava), entonces x = a es un punto de inflexion convexo-concavo.

• Si a la izquierda de x = a es f ′′ < 0 (f concava) y a la derecha de x = a es f ′′ > 0 (fconvexa), entonces x = a es un punto de inflexion concavo-convexo.


Criterio 2: Valor de la derivada tercera en el punto

• Si f ′′′(a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexion concavo-convexo.

• Si f ′′′(a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexion convexo-concavo.

Criterio 3: Anulacion de derivadas sucesivas

Sea x = a un punto donde puede existir un punto de inflexion; se supone que existe derivadade orden 2n + 1 (impar) en un entorno de x = a, y ademas que f ′(a) 6= 0 y f ′′(a) = ... =f (2n(a) = 0.

• Si f (2n+1(a) > 0, f tiene en x = a un punto de inflexion concavo-convexo.

• Si f (2n+1(a) < 0, f tiene en x = a un punto de inflexion convexo-concavo.



T6.1 Halla los intervalos de monotonıa de la funcion f(x) = x7. ¿Como es la funcion en el puntox = 0? Estudia la monotonıa en este punto directamente por medio de la funcion, es decir, sinutilizar la derivada.

T6.2 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x) = x8. ¿Como es lafuncion en el punto x = 0? Estudia la monotonıa en x = 0 directamente por medio de la funcion f .

T6.3 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

(1) f(x) = x + 5 − 2 sen x

(2) f(x) = sen x + cos x

T6.4 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

(1) f(x) = x3 − 3x2 + 1

(2) f(x) = x3 − 6x2 + 9x − 8

T6.5 Estudia para que valores de x esta definida la funcion f(x) = ln((x − 1)(x − 2)) y en quevalores es creciente o decreciente.

T6.6 Estudia los maximos y mınimos de la funcion f(x) = (x3 − 4x2 + 7x − 6)ex

T6.7 Determina el maximo y el mınimo de la funcion f(x) = x5 + x + 1 en el intervalo [0, 2].

T6.8 Determina el parametro a para que el mınimo de la funcion y = x2 + 2x + a sea igual a 8.

T6.9 Obten los parametros a y b para que la funcion y = x2 + ax + b alcance un mınimo en elpunto P (−1, 2).

T6.10 La curva dada por y = x2 +ax+b pasa por el punto P (−2, 1) y alcanza un extremo relativoen x = −3. Halla a y b.

T6.11 La funcion f(x) = x3 + px2 + q tiene un valor mınimo relativo igual a 3 en x = 2. Halla losvalores de los parametros p y q.

T6.12 Halla a, b, c y d en la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d para que tenga un maximo en elpunto M(0, 4) y un mınimo en el punto M ′(2, 0).

T6.13 Dada la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, halla el valor de a, b, c y d para que tenga unmaximo en el punto M(−2, 21) y un mınimo en el punto M ′(−1, 6).

T6.14 Halla b, c y d en la funcion f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un maximo en x = −4,un mınimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.

T6.15 Calcula los parametros a, b, c y d para que la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga unmaximo relativo igual a 11 en x = −1, un mınimo relativo igual a -97 en x = 5 y tome el valor -17para x = 1.

T6.16 Halla dos numeros cuya suma es 20, sabiendo que su producto es maximo. Razona elmetodo utilizado.

T6.17 Halla dos numeros cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado delotro ha de ser maximo.

T6.18 Determina dos numeros cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno por el cubo delotro sea maximo.

T6.19 Halla las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2 de superficie para poderlo cercarmediante una valla de longitud mınima.

T6.20 Se quiere vallar un campo rectangular que esta junto a un camino. Si la valla del lado delcamino cuesta 8 /m y la de los otros 1 /m, halla el area del mayor campo que puede cercarsecon 2 880 .


T6.21 Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con perımetro de 20m. ¿Cual sera el radio que da el parterre de area maxima? ¿Cual sera la amplitud en radianes delsector?

T6.22 Los barriles que se utilizan para almacenar petroleo tienen forma cilındrica y una capacidadde 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construccion seamınima.

T6.23 De todos los triangulos isosceles de 12 cm de perımetro, hallar las dimensiones de los ladosdel que tenga area maxima.

T6.24 Entre todos los rectangulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm, calcula lasdimensiones del que tenga area maxima. Razona el proceso.

T6.25 Divide un segmento de 60 cm en dos partes, con la propiedad de que la suma de las areasde los triangulos equilateros construidos sobre ellas sea mınima.

T6.26 Determina la distancia mınima del origen a la curva xy = 1.

T6.27 Halla los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P (4, 0) sea mınima.

T6.28 Halla los puntos de la curva y2 = 4x cuya distancia al punto P (4, 0) sea mınima.

T6.29 Entre todos los cilindros rectos de volumen fijo V , halla el de menor superficie.

T6.30 Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los margenes superior e inferiordeben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que elgasto de papel sea mınimo.

T6.31 Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la curva y = x4 − 6x3 +12x2 − 5x+1.

T6.32 Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x3 − 6x2 + 16x − 11 en su punto deinflexion.

T6.33 Calcula la ecuacion de la recta tangente a la curva y = 2x3−6x2+4 en su punto de inflexion.

T6.34 Calcula los maximos, mınimos y puntos de inflexion de la funcion f(x) = 3 sen x − sen(3x)en el intervalo [0, 2π].

T6.35 Halla b, c y d en la funcion f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexionde abscisa x = 3, pase por el punto P (1, 0) y alcance un mınimo en x = 1.

T6.36 Determina los parametros a, b, c y d para que la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tengaun punto de inflexion en P (−2, 6) con tangente en el paralela a la recta 8x + y + 10 = 0, y tomeademas el valor -2 para x = 0.

T6.37 Halla a, b, c y d en la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx+d para que pase por el punto P (−1, 1)y tenga un punto de inflexion con tangente horizontal en Q(0,−2).

T6.38 ¿Que valores deben tomar a, b, c y d para que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un puntocrıtico en P (1, 3) y un punto de inflexion con tangente de ecuacion y = 2x en el origen?

Tema 7 Integrales indefinidas

7.1 Primitiva. Integral indefinida

Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La funcion F es unaprimitiva de f si F tiene por derivada a f .

F es primitiva de f ⇐⇒ F ′ = f

La operacion que permite obtener una primitiva F a partir de una funcion f recibe elnombre de integracion. Si existe la funcion F se dice que f es integrable.

Si F es una primitiva de f y C un numero real cualquiera, la funcion F + C es tambienuna primitiva de f .

Por ejemplo F1(x) = x2, F2(x) = x2 + 5, F3(x) = x2 − 3, . . . son todas primitivas de lafuncion f(x) = 2x, ya que F ′

1(x) = F ′2(x) = F ′

3(x) = . . . = f(x).Si el dominio de una funcion es un intervalo, entonces el conjunto de las primitivas de

f se representa por {F + C/C ∈ IR}.El conjunto de las primitivas de una funcion se llama integral indefinida, y al numero

real C constante de integracion.

∫f(x)dx = F (x) + C

El sımbolo∫

se lee “integral de f(x) con respecto a x”; dx nos indica la variable conrespecto a la cual integramos.

7.2 Propiedades lineales de la integracion

Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia inmediata de la deriva-cion. Suponemos que todas las funciones utilizadas son integrables y definidas en el mismointervalo.

- Integral de la suma o diferencia

La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) delas integrales de las funciones.

∫(f ± g)(x)dx =

∫f(x)dx ±

∫g(x)dx

- Integral del producto de un numero real por una funcion

La integral del producto de un numero real por una funcion es igual al numero por laintegral de la funcion. ∫

af(x)dx = a

∫f(x)dx

Esta relacion permite introducir constantes dentro del signo de integracion o sacarlasfuera segun convenga.

43

44 TEMA 7. INTEGRALES INDEFINIDAS

La utilizacion de estas dos propiedades constituye el metodo de descomposicion. Convienedescomponer lo mas posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendola expresion de la funcion por otra equivalente, sumando o restando una cantidad o multi-plicando y dividiendo por un mismo numero.

∫(af ± bg)(x)dx = a

∫f(x)dx ± b

∫g(x)dx

7.3 Integrales inmediatas de funciones elementales

Tipo Simples Compuestas

Potenciales (n 6= −1)

∫xn dx =

xn+1

n + 1

∫fn · f ′ dx =

fn+1

n + 1

Logarıtmicas

∫1

xdx = ln |x|

∫f ′

fdx = ln |f |

Exponenciales

∫ex dx = ex

∫ef · f ′ dx = ef

∫ax dx =

ax

ln a

∫af · f ′ dx =

af

ln a

∫sen x dx = − cos x

∫sen f · f ′ dx = − cos f

∫cos x dx = senx

∫cos f · f ′ dx = sen f

Trigonometricas

∫sec2 x dx∫(1 + tg2 x) dx∫ 1

cos2 xdx

= tg x

∫sec2 f · f ′ dx∫(1 + tg2 f) · f ′ dx∫ f ′

cos2 fdx

= tg f

∫− cosec2 x dx∫−(1 + cotg2 x) dx

∫ − 1

sen2 xdx

= cotg x

∫− cosec2 f · f ′ dx∫−(1 + cotg2 f) · f ′ dx

∫ − f ′

sen2 fdx

= cotg f

Inversas

∫1√

1 − x2dx =

arcsenx− arccos x

∫f ′

√1 − f2

dx =arcsen f

− arccos f

de

∫1

1 + x2dx =

arctg x− arccotg x

∫f ′

1 + f2dx =

arctg f− arccotg f

Trigonometricas

∫1

a2 + x2dx =

1

aarctg

x

a

∫f ′

a2 + f2dx =

1

aarctg

f

a

7.4. METODOS DE INTEGRACION 45

7.4 Metodos de integracion

7.4.1 Integral de un producto o metodo de integracion por partes

Sean u y v dos funciones derivables. La derivada del producto es

d(u · v) = u · dv + v · du

integrando ambos miembros

u · v =

∫u · dv +

∫v · du

despejando ∫u · dv = u · v −

∫v · du

Formula facil de recordar por la regla mnemotecnica “un dıa vı una vieja vestida deuniforme”Ejemplo: ∫

x ex dx = x ex −∫

ex dx = x ex − ex = (x − 1)ex

u = x du = dxdv = exdx v = ex

Como se ve, hay que derivar la funcion u e integrar la funcion dv, por lo que hay que elegirdv de manera que sea facilmente integrable.

Algunas veces, como ocurrıa con la regla de L’Hopital, hay que repetir el proceso en laparte

∫v du.

Tambien puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se obtenga enel segundo miembro de la igualdad una integral que coincida con la de partida, es decir,con la del primer miembro. En esta situacion, basta despejar la integral para obtener unaprimitiva.Ejemplo: ∫

ex cosx dx = ex senx −∫

ex senx dx

u = ex du = exdxdv = cos x dx v = senx

Ahora hago por separado

∫ex senx dx

∫ex senx dx = ex(− cos x) −

∫− cos xex dx = −ex cosx +

∫ex cos x dx

u = ex du = exdxdv = senx dx v = − cos x

Volviendo a la expresion anterior∫

ex cosx dx = ex senx −∫

ex senx dx =

ex senx − (−ex cos x +

∫ex cos x dx) = ex senx + ex cosx −

∫ex cosx dx


De donde

∫ex cosx dx +

∫ex cosx dx = ex senx + ex cosx =⇒ 2

∫ex cos x dx = ex senx + ex cos x

Es decir ∫ex cos x dx =

ex senx + ex cos x

2

7.4.2 Integral de la funcion compuesta o metodo de sustitucion

Es un metodo consecuencia de la derivacion de la funcion compuesta.

Como su mismo nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t, olo que es lo mismo, definir una funcion g tal que x = g(t), y transformar el integrando enotro mas sencillo.

(f◦g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

Integrando∫

f(g(t)) dt =

∫f ′(g(t)) · g′(t) dt

Para terminar el proceso se halla la integral en t y se deshace el cambio.

Ejemplos:

∫2x(x2 + 5)25 dx =

∫2x t25

dt

2x=

∫t25 dt =

t26

26+ C =

(x2 + 5)26

26+ C

(x2 + 5) = t

2x dx = dt dx =dt

2x

∫1

x√

x − 1dx =

∫2t

(t2 + 1) · t dt = 2

∫1

t2 + 1dt = 2arctg t = 2arctg

√x − 1 + C

t2 = x − 1 x = t2 + 1 dx = 2t dt

7.5 Integracion de funciones racionales

Las funciones racionales son de la forma f(x) =p(x)

q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios.

- Metodo directo

Algunas funciones racionales se pueden integrar comprobando si pertenecen a la formacompuesta de alguna integral inmediata (ver cuadro)

7.5. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES 47

Potencial (n 6= −1)

∫fn · f ′ dx =

fn+1

n + 1

Neperiana

∫f ′

fdx = ln |f |

Arco tangente

∫f ′

a2 + f2dx =

1

aarctg

f

a

Neperiano - arco tangentedenominador irreducible, M 6= 0

∫Mx + N

ax2 + bx + cdx = neperiano + arco tangente

Ejemplos:

∫2x + 1

(x2 + x + 1)3dx =

∫(x2 + x + 1)−3(2x + 1) dx =

(x2 + x + 1)−2

− 2∫

x3 + 1

x4 + 4x + 7dx =

1

4

∫4x3 + 4

x4 + 4x + 7dx =

1

4ln |x4 + 4x + 7|

∫2x

1 + x4dx =

∫2x

1 + (x2)2dx = arctg x2

- Metodo de descomposicion en fracciones simples

Cuando no es posible utilizar el metodo anterior, las funciones racionales se transfor-man en sumas de fracciones llamadas simples, que tienen por denominador potenciasde polinomios de primer grado o bien de segundo grado pero irreducibles.

Ademas supondremos que el grado del numerador es menor que el del denominador,pues en caso contrario, dividiendo se obtiene:

p(x) = q(x) · c(x) + r(x)

es decir,p(x)

q(x)= c(x) +

r(x)

q(x)

Ejemplo:∫

x3

x2 + 1dx =

∫x − x

x2 + 1dx =

∫x dx −

∫x

x2 + 1dx, que son conocidas.

El proceso a seguir consta de tres pasos


(1) Descomposicion del denominador en factores

Todo polinomio se puede descomponer en un producto de factores lineales ycuadraticos irreducibles. Pueden aparecer

- Factores lineales simples (x − 2), (x + 1) . . .

- Factores lineales dobles, triples ... (x − 2)2, (x + 1)3 . . .

- Factores cuadraticos irreducibles simples (x2 + 2), (x2 + x + 1) . . .

- Factores cuadraticos irreducibles dobles, triples ... (x2 +2)2, (x2 +x+1)3 . . .

(2) Descomposicion de la funcion en factores simples

p(x)

q(x)=

A

x − a+

B

x − b+

C

x − c+ . . . (factores lineales)

+P

(x − p)2+

Q

x − p+ . . . (factor lineal doble)

+Mx + N

ax2 + bx + c+ . . . (factor cuadratico)

La determinacion de las constantes A, B, C . . ., P , Q . . ., M y N se hace por elmetodo de los coeficientes indeterminados o dando valores numericos sencillos.

Ejemplo:∫3x − 5

x3 − x2 − x + 1dx

x3 − x2 − x + 1 = (x + 1)(x − 1)2

3x − 5

x3 − x2 − x + 1=

A

x + 1+

B

(x − 1)2+

C

x − 1

3x − 5 = A(x − 1)2 + B(x + 1) + C(x + 1)(x − 1)

Para x = 1 =⇒ 8 = 2B =⇒ B = 4

Para x = −1 =⇒ 2 = 4A =⇒ A = 12

Para x = 0 =⇒ 5 = A + B − C =⇒ C = − 12

(3) Integracion de los sumandos

Siguiendo con el ejemplo anterior∫3x − 5

x3 − x2 − x + 1dx =

1

2

∫1

x + 1dx + 4

∫1

(x − 1)2dx − 1

2

∫1

x − 1dx =

1

2ln |x + 1| − 4

x − 1− 1

2ln |x − 1| + C



T7.1 Determina la funcion F para la que F ′(x) =1

x3+ x y F (3) = 1.

T7.2 Hallar la funcion G tal que G′′(x) = 6x + 1, G(0) = 1 y G(1) = 0.

T7.3 Encontrar la funcion G para la que G′′′(x) = 2x y ademas G(0) = 0, G(1) =− 1

4, G(2) =

2

3.

T7.4 Halla la ecuacion de la curva que pasa por los puntos P (0, 3) y Q(−1, 4) sabiendo que suderivada segunda es y′′ = 6x − 2.

T7.5 Calcula las siguientes integrales potenciales:

1.

∫1

x2dx 2.

∫x5

6dx 3.

∫x2/3 dx

4.

∫1

x2/3dx 5.

∫x2 · x3 dx 6.

∫x · x2/3 dx

7.

∫x3

x2dx 8.

∫x2/3

x1/3dx 9.

∫ √x 3√

x dx

10.

∫3√

x2 dx 11.

∫(x2)3 dx 12.

∫ √x

xdx

13.

∫x√x

dx 14.

∫3√

x

xdx 15.

∫ √x 3√

x 4√

x dx

T7.6 Calcula las siguientes integrales de funciones potenciales compuestas:

1.

∫(x + 1)2 dx 2.

∫(7x + 5)2 dx 3.

∫(x2 + 1) · 2x dx

4.

∫(x3 + 1) · 3x2 dx 5.

∫(x2 + 3) · x dx 6.

∫x2 · (x3 + 2) dx

7.

∫(2x + 1)−3 dx 8.

∫x2 · (x3 + 1)−7 dx 9.

∫1

(2x + 1)2dx

10.

∫2x + 1

(x2 + x + 1)2dx 11.

∫1

x2 + 2x + 1dx 12.

∫1

x3 + 3x2 + 3x + 1dx

13.

∫x√

1 + x2 dx 14.

∫x√

1 − x2 dx 15.

∫(x + 1)(x2 + 2x + 5)6 dx

16.

∫x2

(x3 + 1)4dx 17.

∫1√

3x + 1dx 18.

∫(16x + 1)(8x2 + x − 5) dx

19.

∫ √x + 1

x + 1dx 20.

∫x√

x2 + 1

x2 + 1dx 21.

∫sen2 x cos x dx


22.

∫cos2 x sen x dx 23.

∫arctg x

1 + x2dx 24.

∫cos x

sen2 xdx

25.

∫ln2 x

xdx 26.

∫1

x ln2 xdx 27.

∫ln x

xdx

28.

∫arcsen2 x√

1 − x2dx 29.

∫1√

1 − x2 arcsen2 xdx 30.

∫arctg(x/2)

4 + x2dx

T7.7 Calcula las siguientes integrales tipo logarıtmico:

1.

∫4x−1 dx 2.

∫1

x − 1dx 3.

∫1

3x + 5dx

4.

∫1

ax + bdx 5.

∫x2

x3 + 2dx 6.

∫2x2

6x3 + 1dx

7.

∫2x + 1

x2 + x + 1dx 8.

∫x − 1

3x2 − 6x + 5dx 9.

∫ex

1 + exdx

10.

∫sen x − cos x

sen x + cos xdx 11.

∫1

x ln xdx 12.

∫1

(1 + x2) arctg xdx

13.

∫1√

1 − x2 arcsen xdx 14.

∫sec2 x

1 + tg xdx 15.

∫cos

√x√

x sen√

xdx

T7.8 Calcula las siguientes integrales tipo exponencial:

1.

∫e−x dx 2.

∫e2x dx 3.

∫e−2x dx

4.

∫e2x+1 dx 5.

∫e−2x+1 dx 6.

∫ex2+22x dx

7.

∫e−x2

x dx 8.

∫ex3+1x2 dx 9.

∫ex2+x+1(2x + 1) dx

10.

∫esen x cos x dx 11.

∫eln x · 1

xdx 12.

∫etg x sec2 x dx

13.

∫earctg x

1 + x2dx 14.

∫earcsen x

√1 − x2

dx 15.

∫12x dx

16.

∫(6x)2 dx 17.

∫7x

5xdx 18.

∫5x · 9x dx

T7.9 Calcula las siguientes integrales tipo seno:

1.

∫cos(−2x) dx 2.

∫1

3cos x dx 3.

∫cos

x

3dx

4.

∫cos(x + 1) dx 5.

∫cos(2x + 5) dx 6.

∫cos(−x + 1) dx

7.

∫3 cos(2x + 6) dx 8.

∫x cos x2 dx 9.

∫2x cos(x2 + 255) dx

10.

∫x cos(3x2 + 7) dx 11.

∫x cos(−3x2 − 5) dx 12.

∫7x2 cos(4x3 + 25) dx


13.

∫cos

√x

2√

xdx 14.

∫cos

√x√

xdx 15.

∫cos ln x

xdx

16.

∫cos ln x

2xdx 17.

∫cos(tg x)

cos2 xdx 18.

∫cos(arctg x)

1 + x2dx

T7.10 Calcula las siguientes integrales tipo coseno:

1.

∫sen(−2x) dx 2.

∫1

3sen x dx 3.

∫sen

x

3dx

4.

∫sen(x + 5) dx 5.

∫sen(2x + 5) dx 6.

∫sen(x + 8) dx

7.

∫3 sen(2x + 6) dx 8.

∫x sen x2 dx 9.

∫2x sen(x2 + 2) dx

10.

∫x sen(3x2 + 7) dx 11.

∫x sen(−3x2 − 5) dx 12.

∫7x2 sen(4x3 + 25) dx

13.

∫sen

√x√

xdx 14.

∫sen

√x

2√

xdx 15.

∫sen(tg x)

cos2 xdx

T7.11 Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente:

1.

∫1

1 + (x + 1)2dx 2.

∫1

1 + (3x + 27)2dx 3.

∫x3

1 + x8dx

4.

∫ex

1 + e2xdx 5.

∫sec2 x

1 + tg2 xdx 6.

∫ax

1 + a2xdx

7.

∫2x

1 + 4xdx 8.

∫3x

1 + 9xdx 9.

∫1√

x(1 + x)dx

10.

∫1

x(1 + ln2 x)dx 11.

∫3x + 27

1 + (3x + 27)4dx 12.

∫1

x2 + 2x + 2dx

13.

∫1

3 + x2dx 14.

∫1

4x2 + 4x + 2dx 15.

∫1

4x2 + 4x + 4dx

T7.12 Calcula las siguientes integrales tipo neperiano-arco tangente:

1.

∫x + 1

25 + x2dx 2.

∫x − 1

x2 + 2x + 2dx

3.

∫x

x2 + 2x + 17dx 4.

∫x + 1

x2 + x + 1dx

T7.13 Calcula por partes las siguientes integrales:

1.

∫x2ex dx 2.

∫x sen x dx 3.

∫x2 sen x dx

4.

∫x ln x dx 5.

∫x2 ln x dx 6.

∫ln2 x dx

7.

∫ln(x + 1) dx 8.

∫arccos x dx 9.

∫x2 cos x dx


T7.14 Integra las siguientes funciones racionales:

1.

∫1

x2 − 5x + 6dx 2.

∫2x + 1

x2 − 5x + 6dx

3.

∫1 + 2x

1 + x2dx 4.

∫1 + x

1 − xdx

5.

∫x2 + x + 1

x + 1dx 6.

∫x2 + 1

x − 1dx

7.

∫2x + 1

x2 + x − 6dx 8.

∫x + 2

x2 − x − 6dx

9.

∫x2 − 6x + 7

(x + 1)(x − 2)(x − 3)dx 10.

∫2x2 − 8x − 1

2x2 − 7x + 3dx

T7.15 Calcula las siguientes integrales trigonometricas haciendo cambios o transformando los in-tegrandos:

1.

∫cos5 x dx 2.

∫sen5 x dx

3.

∫sen x + tg x

cos xdx 4.

∫sen2 x cos3 x dx

T7.16 Calcula por el metodo mas adecuado las integrales siguientes:

1.

∫1

(x − 1)2dx 2.

∫x − 1

3x2 − 6x + 5dx

3.

∫(x − 1)ex dx 4.

∫(x2 − 2x − 3) ln x dx

5.

∫1

x2 − 1dx 6.

∫x + 5

x2 + x − 2dx

7.

∫6x + 8

x2 + 2x + 5dx 8.

∫x3 + 1

x2 − 5x + 4dx

9.

∫sec3 x dx 10.

∫1 + sen2 x

sen x cos xdx

11.

∫cos x

1 − cos xdx 12.

∫sen2(3x) cos(3x) dx

13.

∫x2 sen 3x dx 14.

∫x arctg x dx

15.

∫x2e3x dx 16.

∫x − 3

x2 + 49dx

17.

∫x4 − 3x2 − 3x − 2

x3 − x2 − 2xdx 18.

∫x ln(1 + x) dx

19.

∫(ln x)3

xdx 20.

∫sen(ln x) dx

21.

∫1√

x2 − 2dx 22.

∫1

x(ln3 x − 2 ln2 x − ln x + 2)dx

23.

∫x[ln(1 + x2) − e−x] dx

Tema 8 Integral definida

8.1 Area del trapecio mixtilıneo

Sea f una funcion continua y positiva en el intervalo [a, b]. La grafica de la funcion f ylas rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 determinan una region del plano que se llamatrapecio mixtilıneo.

x = a x = b

f

a by = 0

El problema que se plantea ahora es hallar el area de ese trapecio mixtilıneo, area quedepende de la funcion f y del intervalo [a, b], por lo que se designa como R(f, a, b). Veamosel proceso a seguir:

- Particiones del segmento [a, b]

Una particion del segmento [a, b] es un subconjunto ordenado y finito de numeros realesP = (x0, x1, . . . , xn) tales que:

a = x0 < x1 < . . . < xn = b

a = x0 x1 x2 xi b = xn. . . . . .

La particion P determina en el intervalo [a, b] los segmentos

[x0, x1], [x1, x2], . . . [xi, xi+1], . . . [xn−1, xn]

Una particion que tiene n + 1 puntos determina n segmentos.

- Sumas superiores e inferiores

Al ser f una funcion continua en [a, b], por el teorema de Weierstrass, alcanza el maximoM y el mınimo m. Igualmente lo alcanza en cada intervalo [xi, xi+1] de una particioncualquiera y se designan por

mi → mınimo de f en el intervalo [xi−1, xi]Mi → maximo de f en el intervalo [xi−1, xi]

Se llama suma superior de f asociada a la particion P, y se designa por S(f,P) alnumero real

S(f,P) = (x1 − x0)M1 + (x2 − x1)M2 + . . . + (xi − xi−1)Mi + . . . + (xn − xn−1)Mn

53

54 TEMA 8. INTEGRAL DEFINIDA

o abreviadamente S(f,P) =

n∑

i=1

(xi − xi−1)Mi

x0

a

x1 . . . xn

b

RR

RM1

M2

Mn

Esta suma corresponde a la suma de las areas de los rectangulos circunscritos a lagrafica de la funcion f . Es una aproximacion por exceso del area del trapecio mixtilıneo.

Se llama suma inferior de f asociada a la particion P, y se designa por I(f,P) alnumero real

I(f,P) = (x1 − x0)m1 + (x2 − x1)m2 + . . . + (xi − xi−1)mi + . . . + (xn − xn−1)mn

o abreviadamente I(f,P) =

n∑

i=1

(xi − xi−1)mi

x0

a

x1 . . . xn

b

RR

R

m1

m2

mn

Esta suma corresponde a la suma de las areas de los rectangulos inscritos a la graficade la funcion f . Es una aproximacion por defecto del area del trapecio mixtilıneo.

- Definicion del area del recinto R(f, a, b)

Si P1,P2, . . . ,Pn, . . ., es una sucesion de particiones de [a, b] tales que

P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Pn ⊂ . . .

se obtienen las siguientes sucesiones

I(f,P1), I(f,P2), . . . , I(f,Pn), . . .S(f,P1), S(f,P2), . . . , S(f,Pn), . . .

8.2. INTEGRAL DEFINIDA 55

siendo la primera creciente y acotada superiormente por cualquier suma superior y la segundadecreciente y acotada inferiormente por cualquier suma inferior. Ademas la diferencia delas dos tiende a cero, es decir

(S(f,Pn) − I(f,Pn))n→∞−→ 0

El lımite comun de estas dos sucesiones es, por definicion, el area del trapecio mix-tilıneo determinado por la funcion f y los puntos a y b.

. . .

. . . ··· n→∞−→

··· n→∞−→

S(f,P1) S(f,P2) S(f,Pn)

I(f,P1) I(f,P2) I(f,Pn)

8.2 Integral definida

- Integral definida como lımite de sumas superiores o inferiores

Si f es una funcion continua en el intervalo [a, b], para toda sucesion P1,P2, . . . ,Pn, . . .de particiones de [a, b], tanto las sumas superiores como las inferiores se aproximan a unmismo valor (el valor del area del trapecio mixtilıneo), siempre que se cumpla que:

(1) P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Pn ⊂ . . .

(2) Las longitudes de los intervalos xi − xi−1 que determina la particion Pn tiendan a 0(es decir, se hagan cada vez mas pequenos).

En este caso, existen los dos lımites siguientes y son iguales

limn→∞

I(f,Pn) = limn→∞

S(f,Pn)

Este lımite comun recibe el nombre de integral definida de la funcion f en [a, b] y sedesigna por: ∫ b

a

f(x) dx

Por tanto

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞


S(f,Pn)

- Los numeros a y b se llaman lımites superior e inferior de integracion, respectivamente.


- La funcion f se llama integrando.

- Una funcion, sea o no sea continua, en la que se verifica la relacion

limn→∞


S(f,Pn)

se dice que es integrable.

- Integral definida en funcion de un punto intermedio de cada subintervalo de la particion

Sea f una funcion continua en [a, b], y Pn = (x0, x1, . . . , xn−1, xn) una particion delintervalo [a, b]. Si elegimos del interior de cada intervalo [x0, x1], [x1, x2], . . . [xn−1, xn] unnumero real cualquiera c1, c2, . . . , cn, respectivamente, se tiene que:

mi ≤ f(ci) ≤ Mi donde i = 1, 2, . . . , n

Por tanto

n∑

i=1

(xi − xi−1)mi ≤n∑

i=1

(xi − xi−1)f(ci) ≤n∑

i=1

(xi − xi−1)Mi

I(f,P) S(f,P)

Entonces limn→∞


n∑

i=1

(xi − xi−1)f(ci) = limn→∞

S(f,Pn)

Se tiene ası una nueva forma de calcular la integral definida de una funcion continua,sin utilizar los maximos y mınimos que toman en cada subintervalo de la particion.

∫ b

a

f(x) dx =

n∑

i=1

(xi − xi−1)f(ci)

- Signo de la integral

El signo de la integral depende de los valores que tome la funcion en el intervalo cerrado[a, b]. Existen tres posibilidades:

(a) La funcion f es positiva en [a, b]:

f

a b0

Y

X

En este caso los valores intermedios que toma la funcion en cadauno de los intervalos de la particion son positivos, luego la inte-gral es positiva por serlo todas la sumas.

(b) La funcion f es negativa en [a, b]:

f

a b0

Y

X

Ahora los valores intermedios que toma la funcion en cada unode los intervalos de la particion son negativos, luego la integrales negativa por serlo todas la sumas.

8.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 57

(c) La funcion f toma tanto valores positivos como negativos en [a, b]:

f

a b0

Y

X+ + Cuando la funcion toma tanto valores positivos como negativos,

las sumas de la integral pueden ser positivas, negativas o nulas,es decir, la integral puede ser positiva, negativa o nula.

8.3 Propiedades de la integral definida

(1) Si c es un punto interior de [a, b], entonces:

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx +

∫ b

c

f(x) dx

(2) Si a = b, entonces: ∫ a

a

f(x) dx = 0

(3) Si permutamos los lımites de integracion, la integral cambia de signo:

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

(4) Integral de la suma o diferencia de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en[a, b], entonces: ∫ b

a

(f ± g)(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx ±∫ b

a

g(x) dx

(5) Integral del producto de un numero real por una funcion. Si f es una funcion definidaen [a, b] y k un numero real, entonces:

∫ b

a

(k · f)(x) dx = k ·∫ b

a

f(x) dx

8.4 Teorema de la media

Si f es una funcion continua en [a, b], existe un punto c en el interior de este intervalotal que: ∫ b

a

f(x) dx = (b − a) · f(c)

Demostracion Sean M y m los valores maximos y mınimos de la funcion f en el intervalo[a, b] (que existen por el teorema de Weierstrass). Por definicion de integral se tiene:

(b − a) · m ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ (b − a) · M


Dividiendo esta desigualdad por (b − a) se obtiene:

m ≤ 1

b − a

∫ b

a

f(x) dx ≤ M

La funcion f , por ser continua, toma todos los valores comprendidos entre el valor mınimom y el valor M (teorema del valor intermedio), luego existe un punto c interior a [a, b] talque:

1

b − a

∫ b

a

f(x) dx = f(c)

Es decir:

∫ b

a

f(x) dx = (b − a) · f(c)

8.5 Funcion integral

- Funcion integral

Dada una funcion f integrable en el intervalo [a, b], existe para todo x ∈ [a, b] laintegral definida

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

Si la funcion f y el lımite inferior de integracion son fijos, esta integral definida puedeconsiderarse como un numero real que depende de x, lımite superior de integracion. Esdecir, F (x) es una funcion que tiene como dominio el intervalo [a, b]. Esta funcion F sellama funcion integral.

- Si x = a, entonces F (a) =∫ a

af(t) dt = 0

- Si x = b, entonces F (b) =∫ b

af(t) dt

- Si f(x) > 0 para todo x, la funcion integral F nos da el area del recinto R(f, a, x) paracada x del intervalo [a, b].

- Teorema fundamental del calculo integral

Si f es continua en [a, b] y x pertenece a [a, b], entonces F es derivable en x y F ′(x) = f(x)para todo x de [a, b].Demostracion Demostremos que la funcion integral F es una primitiva de f .

F ′(x) = limh→0

F (x + h) − F (x)

hdefinicion de derivada

= limh→0

∫ x+h

af(t) dt −

∫ x

af(t) dt

hpor definicion de F

= limh→0

∫ x+h

xf(t) dt

hpor la aditividad de la integral definida

= limh→0

(x + h − x) · f(c)

hc ∈ (x, x + h) por el teorema de la media

8.6. RELACION CON LA DERIVADA. TEOREMA DE BARROW 59

= limh→0

h · f(c)

hc ∈ (x, x + h)

= limh→0

f(c) c ∈ (x, x + h)

= f(x) por la continuidad de f si h tiende a 0, f(c) tiende a f(x)

8.6 Relacion con la derivada. Teorema de Barrow

- Teorema de Barrow

Si f es una funcion continua en el intervalo [a, b] y G es una primitiva de f , entonces

∫ b

a

f(x) dx = G(b) − G(a)

Demostracion Sea F (x) =∫ x

af(t) dt la funcion integral primitiva de f . Entonces por ser

tambien G una primitiva de f , se diferencian en una constante, es decir,

F (x) = G(x) + C

El numero C puede calcularse facilmente, puesto que para x = a,

F (a) = G(a) + C

como F (a) = 0, entonces C = −G(a), es decir, F (x) = G(x) − G(a).Esta relacion se cumple para todo x del intervalo [a, b], luego, en particular, para x = b,

resulta: ∫ b

a

f(x) dx = F (b) = G(b) − G(a)

La integral definida de una funcion en el intervalo [a, b], es decir, el area de laregion que encierran la grafica de la funcion f y las rectas de ecuaciones x = a, x = be y = 0, es igual al valor que toma una primitiva cualquiera en el punto b menos elvalor que toma en el punto a.La diferencia G(b) − G(a) se designa por [G(x)]ba

∫ b

a

f(x) dx = [G(x)]ba = G(b) − G(a)

-Ejemplos:

1.-

∫ 4

0

(x2 − 4) dx =

∫ 4

0

x2 dx −∫ 4

0

4 dx =

[x3

3

]4

0

− 4[x]40

=64

3− 16 =

16

3

2.-

∫ e

1

1

xdx =

[lnx]e1

= ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1



T8.1 Calcula la integral definida

∫ 3

−3

|x| dx. Haz el dibujo del recinto y observa la simetrıa para

calcular la integral.

T8.2 Calcula las siguientes integrales definidas:

1.

∫ π

2

0

sen3 x dx 2.

∫ 1

0

1

x2 − x − 2dx 3.

∫ π

0

cos xesen x dx

4.

∫ 3

2

1

x(Lx)4dx 5.

∫ π

2

0

sen3 x cos4 x dx 6.

∫ π

2

0

x2 sen x dx

7.

∫ π

2

0

x4 sen x dx 8.

∫ 1

0

(x2e−ax − x2) dx 9.

∫ 3

2

x

x2 − 1dx


∫ π

−π

sen 3x dx

¿Se podrıa dar directamente el resultado viendo que se trata de una funcion impar? Razona larespuesta.


∫ 1

−1

(x3 + sen x) dx.

¿Se podrıa dar directamente el resultado viendo que se trata de una funcion impar? Razona larespuesta.

T8.5 Representa graficamente la funcion f(x) =1

(x + 1)(x + 2)y calcula la integral definida de

f(x) entre 0 y 1. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el area.


x2 − 5x + 6y calcula la integral definida de f(x)

entre -1 y 1. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el area.


∫ 1

0

1

x3 + 1dx.

T8.8 Aplica el teorema de la media del calculo integral para demostrar que

| sen x − sen y| ≤ |x − y|


∫ √π

2

0

xsen(x2) dx.

T8.10 Determina a y b para que la funcion

f(x) =

{sen πx + a para x ≤ −1ax + b para −1 < x ≤ 0x2 + 2 para x > 0

sea continua y despues calcula la integral definida de f(x) entre -2 y 2.

T8.11 Determina a y b para que la funcion

f(x) =

{2x + a para x ≤ −1ax + b para −1 < x ≤ 03x2 + 2 para x > 0

sea continua y despues calcula la integral definida de f(x) entre -2 y 2.



∫ π

0

exsenx dx.


(x − 1)(x + 2)y calcula la integral definida de

f(x) entre 2 y 3. Dibuja el recinto y comprueba si coincide con el area.

T8.14 Calcula razonadamente el valor de la integral definida

∫ 100

−100

(x25 + sen35x) dx.

T8.15 Halla el valor c del teorema del valor medio para integrales siendo la funcion f(x) = 3x2 yel intervalo [−4,−1].

T8.16 Halla G′(x) para cada funcion G:

(a) G(x) =

∫ x

1

1

t2 + 1dt (b) G(x) =

∫ x2

1

1

t2 + 1dt (c) G(x) =

∫ x3

x

1

t2 + 1dt

T8.17 Calcula la derivada G′(x) de la funcion G(x) =

∫ 2x

x

e−t2 dt.

T8.18 Halla los maximos y mınimos relativos de la funcion G(x) =

∫ x

1

ln t

tdt.

Tema 9Aplicaciones de la integral de-finida

9.1 Area del recinto donde interviene una funcion

(a) La funcion es positiva en [a, b]:

Sea f una funcion continua y positiva en el intervalo [a, b], es decir, f(x) ≥ 0para todo x ∈ [a, b]. Las rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 y la grafica de lafuncion f determinan en el plano un recinto cuya area tratamos de hallar.

R

f

a b0

Y

X

Segun hemos visto en el tema anterior, el area del recinto R esel area del trapecio mixtilıneo dada por la integral definida entrea y b.

area(R) =

∫ b

a

f(x) dx

- Ejemplo:

Halla el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2, el eje OX,la recta x = 2 y la recta x = 4.

R2 4

4

16

y = x2

area(R) =

∫ 4

2

x2 dx =

[x3

3

]4

2

=64

3− 8

3=

56

3

(b) La funcion es negativa en [a, b]:

Consideremos ahora una funcion f continua y negativa en el intervalo [a, b], esdecir, f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b]. Las rectas de ecuaciones x = a, x = b e y = 0 yla grafica de la funcion f determinan en el plano un recinto R situado debajo del ejede abscisas.

− f(x)

a b

f(x)

R

R′

Si tomamos la funcion opuesta −f el area del recinto R′ deter-minado por esta funcion y las rectas dadas es igual al area delrecinto R, por ser simetricos respecto al eje de abscisas.

Por tanto, area(R) = area(R′), es decir

area(R) = −∫ b

a

f(x) dx

que es el valor absoluto de la integral definida.

62

9.1. AREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA FUNCION 63

- Ejemplo:

Halla el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = −x2, el eje OX,la recta x = −2 y la recta x = 2.

− 2 2

4

R

y = −x2

R area(R) = −∫ 2

−2

−x2 dx =

∫ 2

−2

x2 dx =

=

[x3

3

]2

−2

=8

3− (−8

3) =

16

3

(b) La funcion toma valores positivos y negativos en [a, b]:

Cuando una funcion continua f no tiene signo constante en el intervalo [a, b], sugrafica determina con el eje de abscisas varias regiones R1, R2, R3, . . .

a b

f(x)

R1

R2

R3

R4c d e

En este caso el area del recintoR = R1 + R2 + R3 + . . . noviene dada por la integral defi-nida entre a y b; aquı es nece-sario calcular las areas de cadauna de las regiones Ri y sumar-las luego atendiendo a los sig-nos.

area(R) =

∫ c

a

f(x) dx −∫ d

c

f(x) dx +

∫ e

d

f(x) dx ± . . .

- Ejemplo:

Halla el area del recinto limitado por la grafica de ecuacion y = cosx y el eje OXen el intervalo [0, 2π].

0

f(x) = cos x

R1

R2

R4

π

23π

2R3

π

R = R1 + R2 + R3 + R4

Sin embargo las 4 regiones son iguales, portanto:

area(R) = 4 area(R1) = 4

∫ π

2

0

cos x dx = 4[senx

]π

2

0= 4 − 0 = 4

64 TEMA 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

9.2 Area del recinto donde intervienen dos funciones

(a) Las dos funciones son positivas en [a, b] y no se cortan:

Rf(x)

g(x)

a b0

Y

X

R2

R1

En este caso el area del recinto R es igual a la diferencia delas areas de los trapecios mixtilıneos determinados por las dosfunciones. Es decir, area(R) = area(R2) − area(R1)

area(R) =

∫ b

a

g(x) dx −∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) − f(x) dx

(b) Las dos funciones son negativas en [a, b] y no se cortan:

En este caso sigue siendo valida la formula anterior.

(c) Las dos funciones se cortan en [a, b]:

a bc0

Y

X

R1

R2

R

f(x)

g(x)~�

Si las funciones se cortan se consideran los subintervalosdonde las funciones verifican las condiciones de los aparta-dos (a) y (b). En este caso el area del recinto R es iguala la suma de los recintos R1 y R2. Es decir,

area(R) = area(R1) + area(R2)

area(R) =

∫ c

a

g(x) − f(x) dx +

∫ b

c

f(x) − g(x) dx

- Ejemplo:

Halla el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2, la rectay = −x + 2 y el eje OX.

y = −x + 2

1 2

1

y = x2

R1R2

B

Primero hay que hallar el punto de corte B = (1, 1) deambas graficas, para ello se resuelve el siguente sistema:

{y = x2

y = −x + 2

El area del recinto pedida se obtiene sumando la de losrecintos R1 y R2, es decir,

area(R) = area(R1) + area(R2) =

∫ 1

0

x2 dx +

∫ 2

1

−x + 2 dx =

[x3

3

]1

0

+

[ − x2

2

]2

1

=5

6

9.3. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCION 65

9.3 Volumen de un cuerpo de revolucion

Los cuerpos de revolucion se engendran por un recinto al girar alrededor de una recta.La recta fija se llama eje del solido de revolucion.

Los cilindros, conos y esferas son los cuerpos de revolucion mas conocidos. Aquı daremosun metodo general para hallar el volumen de estos y de otros cuerpos de revolucion.

0

f(x)

a b

R

X

Y

Consideremos una funcion continua f(x) definidaen el intervalo [a, b] cuya grafica determina con lasrectas x = a, x = b e y = 0 el recinto R. Al girareste recinto alrededor del eje de abscisas engendraun cuerpo o soido de revolucion, tal como se indicaen la figura.El volumen de este cuerpo de revolucion engen-drado por el recinto R viene dado por la formula:

Vol(f, a, b) =

∫ b

a

πf2(x) dx

9.4 Volumen de un cuerpo por secciones

Consideremos un solido que tiene la propiedad de que la seccion transversal a una rectadada tiene area conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemosconocemos el area de la seccion correspondiente.

0 x h X

Y

U

A(x)B

En particular, supongamos que la recta es el ejeOX y que el area de la seccion transversal estadada por la funcion A(x), definida y continua en[a, b].El volumen de este cuerpo viene dado por laformula:

Vol(A,a, b) =

∫ b

a

A(x) dx

66 TEMA 9. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA


T9.1 Calcula el area del recinto limitado por las rectas y = 2x, x = 2, x = 4. Comprueba elresultado utilizando alguna formula de geometrıa elemental.

T9.2 Calcula el area del recinto limitado por las rectas y + x = 10, y = 0, x = 2, x = 8.Comprueba el resultado mediante la formula geometrica correspondiente.

T9.3 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2 y la recta y = x.

T9.4 Calcula el area de la figura comprendida entre la parabola y = x2 y la recta y = x + 2.

T9.5 Halla el area comprendida entre la curva y = 2x2 y la recta y = 2x + 4.

T9.6 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = 4−x2 y la recta y = x+2.

T9.7 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = 9−x2 y el eje de abscisas.

T9.8 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2 − 4x y el eje deabscisas.

T9.9 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = 4x − x2 y el eje deabscisas. ¿Como es este recinto en relacion con el del ejercicio anterior?

T9.10 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2−4x y la recta y = 5.

T9.11 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = x2 − 4x y la recta deecuacion y = 2x − 5.

T9.12 Determina el area limitada por las graficas de las funciones y = 3x − x2 e y = x − 3.

T9.13 Halla el area comprendida entre las curvas y = 5 − x2 e y = x2.

T9.14 Calcula el area de la region del plano comprendida entre las curvas y = 4 − x2 e y = 3x2.

T9.15 Halla el area comprendida entre las curvas y = x2 − 2x + 1 e y = −x2 + 4x + 1.

T9.16 Halla el area comprendida entre las curvas y = 6x − x2 e y = x2 − 2x.

T9.17 Las parabolas y2 − 2x = 0 y x2 − 2y = 0 se cortan en dos puntos A y B. Hallalos y el areade la region acotada limitada por los dos arcos de parabola que unen A y B.

T9.18 Halla el area del recinto limitado por las parabolas y2 − 4x = 0 y x2 − 4y = 0.

T9.19 Halla el area del recinto limitado por la curva de ecuacion y = 2√

x y la recta y = x.

T9.20 Calcula el area del recinto limitado por la parabola de ecuacion y = 2(1− x2) y la recta deecuacion y = −1.

T9.21 Calcula el area del recinto limitado por la bisectriz del I y IV cuadrante y la grafica de lafuncion y = 27x4.

T9.22 Calcula el area del recinto limitado por el eje OX y la grafica de la funcion y = x√

1 − x.

T9.23 Halla el area comprendida entre la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

T9.24 Se considera la grafica cartesiana de la funcion dada por la expresion y = 3x2 − x3

2:

(1) Representa graficamente la funcion.

(2) Halla el area de la figura que queda encerrada entre la curva y el eje y = 0.

T9.25 Calcula el area del triangulo formado por los ejes coordenados y la tangente en un puntocualquiera de la hiperbola de ecuacion xy = 1.

T9.26 El area comprendida entre las curvas y = xn e y = n√

x es3

5. Calcula n.


T9.27 Calcula el area de la region del plano limitada por el eje OX y la grafica de y = xex entrelas rectas x = 0 y x = 1.

T9.28 Calcula el area encerrada entre la curva y = ex y la cuerda de la misma que tiene porextremos los puntos de abscisas 0 y 1.

T9.29 Halla el area del recinto limitado por las graficas de las funciones y = ln x e y = 1 y los ejesde coordenadas.

T9.30 Halla el area del recinto limitado por las graficas de las funciones y = log10x, y = 1 y losejes de coordenadas.

T9.31 Halla el area de la zona del plano limitada por las tres rectas y = 0, x = 1, x = e y lagrafica de y = ln2 x.

T9.32 Calcula el area limitada por la curva y = tgx, el eje OX y la recta x =π

4.

T9.33 Halla el volumen de la region determinada por la curva de ecuacion y = e−x, el eje OX, eleje OY y la recta x = 3 al girar alrededor del eje OX.

T9.34 Calcula el volumen encerrado por la superficie al girar la elipse

x2

4+ y2 = 1

una vuelta completa alrededor del eje OX.

T9.35 Calcula el volumen limitado por el elipsoide de revolucion generado por la elipse 2x2+y2 = 1al girar alrededor del eje OX.

Tema 10 Espacios Vectoriales

10.1 Definicion de espacio vectorial

Consideremos un conjunto V, no vacıo, en el que definimos las siguientes operaciones:

Suma: ~u + ~v con u, v ∈ VProducto por escalares: k · ~u con k ∈ IR, ~u ∈ V

El conjunto V , con las operaciones suma y producto por escalares es un espacio vectorialsi se verifican las siguientes propiedades:

(1) Asociativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) con u, v, w ∈ V

(2) Conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u con u, v ∈ V

(3) Elemento Neutro: ∃ ~O / ∀~u ∈ V se verifica ~u + ~O = ~u

(4) Elemento Opuesto: ∀~u ∈ V ∃ − ~u ∈ V / ~u + (−~u) = ~O

La suma de vectores es una operacion interna en V , y por verificar estas cuatro propie-dades, el par (V,+) se dice que tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo.

(5) k · (~u + ~v) = k · ~u + k · ~v con k ∈ IR, u, v ∈ V

(6) (k + h) · ~u = k · ~u + h · ~u con k, h ∈ IR, u ∈ V

(7) k · (h~u) = (k · h)~u con k, h ∈ IR, u ∈ V

(8) 1 · ~u = ~u ∀u ∈ V donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numeros reales IR

El espacio vectorial V definido sobre IR se designa por (V,+, ·, IR). A los elementos deV se les llama vectores y a los elementos de IR se les llama escalares (de escala).

Observaciones:

(1) La diferencia de dos vectores ~u y ~v se representa por ~u − ~v y se define como la sumade ~u con el opuesto de ~v, es decir, ~u + (−~v).

(2) La operacion ‘producto por escalares’ se llama tambien operacion externa.

(3) El producto k · ~u tambien lo designaremos por k~u.

10.2 Otras propiedades de las operaciones

Propiedades de los elementos neutros (ceros) 0 de IR y ~O de V

(1) 0 · ~u = ~O, ∀~u ∈ V

(2) k · ~O = ~O, ∀k ∈ IR

68

10.3. SUBESPACIOS VECTORIALES 69

(3) k · ~u = ~O ⇐⇒ k = 0 o ~u = ~O

Propiedades de los signos

(4) ~u − (+~v) = ~u − ~v con u, v ∈ V

(5) ~u − (−~v) = ~u + ~v con u, v ∈ V

(6) k(−~u) = −k~u con k ∈ IR, u ∈ V

(7) (−k)~u = −k~u con k ∈ IR, u ∈ V

(8) (−k)(−~u) = k~u con k ∈ IR, u ∈ V

Otras propiedades significativas

(9) ~u + ~v = ~u + ~w =⇒ ~v = ~w con u, v, w ∈ V

(10) k~u = k~v =⇒ ~u = ~v, si k 6= 0 con u, v ∈ V

(11) k~u = h~u =⇒ k = h, si ~u 6= ~O con k, h ∈ IR

10.3 Subespacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial real, se dice que W es un subespacio vectorial de V si severifican las siguientes propiedades:

(1) W es un subconjunto no vacıo de V .

(2) La suma de dos vectores cualesquiera de W es otro vector de W

∀~w, ~w′ ∈ W =⇒ ~w + ~w′ ∈ W

(3) El producto de un escalar cualquiera por un vector de W es otro vector de W

∀k ∈ IR, ∀~w ∈ W =⇒ k ~w ∈ W

A partir de la definicion de subespacio vectorial, se deduce inmediatamente que todoespacio vectorial V admite, al menos, dos subespacios vectoriales: el propio V y el subespacioformado unicamente por el vector nulo. A estos subespacios se les llama triviales o impropios.A todos los demas, si existen, se les llama subespacios propios.

Ejemplo: Sea V el espacio vectorial de las funciones reales definidas en un intervalo I.Demostrar que el subconjunto W formado por las funciones continuas definidas en I, es unsuespacio vectorial de V .

(1) W es un subconjunto de V no vacıo, ya que al menos contiene la funcion nula (f(x) =0, ∀x ∈ I)

(2) La suma de funciones continuas en I es una funcion continua en I.

(3) El producto de un escalar cualquiera por una funcion continua en I es una funcioncontinua en I.

70 TEMA 10. ESPACIOS VECTORIALES

10.4 Combinacion lineal de vectores. Subespacio en-

gendrado

10.4.1 Combinacion lineal de vectores

Un vector ~u de V es combinacion lineal de los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~un de V si puedeexpresarse como

~u = a1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un

siendo a1, a2, . . . , an numeros reales

Como consecuencia de la definicion se tiene:

(1) Todo vector ~u de V es combinacion lineal de sı mismo (~u = 1~u)

(2) El vector ~O es combinacion lineal de cualquier conjunto de vectores

( ~O = 0~u1 + 0~u2 + . . . + 0~un)

Ejemplos:

(1) Demostrar que el vector ~u = (5, 7) es combinacion lineal de los vectores ~v = (1, 1) y~w = (2, 3)

(5, 7) = a1(1, 1) + a2(2, 3). Por la igualdad de vectores en IR2 se tiene que

{5 = a1 · 1 + a2 · 27 = a1 · 1 + a2 · 3

Resolviendo el sistema, a1 = 1 y a2 = 2 con lo que ~u = ~v + 2~w.

(2) Expresar (3, 4, 5) como combinacion lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

La respuesta es 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)

10.4.2 Subespacio engendrado

Sea S = {~u1, ~u2, . . . , ~un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial real V . Sellama subespacio engendrado por S, y se designa por L(S), al subespacio vectorial de Vformado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S; esdecir:

L(S) = {a1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un / ai ∈ IR, i = 1, 2, . . . n}

(L(S) tambien se denota por < ~u1, ~u2, . . . , ~un >)

Los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~un se dice que forman un sistema generador del espacio L(S).

Si el sistema generador de un espacio es finito, lo llamaremos espacio finitamente en-gendrado.

10.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES71

10.5 Dependencia e independencia lineal de vectores.

Rango de un conjunto de vectores

10.5.1 Dependencia e independencia lineal de vectores

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos se puedeexpresar como combinacion lineal de los restantes.

En caso contrario se dice que son linealmente independientes.Es decir, los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~un son linealmente dependientes si existe una combina-

cion lineal de la formaa1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un

con algun ai 6= 0 que sea igual al vector ~O.Los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~un son linealmente independientes si cualquiera que sea la com-

binacion lineal de la formaa1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un

que sea igual al vector ~O, todos los ai son nulos

Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores

{(1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 0, 1)}Buscamos una combinacion lineal de estos vectores que nos de el vector nulo ~O = (0, 0, 0)

a1(1, 2, 3) + a2(2, 1, 3) + a3(1, 0, 1) = (0, 0, 0)

Por la igualdad de vectores en IR3 se tiene que

a1 · 1 + a2 · 2 + a3 · 1 = 0a1 · 2 + a2 · 1 + a3 · 0 = 0a1 · 3 + a2 · 3 + a3 · 1 = 0

Resolviendo el sistema, a1 = t, a2 = −2t y a3 = 3t, con lo que, para t = 1 por ejemplo,tengo una combinacion lineal de la forma

(1, 2, 3) + (−2)(2, 1, 3) + 3(1, 0, 1) = (0, 0, 0)

con lo que puedo expresar (1, 2, 3) = 2(2, 1, 3) + (−3)(1, 0, 1)

es decir, el conjunto de vectores en cuestion es linealmente dependiente.

Consecuencias de la Definicion:

(1) Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo ~O es linealmente dependiente

~O = 0~u1 + 0~u2 + . . . + 0~un

(2) Un vector es linealmente independiente si y solo si es no nulo

(3) En todo espacio vectorial V , si tenemos un sistema generador de V formado por pvectores y un conjunto de vectores linealmente independiente formado por n vectores,se verifica que n ≤ p.

Como consecuencia de este ultimo apartado, se tiene que en IR2, el numero maximo devectores linealmente independientes es 2, en IR3 es 3 y en IRn es n.

72 TEMA 10. ESPACIOS VECTORIALES

10.5.2 Rango de un conjunto de vectores

El rango de un conjunto de vectores es el numero maximo de vectores linealmenteindependientes que contiene.

10.6 Base de un espacio vectorial. Dimension

10.6.1 Base de un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V . Se dice que B es unabase de V si se verifican las siguientes condiciones:

- B es un sistema generador de V

- B es linealmente independiente.

Veamos dos resultados importantes:

(1) Todo espacio vectorial real V , finitamente engendrado, posee al menos una base.

(2) Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo numero de elementos(Teorema de la Base).

10.6.2 Dimension de un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial finitamente engendrado. Se llama dimension del espacio Val numero de elementos que tiene cualquiera de sus bases.

A la dimension del espacio V la designamos por dim(V ).La base canonica del e.v. IR2 es B = {(1, 0), (0, 1)}La base canonica del e.v. IR3 es B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

......

...La base canonica del e.v. IRn es B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}

10.7 Coordenadas de un vector

Se V un espacio vectorial de dimension n y B = {~u1, ~u2, . . . , ~un} una base de V . Sellaman coordenadas de un vector ~v de V respecto de la base B, al conjunto de numeros realesa1, a2, . . . , an que permiten expresar el vector ~v como combinacion lineal de los vectores dela base, es decir:

~v = a1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un

Proposicion 10.7.1 Las coordenadas de un vector cualquiera respecto de una base sonunicas.

Demostracion Supongamos que ~v tiene dos expresiones distintas respecto de la mismabase B, es decir:

~v = a1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un

~v = b1~u1 + b2~u2 + . . . + bn~un

10.8. APLICACIONES LINEALES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 73

Igualando las dos expresiones, resulta

a1~u1 + a2~u2 + . . . + an~un = b1~u1 + b2~u2 + . . . + bn~un

de donde(a1 − b1)~u1 + (a2 − b2)~u2 + . . . + (an − bn)~un = ~O

Como los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~un son linealmente independientes por ser base, se tieneque

a1 − b1 = 0a2 − b2 = 0

...an − bn = 0

=⇒

a1 = b1

a2 = b2

...an = bn

Por tanto, las coordenadas de ~v respecto de la base B son unicas.

10.8 Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Sean V y V ′ dos e.v. reales y f una aplicacion de V en V ′. Se dice que la aplicacion fes lineal si:

f(~u + ~v) = f(~u) + f(~v) ∀~u,~v ∈ V

f(k~u) = kf(~u) ∀~u ∈ V ∀k ∈ IR

A las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales tambien se les llama homomorfismos.

Proposicion 10.8.1 Sean V y V ′ dos e.v. reales y f una aplicacion lineal de V en V ′.Entonces se tiene

(1) La imagen del vector nulo de V es el vector nulo de V ′

f( ~O) = ~O

(2) La imagen del vector opuesto es el opuesto del vector imagen

f(−~u) = −f(~u)

(3) La imagen del vector diferencia es la diferencia de los vectores imagen

f(~u − ~v) = f(~u) − f(~v)

Ejemplo: Sea f una aplicacion de IR3 en IR2 definida por

f(x, y, z) = (x + y, z)

Estudiar si f es una aplicacion lineal

(1) f [(x, y, z) + (x′, y′, z′)] = f(x + x′, y + y′, z + z′) = (x + x′ + y + y′, z + z′)

f(x, y, z) + f(x′, y′, z′) = (x + y, z) + (x′ + y′, z′) = (x + x′ + y + y′, z + z′)

(2) f [k(x, y, z)] = f(kx, ky, kz) = (kx + ky, kz)

kf(x, y, z) = k(x + y, z) = (kx + ky, kz)

Luego, efectivamente, la aplicacion es lineal.

Tema 11 Matrices y determinantes

11.1 Concepto de matriz o tabla

Una matriz de orden m × n tiene la forma

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

donde m indica el numero de filas y n el numero de columnas. El sımbolo (aij) designa lamatriz completa, mientras que aij representa el elemento que se encuentra en la fila i-esimay en la columna j-esima.

El numero de filas “por” el numero de columnas recibe el nombre de dimension de lamatriz.

Si m coincide con n se dice que la matriz es cuadrada de orden n.Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimension y los elementos que ocupan

el mismo lugar en ambas son iguales.

11.2 Algunos tipos de matrices

11.2.1 Segun su forma

Matriz fila: es aquella que tiene una sola fila.

A = (3 2 5 1)

Matriz columna: es aquella que tiene una sola columna.

213

Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual numero de filas que de columnas; en casocontrario se llama rectangular.

2 0 13 −2 65 2 7

(7 6 5

−3 4 3

)

cuadrada rectangular

El conjunto formado por los elementos de la forma aii de una matriz cuadrada sellama diagonal principal

74

11.2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 75

Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa porAt, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.

A =

(2 0 13 −2 6

)At =

2 30 −21 6

De la definicion se deduce que que si A es de dimension m×n, entonces la matrizAt es de dimension n × m.

Matriz simetrica: se llama ası a toda matriz cuadrada tal que aij = aji

A =

2 0 10 2 61 6 −3

Matriz antisimetrica o hemisimetrica: se llama ası a toda matriz cuadrada tal queaij = −aji. Como consecuencia inmediata de ello se tiene que la diagonal principal deuna matriz antisimetrica esta formada por ceros.

A =

0 2 −1−2 0 6

1 −6 0

11.2.2 Segun sus elementos

Matriz nula: es aquella en la que todos sus elementos son ceros.

Matriz diagonal: se llama ası a toda matriz cuadrada en la que todos los elementos queno pertenecen a la diagonal principal son ceros. Es decir, aij = 0 si i 6= j

A =

1 0 00 3 00 0 4

Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principaliguales.

A =

2 0 00 2 00 0 2

Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar con todos los elementos de la diagonalprincipal iguales a uno.

A =

1 0 00 1 00 0 1

76 TEMA 11. MATRICES Y DETERMINANTES

Matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los terminos por encima (opor debajo) de la diagonal principal son ceros.

A =

2 −4 10 −2 60 0 7

B =

7 0 0−3 4 0

3 −5 3

tr. superior tr. inferior

11.3 El espacio vectorial de las matrices

11.3.1 Suma de matrices

La suma de dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimension, es otra matrizS = (sij) de igual dimension y cuyo termino generico es:

sij = aij + bij

La suma de las matrices A y B se designa por A + B.

La suma de matrices cumple las siguientes propiedades:

1. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

2. Conmutativa: A + B = B + A

3. Elemento neutro: la matriz nula A + O = A

4. Elemento opuesto: el elemento opuesto de una matriz dada A, es la matriz −A, quese obtiene cambiando de signo a todos los elementos de A. A + (−A) = O

A partir de ahora, representaremos por Mm×n(IR) al conjunto de todas las matrices dem filas y n columnas en las que sus elementos son numeros reales.

Por verificar las propiedades anteriores, Mm×n(IR) con la suma es un grupo abeliano,y se denota por

(Mm×n(IR),+)

La diferencia de las matrices A y B se representa por A − B y se define como

A − B = A + (−B)

La suma y la diferencia de dos matrices no esta definida si sus dimensiones son diferentes.

Ejemplo:

A =

(1 3 52 4 −1

)B =

(0 2 34 1 5

)

A + B =

(1 5 86 5 4

)A − B =

(1 1 2

−2 3 −6

)

11.4. PRODUCTO DE MATRICES. MATRICES INVERTIBLES 77

11.3.2 Producto de un escalar por una matriz

El producto de un escalar k por una matriz A = (aij) es otra matriz B = (bij) de lamisma dimension que A tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k.Es decir,

bij = k · aij

El producto de un numero real por una matriz verifica las siguientes propiedades:

- k · (A + B) = kA + kB

- (k + h) · A = kA + hA

- k · (hA) = (k · h)A

- 1 · A = A

donde A y B son matrices cualesquiera de la misma dimension, k y h son numeros realesy 1 es el elemento unidad de los numeros reales.

Con todo esto, se dice que Mm×n(IR) con la suma, y con el producto por escalar, esun espacio vectorial real, llamado espacio vectorial de las matrices reales de dimensionm × n, y se denota por

(Mm×n(IR),+, ·)

11.4 Producto de matrices. Matrices invertibles

11.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna

Se define el producto de una matriz fila por una matriz columna o producto escalardel siguiente modo:

(x, y, z)

x′

y′

z′

= xx′ + yy′ + zz′

11.4.2 Producto de dos matrices

El producto de una matriz A = (aij) de dimension m × n por la matriz B = (bij) dedimension n × p, es otra matriz P = (pij) de dimension m × p tal que cada elemento pij

se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de lasegunda.

El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:

1. Asociativa: A(BC) = (AB)C

2. No conmutativa: el producto de matrices, en general, no es conmutativo, es decir,AB 6= BA

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n, se tiene

A · In = In · A = A

si In es la matriz unidad de orden n.


4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz B tambien de orden ntal que

A · B = B · A = In

entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota por A−1, es decir,dos matrices cuadradas de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad deorden n.

Uan matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular o invertible; casocontrario se dice que es singular.

5. El producto de matrices es distributivo respecto a la suma de matrices, es decir,

A(B + C) = AB + AC

Ejemplo:

0 1 32 −1 51 0 4

3×3

·

1 2−1 0

2 3

3×2

=

5 913 199 14

3×2

11.5 Rango de una matriz. Calculo por el metodo de

Gauß

El rango o caracterıstica de una matriz M es el numero de filas o de columnaslinealmente independientes. Sean

F1 ≡ fila 1a C1 ≡ columna 1a

F2 ≡ fila 2a C2 ≡ columna 2a

......

......

Fm ≡ fila m Cm ≡ columna m

Se consideran las filas (o las columnas) como vectores. Entonces:

rg(M) = rg(F1, F2, . . . , Fm) = rg(C1, C2, . . . , Cm)

Ejemplo:

El rango de la matriz

1 2 34 5 67 8 9

es 2, ya que las dos primeras filas son linealmente independientes, y la tercera es igual aldoble de la segunda menos la primera. Observese que se cumple la misma relacion con lascolumnas.

11.5. RANGO DE UNA MATRIZ. CALCULO POR EL METODO DE GAUß 79

11.5.1 Calculo del rango por el metodo de Gauß

El rango de una matriz no varıa si se realizan las transformaciones elementales siguientes:

(1) si se permutan dos filas o dos columnas,

(2) si se multiplica o divide una fila o columna por un numero real no nulo,

(3) si a una fila o a una columna se le suma o resta otra paralela.

El rango de una matriz no varıa si se suprimen:

(4) las filas o columnas nulas,

(5) las filas o columnas proporcionales a otras,

(6) las filas o columnas combinacion lineal de otras.

Las transformaciones anteriores nos permiten calcular el rango de una matriz por elmetodo de Gauß.

Ejemplo: Hallar, utilizando el metodo de Gauß, el rango de la matriz:

1 0 −1 2 32 −1 0 1 33 −1 −1 3 65 −2 −1 4 9

La fila 4a es igual a la suma de la 2a y 3a

rg

1 0 −1 2 32 −1 0 1 33 −1 −1 3 65 −2 −1 4 9

= rg

1 0 −1 2 32 −1 0 1 33 −1 −1 3 6

=

La fila 3a es igual a la suma de la 1a y 2a

= rg

(1 0 −1 2 32 −1 0 1 3

)= 2 porque las filas no son proporcionales

Ejemplo: Utilizar el metodo de reduccion para calcular el rango de:

1 0 −32 3 −64 6 −11

rg

1 0 −32 3 −64 6 −11

= rg

1 0 −30 3 00 6 1

= rg

1 0 −30 3 00 0 1

= 3

↑2a → 2a − 2 × 1a

3a → 3a − 4 × 1a

↑3a → 3a − 2 × 2a


11.6 Determinantes

11.6.1 Determinantes de segundo orden

Dada la matriz cuadrada de 2◦ orden

A =

(a11 a12

a21 a22

)

se llama determinante de A al numero real

det(A) = |A| =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Es decir, el determinate de una matriz cuadrada de 2◦ orden es igual al producto delos elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonalsecundaria.

Ejemplo: ∣∣∣∣3 52 −1

∣∣∣∣ = 3 · (−1) − 5 · 2 = −13

11.6.2 Determinantes de tercer orden

Dada la matriz cuadrada de 3er orden

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

se llama determinante de A al numero real

det(A) = |A| =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31

−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

Esta es una formula facil de recordar mediante la llamada regla de Sarrus:

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Productos positivos − Productos negativos

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

- Los productos con signo + estan formados por los elementos de la diagonal principal ylos de las dos diagonales paralelas con su correspondiente vertice opuesto.

- Analogamente, se forman los productos con signo − pero tomando como referencia ladiagonal secundaria.

Aplicando la regla de Sarrus se tiene que:

- el determinante de la matriz nula es 0.

- el determinante de la matriz unidad I3 es 1.

11.7. DETERMINANTES DE ORDEN N 81

- el determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementosde la diagonal principal.

Ejemplo: ∣∣∣∣∣∣

3 2 15 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣= −36 + 0 − 5 − 8 − 0 + 30 = −19

11.7 Determinantes de orden n

Si pretendemos generalizar las definiciones dadas de determinantes de 2◦ y 3er orden aun determinante cualquiera de orden n, debemos analizar los dos principios basicos que hanguiado la definicion de estos casos particulares que son:

- cada termino del desarrollo del determinante es el producto obtenido al tomar un unicoelemento de cada fila y de cada columna.

- El signo de cada termino depende de la eleccion del orden de las columnas, ya que las filasse pueden tomar ordenadamente.

Dada la matriz cuadrada de orden n

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

se llama determinante de A al numero real obtenido al sumar todos los productos posiblesde n factores, elegidos entre los n×n elementos de la matriz dada, de modo que, en cada unode ellos aparezca un elemento, y solo uno, de cada fila y de cada columna. Se antepondra acada sumando (formado por el producto de n elementos) el signo + o −, segun la permutacionde columnas tenga un numero par o impar de trasposiciones.

Ejemplo: en el determinante de orden 3, veamos que signo tendrıan los sumandos:

• a11a22a33. Las columnas (los segundos subındices) estan colocadas en el orden (123),es decir, cada numero esta en su sitio, no hay trasposiciones, hay un numero par detrasposiciones (0) con lo que le asignamos el signo +.

• a12a21a33. Las columnas tienen el orden (213). El 2 se antepone al 1, con lo que hay unatrasposicion: signo −.

• a12a23a31. Las columnas son (231). El 2 esta antes que el 1 y el 3 tambien. 2 trasposicio-nes, signo +.

11.8 Propiedades de los determinantes

(1) Si los elementos de una fila o una columna se descomponen en dos sumandos, el deter-minante es igual a la suma de los determinantes que tienen en esa fila o columna los


primeros y segundos sumandos respectivamente, y en las demas los mismos elementosque en el inicial.

det(F1 + F ′1, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F ′

1, F2, F3)

Ejemplo:

∣∣∣∣∣∣

1 + 2 2 + 4 3 + 65 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 2 35 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

2 4 65 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣

(2) Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo numero, eldeterminante queda multiplicado por ese numero.

det(kF1, F2, F3) = k det(F1, F2, F3)

Ejemplo: ∣∣∣∣∣∣

2 4 65 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣∣∣

1 2 35 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣

(3) Si A y B son matrices cuadradas, entonces

det(A · B) = det(A) · det(B)

(4) Si se permutan dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinantecambia de signo con respecto al inicial.

Ejemplo:

∣∣∣∣∣∣

1 2 33 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣= 10 + 9 − 12 − 5 = 2 ;

∣∣∣∣∣∣

3 4 51 2 31 1 0

∣∣∣∣∣∣= 12 + 5 − 10 − 9 = −2

(5) Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, sudeterminante vale cero.

det(F1, F2, 0) = 0

(6) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante valecero.

det(F1, F1, F3) = 0

(7) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinantevale cero.

det(F1, kF1, F3) = 0

(8) Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) combinacion lineal de las restantes filas(columnas), su determinante vale cero.

det(F1, aF1 + bF3, F3) = 0

11.9. CALCULO DE UN DETERMINANTE POR EL METODO DE GAUß 83

Las propiedades (5), (6), (7) y (8) se pueden enunciar diciendo:

“si el rango de una matriz cuadrada de orden n es menor que n, su determinante es cero”.

Reciprocamente:

“si el determinante de una matriz cuadrada de orden n es cero, su rango es menor que n.

(9) Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una paralela, su determinanteno varıa.

det(F1 + F2, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F2, F2, F3)︸︷︷︸‖0

= det(F1, F2, F3)

(10) Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una paralela, multiplicadapor un numero, su determinante no varıa.

det(F1 + kF2, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(kF2, F2, F3) == det(F1, F2, F3) + k det(F2, F2, F3)︸︷︷︸

‖0

= det(F1, F2, F3)

11.9 Calculo de un determinante por el Metodo de

Gauß

Utilizando conjuntamente las propiedades (4), (9) y (10) del apartado anterior, dado undeterminante se puede hallar otro que valga lo mismo pero con ceros en las filas o columnasconvenientemente colocados. El calculo del determinante se realiza entonces aplicando ladefinicion.

Reduccion total:

Repitiendo este proceso se puede obtener un determinante de valor igual al inicial conla propiedad de que todos elementos bajo la diagonal principal son nulos. Este metodo esel mismo que se utilizo para hallar el rango de un conjunto de vectores o el de una matriz.

El esquema final es:

∣∣∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗ ∗0 b ∗ ∗0 0 c ∗0 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣= a · b · c · d

El determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Reduccion parcial:

El proceso de reduccion puede darse por terminado cuando el siguiente determinante areducir sea de 2◦ o 3er orden, ya que estos se pueden calcular directamente. Los esquemasfinales son:

a * * * a * * *0 b * * 0 b m n0 0 c m 0 p c q0 0 n d 0 r s d


El determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal del determi-nante reducido por el determinante de 2◦ o 3er orden, sin reducir.

Ejemplo:

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 20 3 1 10 −3 −2 16 3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 20 3 1 10 −3 −2 10 3 1 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 20 3 1 10 0 −1 20 0 0 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣= 42

↑F4 → F4 − 3F1

↑F3 → F3 + F2

F4 → F4 − F2

11.10 Calculo de un determinante por los elementos

de una fila o columna

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la filai y la columna j de la matriz A, se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre dematriz complementaria del elemento aij .

Ejemplo:

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

M11 =

a22 a23 a24

a32 a33 a34

a42 a43 a44

es la matriz complementaria de a11

Se llama adjunto de aij , y se designa por Aij , al determinante de la matriz complemen-taria Mij precedido del signo + o − segun la suma i + j de los subındices sea par o imparrespectivamente.

Si A es una matriz cuadrada de 4◦ orden, el desarrollo del determinante de A puedeexpresarse:

det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14

Este procedimiento es valido para cualquier fila o columna, por tanto:“El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila ocolumna cualquiera multiplicados por sus adjuntos correspondientes”.

Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular a una unidad menos.Para evitar el calculo de muchos determinantes, conviene que haya el mayor numero posiblede ceros en la fila o columna elegidas, y si no es ası, obtenerlos por el metodo de reduccion.

Ejemplo: calcular el siguiente determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 2−1 1 2 −1

1 3 2 22 −1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 0−1 1 3 1

1 3 1 02 −1 −2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 ·

∣∣∣∣∣∣

1 3 13 1 0

−1 −2 −3

∣∣∣∣∣∣↑

C3 → C3 − C1

C4 → C4 − 2C1

= −3 − 6 + 1 + 27 = 19

11.11. CALCULO DEL RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES Y DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES85

11.11 Calculo del rango de un conjunto de vectores y

de una matriz por determinantes

Recordemos que:- El rango de un conjunto de vectores es el numero de vectores linealmente independientes

que contiene el conjunto.- El rango de una matriz es el numero de filas o columnas linealmente independientes.

El calculo del rango de un conjunto de vectores y de matrices por determinantes se basaen dos resultados recıprocos:

- Si dos vectores fila o columna de una matriz cuadrada son linealmente dependientes,su determinante es cero.

- Si el determinante de una matriz cuadrada es cero, al menos dos vectores fila y dosvectores columna son linealmente dependientes.

Para calcular el rango de una matriz, normalmente se usa el metodo de “orlar” la matriz.Se toma un elemento distinto de cero, seguidamente se consideran todos los determinantesde orden 2 que “orlan” (rodean) al elemento no nulo considerado. Si todos los determinantesde orden 2 son iguales a cero, el rango de la matriz es 1; si hay algun determinante de orden 2distinto de cero, el rango de la matriz es por lo menos 2; se toma uno de los determinantes deorden 2 y se sigue orlando a este con los determinantes de orden 3. Si todos los determinantesde orden 3 son iguales a cero, el rango de la matriz es 2; si hay algun determinante de orden3 distinto de cero, el rango de la matriz es por lo menos 3; se toma uno de ellos como basey se sigue orlando con los determinantes de orden 4, y ası sucesivamente.

Ejemplo: Calcular mediante determinantes el rango de la matriz:

A =

−1 2 3 4 51 2 1 3 30 4 4 7 7

∣∣∣∣∣∣

−1 2 31 2 10 4 4

∣∣∣∣∣∣= −8 + 12 + 4 − 8 = 0

∣∣∣∣∣∣

−1 2 41 2 30 4 7

∣∣∣∣∣∣= −14 + 16 + 12 − 14 = 0

∣∣∣∣∣∣

−1 2 51 2 30 4 7

∣∣∣∣∣∣= −14 + 20 + 12 − 14 = 4

Hay un determinante de orden 3 distinto de cero, el rango de A es 3.

11.12 Calculo de la matriz inversa por determinantes

Veremos en esta seccion un metodo para hallar la matriz inversa que se basa en losdeterminantes. Este metodo es bueno para matrices cuadradas de orden 2 o 3, ya que paraordenes superiores los calculos son demasiado plumbeos.


- Matriz adjunta:Dada una matriz cuadrada A se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A)

a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto correspondiente Aij .El adjunto Aij es el determinante de la matriz complementaria Mij precedido del signo

+ o − segun que la suma i + j sea par o impar respectivamente.Ejemplo:

A =

2 −2 22 1 03 −2 2

M11 =

(1 0

−2 2

)A11 = +

∣∣∣∣1 0

−2 2

∣∣∣∣ = 2

M21 =

(−2 2−2 2

)A21 = −

∣∣∣∣−2 2−2 2

∣∣∣∣ = 0

......

......

M33 =

(2 −22 1

)A33 = +

∣∣∣∣2 −22 1

∣∣∣∣ = 6

es decir

Adj(A) =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

=

2 −4 −70 −2 −2

−2 4 6

Las filas de la matriz A y de su adjunta Adj(A) verifican las dos siguientes propiedades:- La suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es igual al valor

del determinante.- La suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila

diferente es igual a cero.Si trasponemos los elementos de Adj(A), las filas se transforman en columnas, y las

propiedades anteriores se pueden escribir mediante el producto

A · (Adj(A))t =

2 −2 22 1 03 −2 2

·

2 0 −2−4 −2 4−7 −2 6

=

−2 0 00 −2 00 0 −2

- Matriz adjunta:El producto de una matriz por la traspuesta de su adjunta proporciona una matriz

escalar, en la que el valor constante es det(A). Para que aparezca la matriz unidad, bastadividir los dos miembros por det(A). Esto solo sera posible si det(A) 6= 0. Por tanto sidet(A) 6= 0, se tiene que:

1

det(A)· A · (Adj(A))t = I

y por definicion de matriz inversa:

A−1 =1

det(A)· (Adj(A))t

11.12. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES 87

Ejemplos:

(1) En el ejemplo anterior

A−1 =1

det(A)· (Adj(A))t = −1

2

2 0 −2−4 −2 4−7 −2 6

=

−1 0 12 1 −272 1 −3

(2) Hallar la matriz inversa de

A =

1 −1 12 1 20 0 1

det(A) = 3

Adj(A) =

1 −2 01 1 0

−3 0 3

(Adj(A))t =

1 1 −3−2 1 0

0 0 3

A−1 =1

det(A)· (Adj(A))t =

13

13 −1

− 23

13 0

0 0 1



T11.1 Pon ejemplos sencillos de la no conmutatividad de la multiplicacion de matrices cuadradas.Idem de la de matrices rectangulares.

T11.2 Dada una matriz A, ¿existe una matriz B tal que el producto AB, o bien el BA, sea unamatriz de una sola fila? Aplica la conclusion obtenida a la siguiente matriz:

A =

(3 1 4 −12 0 1 31 2 −1 5

)

T11.3 Sea A = (2 1 5) y B =

(324

). Halla los productos AB y BA.

T11.4 Comprueba que el producto de matrices diagonales es otra matriz diagonal. Hazlo paramatrices de orden 3.

T11.5 Dadas las matrices A =

(2 31 1

)e I2 =

(1 00 1

), calcula A2 − 3A − I.

T11.6 Demuestra que la matriz A =

(1 11 1

)satisface la relacion de recurrencia An = 2n−1A.

T11.7 Calcula los siguientes determinantes de orden 3:

(a)

∣∣∣∣∣1 2 31 1 −12 0 5

∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣3 −2 13 1 53 4 5

∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣1 3 −15 4 62 2 3

∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣1 3 −π0 cos α sen α0 − sen α cos α

∣∣∣∣∣

T11.8 Halla las matrices inversas de:

(a)

(2 31 1

)(b)

(−2 3−1 1

)(c)

(2 00 2

)(d)

(3 −5

−6 10

)(d)

(cos α sen α

− sen α cos α

)

T11.9 Halla las matrices inversas de:

(a)

(0 3 5

−1 3 40 1 −2

)(b)

(1 2 34 5 67 8 9

)(c)

(1 1 −1

−1 0 10 0 −1

)(d)

(3 −3 7

−2 8 95 4 −2

)

T11.10 Calcula los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 42 1 2 10 0 1 13 4 1 2

∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣

−1 4 0 25 −1 3 41 −2 0 7

−3 8 9 1

∣∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 2−4 5 6 −8

3 −2 9 11 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 10 −1 0 01 0 0 00 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣

T11.11 Dadas las matrices

A =

(1 0 11 1 0

)y B =

(1 12 11 0

),

(1) Calcula C = AB y D = BA.

(2) Calcula el determinante de cada una de las matrices C y D obtenidas en el apartado anterior.

(3) Calcula las inversas de todas las matrices que puedas.


T11.12 Dada la matriz

A =

(x 1 0

−1 x 21 0 1

),

(1) Determina para que valores de x no existe la matriz inversa de A.

(2) Calcula la inversa de A cuando x vale 1.

T11.13 Averigua para que valores del parametro t, la matriz A no tiene inversa. Calcula la matrizinversa de A para t = 2, si es posible:

A =

(1 0 −10 t 34 1 −t

)


A =

(1 0 01 m 01 1 1

), B =

(0 1 11 0 00 0 0

)y C =

(1 0 00 1 01 0 1

)

(a) ¿Para que valores de m tiene solucion la ecuacion matricial A · X + 2B = 3C?

(b) Resuelve la ecuacion matricial dada para m = 1.

T11.15 Resuelve la ecuacion matricial A · X = B + A, con:

A =

(1 0 22 −1 41 1 0

)B =

(1 3 10 1 02 1 0

)

T11.16 Halla una matriz X tal que A · X + B = C, si

A =

(0 2 71 0 2

−3 2 0

)B =

(1 0 00 1 00 0 1

)C =

(3 0 02 5 20 1 3

)


A =

( −2 −2 1−2 1 −2

1 −2 −2

)y X =

(xyz

)

(a) Calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa.

(b) Resuelve el sistema A · X = 3X.

T11.18 Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale −2. ¿Cuanto valeel determinante de la matriz 4A?

T11.19 Dada la matriz B =

(1 2 0λ 0 10 1 −2

), ¿para que valores de λ la matriz 3B + B2 no tiene

inversa?

T11.20 Dadas las matrices A =

( −1 1 03 −2 01 5 −1

)y B =

( −5 0 31 −1 1

−2 4 −3

)

Halla la matriz X que cumple A · X = (B · At)t.


T11.21 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matrizcuadrada A de orden tres cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

(a) |A3|, |A−1| y |2A|(b) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,

respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.

T11.22 Sabiendo que |A| =

∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣ = 8, halla el valor de:

(a) |2A| (b)

∣∣∣∣∣3d + 3a 3f + 3c 3e + 3b

−d −f −eg i h

∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣f e dc b ai h g

∣∣∣∣∣T11.23 Halla el rango de la matriz A por el metodo que quieras y el determinante de la matriz Bpor el metodo de Gauß

A =

1 0 1 0 1−5 0 −3 0 1

2 2 2 2 −11 0 3 1 12 0 2 0 −1

B =

2 1 4 1−1 −2 1 2

1 0 3 03 4 6 5

T11.24 Una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At · A = I, donde I es la matrizidentidad y At es la traspuesta de A. Determina si la matriz siguiente es ortogonal

(1 1 01 −1 11 0 −1

)

T11.25 Halla los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa.

A =

0 1 1 a−9 15 −32 47

0 a 2 −10 3 1 1

T11.26 Calcula los determinantes de T11.7 y T11.10 por el metodo de triangulacion de Gauss.

T11.27 Si |B| =

∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣ = 6, calcula

(a) |2B| (b) | − 5B| (c)

∣∣∣∣∣a d 3gb e 3hc f 3i

∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣g h ia b cd e f

∣∣∣∣∣ (e)

∣∣∣∣∣∣

2a 2b 2c−d −e −f1

2g 1

2h 1

2i

∣∣∣∣∣∣

Tema 12Sistemas de ecuaciones linea-les

12.1 Sistemas de ecuaciones lineales en general

Notacion ordinaria:Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas se puede escribir del siguiente

modo:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(1)

donde los aij son numeros reales llamados coeficientes del sistema; los bij tambien sonnumeros reales y reciben el nombre de terminos independientes; x1, x2, . . . , xn son lasincognitas del sistema. Si todos los terminos independientes son nulos, el sistema se llamahomogeneo.

Recordemos que los sistemas que tienen al menos una solucion se llaman compatibles.Si la solucion es unica, diremos que el sistema es compatible determinado. Si tiene masde una solucion (en este caso tendra infinitas) el sistema sera compatible indeterminado;por ultimo, si el sistema no tiene ninguna solucion se llama sistema incompatible.

Notacion matricial:Llamaremos matriz del sistema (1) a la matriz de orden m×n formada por los coeficientes

del mismo:

M =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

La matriz ampliada del sistema (1) es de orden m × (n + 1) y se obtiene a partir de lamatriz M anadiendole la columna formada por los terminos independientes:

M∗ =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 . . . amn bm

Si designamos por X a la matriz columna formada por las incognitas y por B a la matrizcolumna de los terminos independientes, el sistema en forma matricial se escribe:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

·

x1

x2

...xn

=

b1

b2

...bm

M · X = B

91

92 TEMA 12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

12.2 Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones; esdecir, toda solucion del primer sistema lo es del segundo, y recıprocamente. Si dos sistemasde ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo numero de incognitas, aunque noes necesario que tengan el mismo numero de ecuaciones.

Recordemos los criterios de equivalencia:Criterio 1: Producto o cociente por un numero distinto de cero.Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacion de un sistema por un

numero real distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.Criterio 2: Suma o diferencia de ecuaciones.Si a una ecuacion de un sistema se le suma o resta otra ecuacion del mismo, resulta un

sistema equivalente al dado.Criterio 3: Reduccion de ecuaciones.Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuacion es combinacion lineal de otras, puede

suprimirse y el sistema resultante es equivalente al dado.

12.3 Criterio de compatibilidad. Teorema de Rouche

Teorema de Rouche:Un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al

rango de la matriz ampliada.

(1) es compatible ⇐⇒ rg(M) = rg(M ∗)

Tambien se cumple lo siguiente:

• Si rg(M) = rg(M∗) = n◦ de incognitas ⇒ Sist. comp. det. (solucion unica)

• Si rg(M) = rg(M∗) < n◦ de incognitas ⇒ Sist. comp. indet. (infinitas soluciones)

• Si rg(M) 6= rg(M∗) ⇒ Sistema incompatible

Ejemplo:Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del

parametro a:

x + ay − z = 12x + y − az = 2x − y − z = a − 1

M =

1 a −12 1 −a1 −1 −1

M∗ =

1 a −1 12 1 −a 21 −1 −1 a − 1

det(M) = −1 − a2 + 2 + 1 − a + 2a = −a2 + a + 2 = −(a2 − a − 2)Este determinante vale cero cuando a = 2 y a = −1

a2 − a − 2 = 0, a =1 ±

√1 + 8

2=

1 ± 3

2=

↗ 2

↘ −1

12.3. CRITERIO DE COMPATIBILIDAD. TEOREMA DE ROUCHE 93

• Si a 6= 2 y a 6= −1: ⇒ rg(M) = 3 = rg(M ∗) ⇒ Sist. comp. det. (solucion unica)

• Si a = −1

M =

1 −1 −12 1 11 −1 −1

rg(M) = 2

M∗ =

1 −1 −1 12 1 1 21 −1 −1 −2

rg(M∗) = 3

Tenemos que rg(M) 6= rg(M∗) ⇒ Sistema incompatible.

• Si a = 2

M =

1 2 −12 1 −21 −1 −1

rg(M) = 2

M∗ =

1 2 −1 12 1 −2 21 −1 −1 1

rg(M∗) = 2

Tenemos que rg(M) = 2 = rg(M ∗) < n◦ de incognitas (3) ⇒ Sistema compatibleindeterminado (infinitas soluciones)

Para resolver un sistema con infinitas soluciones se procede del siguiente modo: sear el rango de la matriz del sistema (que coincide con el de la matriz ampliada porser este compatible); se eligen r ecuaciones linealmente independientes y se pasan alsegundo miembro las ultimas n − r incognitas, obteniendo de esta manera un sistemade r ecuaciones independientes con r incognitas.

Las n − r incognitas que se pasan al segundo miembro se suelen designar con lossımbolos t1, t2, . . . , tn−r, y en este caso se dice que las soluciones dependen de losparametros t1, t2, . . . , tn−r, que pueden tomar cualquier valor real.

En el ejemplo anterior r = 2 y n = 3

Consideramos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y lla-mamos t1 = z.

x + 2y − z = 12x + y − −2z = 2

}=⇒

{x + 2y = 1 + t1

2x + y = 2 + 2t1

−2x + 4y = −2 − 2z2x + y = 2 + 2z

5y = 0 =⇒ y = 0 x = 1 + t1

Solucion: (1 + t1, 0, t1)

94 TEMA 12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


T12.1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

(a)

{7x + 8y = 83x + 7y = 7

(b)

{6x − 5y = 113x + 4y = −1

Sol : x = 0; y = 1 Sol : x = 1; y = −1

(c)

{7x + 8y = 63x + 7y = 5

(d)

{6x − 5y = 33x + 4y = 7

Sol : x =2

25; y =

2

25Sol : x =

47

39; y =

11

13

(e)

{9x + 7y = 42x + 4y = 10

(f)

{−7x − 11y = 3

6x + 5y = 15

Sol : x = −27

11; y =

41

11Sol : x =

180

31; y = −123

31

(g)

{x − 2y − z = 0

2x − y − 4z = −23x − 3y − 5z = −2

(h)

{3x + 2y − z = −17x − y − 2z = −2

−5x − 8y + 3z = 3Sol : x = 1; y = 0; z = 1 Sol : x = 0; y = 0; z = 1

(i)

{3x − y + z = 3

− y + z = 1x − 2y − z = 2

(j)

{x + 3y − 2z = 4

2x + 2y + z = 33x + 2y + z = 5

Sol : x =2

3; y = −7

9; z =

2

9Sol : x = 2; y = 0; z = −1

(k)

{5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x + 2y + 2z = −3

(l)

{3x + 2y − z = 3x + y − 2z = −5

2x + y + 3z = 16

Sol : x =13

5; y =

3

5; z = −17

5Sol : x = 1; y = 2; z = 4

(m)

{x − 2y − 3z = 3

2x − y − 4z = 73x − 3y − 5z = 8

(n)

{3x + 2y − z = 4x + y − 2z = 0

2x + y + 3z = 6Sol : x = 2; y = 1; z = −1 Sol : x = 1; y = 1; z = 1

(o)

{3x + y − z = 12x − y + 2z = 2x − 3y + 6z = 3

(p)

{x + y − z = 2

2x + 3y + 5z = 11x − 5y + 6z = 29

Sol : x =3

5; y = −4

5; z = 0 Sol : x =

307

49; y = −20

7; z =

69

49

T12.2 Estudia la compatibilidad y el numero de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

(a)

{x + 2y + z = 1

2x + y + 2z = 23x + 3y + 3z = 3

(b)

{x + 2y + z = 1

2x + y + 2z = 23x + 3y + 3z = 4

T12.3 Dado el sistema de ecuaciones:{x cos α + y sen α = 1x sen α − y cos α = 1

(a) Resuelvelo determinando x e y en funcion de α.

(b) Calcula α para que x + y = 1.


T12.4 Discute y resuelve segun los distintos valores del parametro a los siguientes sistemas deecuaciones:

(a)

{ax + y + z = 4x − ay + z = 1x + y + z = a + 2

(b)

{2x − 3y + z = 0x − ay − 3z = 0

5x + 2y − z = 0

(c)

{x + y + az = 1

2x + z = 2(d)

{4x + 12y + 4z = 02x − 13y + 2z = 0

(a + 2)x − 12y + 12z = 0

(e)

{x + 2y + z = 2

2x − y + 3z = 25x − y + az = 6

(f)

{2x + y − z = a − 4

(a − 6)y + 2z = 0(a + 1)x + 2y = 3

(g)

{a2x + 3y + 2z = 0ax − y + z = 08x + y + 4z = 0

(h)

{x + 2y = 5

3x − ay = a5x + ay = 7

T12.5 Dado el sistema de ecuaciones:{mx − y = 1

x − my = 2m − 1

Halla m para que:

(1) No tenga solucion.

(2) Tenga infinitas soluciones.

(3) Tenga solucion unica.

(4) Tenga una solucion en la que x = 3.

T12.6 Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones

{2x + y + z = mxx + 2y + z = myx + 2y + 4z = mz

tiene mas de una solucion.

T12.7 Dado el sistema:

{x − 3y + z = 1

3x − y + z = −1πx − 2y + 7z = 0

(1) Anade una ecuacion lineal, distinta de las dadas, al sistema de modoque el sistema resultante sea compatible indeterminado.

(2) Anade una ecuacion lineal al sistema dado de modo que el sistemaresultante sea incompatible.

(3) Anade una ecuacion lineal al sistema dado de modo que el sistemaresultante sea compatible determinado.

T12.8 Estudia, segun los valores de a, la compatibilidad del sistema y resuelvelo por el metodomatricial de Gauss para a = 1.

{3x + y + az = 4x − y + 2z = 7

−2x + ay − 4z = −11

Tema 13 Espacio afın euclıdeo

13.1 Los vectores fijos en el espacio

Se llama vector fijo del espacio a un segmento orientado cuyos extremos estan deter-

minados. Designaremos por−→AB a un vector fijo del espacio que tiene su origen en el punto

A y su extremo en el punto B. Si en un vector su origen coincide con su extremo, se diceque es el vector fijo nulo.

Se llama modulo del vector−→AB a la longitud del segmento de extremos los puntos A y

B. El modulo del vector−→AB se representa por |−→AB|.

Se llama direccion del vector−→AB a la direccion de la recta que pasa por A y por B.

Dos vectores fijos no nulos−→AB y

−→CD tienen la misma direccion si las rectas AB y CD son

paralelas.

Se llama sentido del vector−→AB al de recorrido de la recta cuando nos trasladamos de

A a B.

Dos vectores fijos no nulos−−→MN y

−→PQ son equipolentes si tienen el mismo modulo, la

misma direccion y el mismo sentido; se representa por−−→MN ∼ −→

PQ

Si dos vectores no nulos−−→MN y

−→PQ son equipolentes y no estan situados en la misma

recta, se verifica que el cuadrilatero que se obtiene al unir los orıgenes M y P y los extremosN y Q es un paralelogramo.

13.2 Los vectores libres en el espacio

Si elegimos un vector cualquiera, por ejemplo el−→AB, y consideramos todos los vectores

fijos que son equipolentes al−→AB y los agrupamos, hemos formado la clase de equivalencia

determinada por el vector−→AB.

vector libre del espacio es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto delos vectores fijos del espacio mediante la relacion de equipolencia. Un vector libre se designa

por [−→AB] o por su representante

−→AB. Todos los vectores fijos nulos forman el vector libre

cero. Un representante es−→AA, que se puede escribir ~O. Al conjunto de los vectore libres del

espacio los designaremos por V 3.

Se llama modulo, direccion y sentido de un vector libre no nulo al modulo, direcciony sentido de cualquiera de sus representantes. El vector libre ~O tiene modulo 0 y carece

de direccion y sentido. Los vectores [−→AB] y [

−→BA] tienen el mismo modulo y direccion pero

distinto sentido.

Propiedad fundamental de los vectores libres:

Si [−→AB] es un vector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un

unico representante de este vector que tiene su origen en el punto O.

96

13.3. EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES 97

13.3 El espacio vectorial de los vectores libres

Suma de vectores libres

Dados dos vectores libres ~a y ~b del espacio, se llama suma de ~a y ~b al vector libre quese obtiene del siguiente modo:

Se toma un punto arbitrario O del espacio, se traza−→OA como representante de ~a y a

continuacion, desde A se traza−→AB como representante de ~b; el vector suma ~a +~b es el que

tiene por representante el vector−→OB.

-~a

~b

-~a

~b

�*�

~a +~b

O A

B

La suma de vectores es independiente del punto O elegido. La suma de vectores esuna operacion interna en V 3 que verifica las propiedades asociativa, conmutativa, existenciade elemento neutro y existencia de elemento opuesto. Por ello se dice que el par (V 3,+) esun grupo conmutativo.

Multiplicacion de un numero real por un vector

Dado un vector libre ~a, no nulo, del espacio, y un numero real k no nulo, se llamaproducto de un numero real por un vector al vector k · ~a que tiene:

modulo: |k| · |~a|direccion: la direccion del vector ~asentido: el mismo que ~a si k es positivo

el opuesto de ~a si k es negativo

Si ~a = ~O o k = 0, el producto de k por ~a es el vector ~O.

El conjunto V 3 de los vectores libres del espacio, con las operaciones de suma y productopor escalar tiene estructura de espacio vectorial.

13.4 Bases en V 3

Tres vectores libres ~u1, ~u2 y ~u3, no nulos y no coplanarios (que no estan en un mismoplano), forman una base de V 3. Por tanto la dimension del espacio V 3 es 3. Es decir, tresvectores linealmente independientes forman una base de V 3.

La descomposicion de un vector en funcion de los vectores de la base es unica. Losnumeros reales x, y, z que permiten descomponer cualquier vector ~x = x ~u1 + y ~u2 + z ~u3 enfuncion de los vectores de la base, se llaman coordenadas del vector ~x respecto de la baseB = { ~u1, ~u2, ~u1}.

En Fısica, se identifican los vectores numericos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) con los vectores

libres ~ı, ~, ~k respectivamente. Los primeros constituyen la base canonica del espacio IR3 ylos segundos la de V 3.

98 TEMA 13. ESPACIO AFIN EUCLIDEO

13.5 Producto escalar de dos vectores libres

El producto escalar de dos vectores ~u y ~v se designa por ~u · ~v y se obtiene del siguientemodo:

~u · ~v =

{|~u| · |~v| · cos(~u,~v ) si ~u y ~v son no nulos

0 si ~u o ~v son nulos

Como |~u|, |~v| y cos(~u,~v ) son numeros reales, el producto escalar de dos vectores es unnumero real que puede ser positivo, negativo o nulo.

Propiedades del producto escalar

(1) El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo o nulo: ~u·~u ≥ 0

(2) Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~u

(3) Homogenea: k(~u · ~v) = (k~v) · ~u = ~u · (k~v)

(4) Distributiva respecto de la suma de vectores: ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u + ~w

Expresion analıtica del producto escalar

Sea B = { ~u1, ~u2, ~u1} una base cualquiera del espacio V 3, y sean ~u y ~v dos vectorescualesquiera. Como cada vector del espacio se descompone de modo unico en funcion de losvectores de la base, se tiene:

~u = x ~u1 + y ~u2 + z ~u3

~v = x′ ~u1 + y′ ~u2 + z′ ~u3

Aplicando las propiedades del producto escalar resulta:

~u · ~v = (x ~u1 + y ~u2 + z ~u1) · (x′ ~u1 + y′ ~u2 + z′ ~u1) =+ xx′( ~u1 · ~u1) + xy′( ~u1 · ~u2) + xz′( ~u1 · ~u3) ++ yx′( ~u2 · ~u1) + yy′( ~u2 · ~u2) + yz′( ~u2 · ~u3) ++ zx′( ~u3 · ~u1) + zy′( ~u3 · ~u2) + zz′( ~u3 · ~u3)

Esta expresion se puede escribir matricialmente del siguiente modo:

~u · ~v = (x, y, z)

~u1 · ~u1 ~u1 · ~u2 ~u1 · ~u3

~u2 · ~u1 ~u2 · ~u2 ~u2 · ~u3

~u3 · ~u1 ~u3 · ~u2 ~u3 · ~u3

x′

y′

z′

Teniendo en cuenta que el producto escalar es conmutativo, la matriz del productoescalar es simetrica.

- Si la base B es normada (es decir, ~u1 · ~u1 = ~u2 · ~u2 = ~u3 · ~u3 = 1), la expresion analıticadel producto escalar es:

~u · ~v = xx′ + yy′ + zz′ + (xy′ + yx′)( ~u1 · ~u2) + (xz′ + zx′)( ~u1 · ~u3) + (yz′ + zy′)( ~u2 · ~u3)

13.6. MODULO DE UN VECTOR. ANGULO DE DOS VECTORES 99

- Si la base B es ortogonal (es decir, ~u1 · ~u2 = ~u1 · ~u3 = ~u2 · ~u3 = 0), la expresion analıticadel producto escalar queda:

~u · ~v = xx′( ~u1 · ~u1) + yy′( ~u2 · ~u2) + zz′( ~u3 · ~u3)

- Por ultimo, si la base B es ortonormal (es decir, normada y ortogonal), entonces laexpresion analıtica del producto escalar se reduce a:

~u · ~v = xx′ + yy′ + zz′

Se llama espacio vectorial euclıdeo al par (V 3, ·), donde V 3 es el espacio vectorial delos vectores libres, y (·) es el producto escalar que acabamos de definir.

13.6 Modulo de un vector. Angulo de dos vectores

13.6.1 Modulo de un vector

1.- Expresion vectorial

De la definicion de producto escalar se tiene que:

~u · ~u = |~u|2

Por tanto: |~u| = +√

~u · ~u

El modulo de un vector es la raız cuadrada positiva del producto escalar del vector porsı mismo.

2.- Expresion analıtica

Sea B = {~ı,~,~k} una base ortonormal del espacio V 3 y ~u un vector cualquiera de V 3 tal

que ~u = x~ı + y~ + z~k, entonces:

~u · ~u = xx + yy + zz = x2 + y2 + z2

Por tanto: |~u| = +√

x2 + y2 + z2

Un vector se dice que es unitario cuando tiene modulo 1.

13.6.2 Angulo de dos vectores

1.- Expresion vectorial

Ya hemos visto que ~u · ~v = |~u| · |~v| · cos(~u,~v )

Por tanto: cos(~u,~v ) =~u · ~v

|~u| · |~v|El coseno del angulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar

entre el producto de sus modulos.


2.- Expresion analıtica

Sea B = {~ı,~,~k} una base ortonormal del espacio V 3 y ~u y ~v dos vectores cualesquierade V 3 tales que:

~u = x~ı + y~ + z~k

~v = x′~ı + y′~ + z′~k

Entonces se tiene:

cos(~u,~v ) =xx′ + yy′ + zz′√

x2 + y2 + z2 ·√

x′2 + y′2 + z′2

Como consecuencia, si ~u y ~v son dos vectores perpendiculares, su producto escalar es nulo.

~u · ~v = |~u| · |~v| · cos(~u,~v )= |~u| · |~v| · cos 90◦ = 0

EjemploEn una base ortonormal, los vectores ~u y ~v tienen coordenadas ~u = (1, 2, 3) y ~v =

(2,−1, 4). Calcular:

(1) Su producto escalar.

~u · ~v = (1, 2, 3) · (2,−1, 4) = 2 − 2 + 12 = 12

(2) El modulo de cada vector.

|~u| =√

(1, 2, 3) · (1, 2, 3) =√

12 + 22 + 32 =√

14

|~v| =√

(2,−1, 4) · (2,−1, 4) =√

22 + (−1)2 + 42 =√

21

(3) El angulo que forman ~u y ~v.

cos(~u,~v ) =~u · ~v

|~u| · |~v| =12√

14 ·√

21≈ 0′699

⇒ (~u,~v ) ≈ arccos(0′699) ≈ 0′795603 radianes ≈ 45◦39′11′′

(4) El valor de m para que ~w = (0, 3,m) sea ortogonal (perpendicular) al vector ~v.

~v · ~w = (2,−1, 4) · (0, 3,m) = 0 ⇒ −3 + 4m = 0 ⇒ m =3

4

13.7 Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores libres de V 3, ~u y ~v es otro vector que se designapor ~u × ~v o por ~u ∧ ~v y que se obtiene del siguiente modo:

(1) Si ~u y ~v son dos vectores no nulos y no proporcionales, ~u × ~v es un vector que tiene:

modulo: |~u| · |~v| · sen(~u,~v ).

direccion: perpendicular a los vectores ~u y ~v.

sentido: el del avance de un sacacorchos que gira desde ~u a ~v.

13.7. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES 101

j

*

~u

~v

~u × ~v6

(2) Si ~u = 0 o ~v = 0 o ~u y ~v son proporcionales, se tiene que ~u × ~v = ~O

- Interpretacion geometrica del producto vectorial

Sean ~u y ~v los vectores de la figura adjunta

-

�C

B

O A~u B′

~v

Se tiene que:

sen(~u,~v ) =cateto opuesto

hipotenusa=

|−−→BB′||~v| ⇒ |

−−→BB′| = |~v| · sen(~u,~v )

⇒ (multiplicando por |~u|) ⇒ |~u| · |−−→BB′| = |~u| · |~v| · sen(~u,~v ) = |~u × ~v|

Por tanto, el modulo del vector producto vectorial de ~u y ~v es igual al producto de la

base (|~u|) por la altura (|−−→BB′|) del paralelogramo OACB, es decir

|~u × ~v| = area del paralelogramo OACB.

- Propiedades del producto vectorial

(1) Anticonmutativa: ~u × ~v = −(~v × ~u)

(2) Homogenea: (k~u) × ~v = k(~u × ~v) = ~u × (k~v)

(3) Distributiva respecto a la suma de vectores: ~u × (~v + ~w) = (~u × ~v) + (~u × ~w)

- Expresion analıtica del producto vectorial

Sea B = {~ı,~,~k} una base ortonormal de V 3, ~u = (x, y, z), ~v = (x′, y′, z′) dos vectoreslibres del espacio; el vector ~u × ~v tiene las siguientes componentes:

~u × ~v =

( ∣∣∣∣y zy′ z′

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣z xz′ x′

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣x yx′ y′

∣∣∣∣)

es decir:

~u × ~v =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kx y zx′ y′ z′

∣∣∣∣∣∣


- Ejemplo:

(2, 1, 0) × (−1, 3, 2) =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k2 1 0−1 3 2

∣∣∣∣∣∣= 2~ı + 6~k + ~k − 4~ = 2~ı − 4~ + 7~k = (2,−4, 7)

13.8 Producto mixto de tres vectores libres

El producto mixto de tres vectores libres de V 3, ~u ,~v y ~w es un numero real que sedesigna por [~u,~v, ~w] (o tambien por (~u,~v, ~w)) y que se obtiene del siguiente modo:

[~u,~v, ~w] = ~u · (~v × ~w)

- Interpretacion geometrica del producto mixtoEl valor absoluto del producto mixto de tres vectores ~u, ~v y ~w es igual al volumen del

paralelepıpedo que tiene por aristas los vectores ~u, ~v y ~w.

6

-�

�

~vO

~w

~u

~v × ~w

- Expresion analıtica del producto mixto

Sea B = {~ı,~,~k} una base ortonormal de V 3, ~u = (x, y, z), ~v = (x′, y′, z′) y ~v =(x′′, y′′, z′′) tres vectores libres del espacio; aplicando las expresiones analıticas del productovectorial y del producto escalar, obtenemos las del producto mixto del siguiente modo:

[~u,~v, ~w] = ~u · (~v × ~w) = (x~ı + y~ + z~k) ·( ∣∣∣∣

y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣~ı +

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣~ +

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣~k)

= x

∣∣∣∣y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣ + y

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣ + z

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

x y zx′ y′ z′

x′′ y′′ z′′

∣∣∣∣∣∣= det(~u,~v, ~w)

Ası pues: [~u,~v, ~w] = det(~u,~v, ~w).

- Propiedades del producto mixto

(1) [~u,~v, ~w] = [~v, ~w, ~u] = [~w, ~u,~v]

(2) [~u,~v, ~w] = −[~u, ~w,~v] = −[~v, ~u, ~w] = −[~w,~v, ~u]

(3) [~u,~v, ~w] = 0 si y solo si ~u ,~v y ~w son linealmente dependientes.

(4) [a~u, b~v, c~w] = abc[~v, ~w, ~u]

(5) [~u + ~u′, ~v, ~w] = [~u,~v, ~w] + [~u′, ~v, ~w]

13.9. ESPACIO AFIN 103

13.9 Espacio afın

El espacio afın es la terna (IR3, V 3, f) donde:

- IR3 = {A,B,C, . . .} puntos del espacio.

- V 3 = {~a,~b,~c, . . .} espacio vectorial de los vectores libres.

- f es la aplicacion que asocia a cada par de puntos (A,B) del espacio el vector libre que

tiene por representante−→AB. Esta aplicacion f verifica las siguientes condiciones:

(1) f(A,B) = −f(A,B); es decir,−→AB = −−→

BA.

(2) f(A,B) + f(B,C) + f(C,A) = ~O; es decir−→AB +

−→BC +

−→CA = ~O.

(3) Cualquiera que sea el punto A de IR3, y cualquiera que sea ~v de V 3, existe un

unico punto B tal que f(A,B) =−→AB = ~v.

Al espacio V 3 se le llama espacio vectorial asociado al espacio afın. La dimension delespacio afın es la misma que la del espacio vectorial asociado. En consecuencia, la dimensiondel espacio afın (IR3, V 3, f) es tres.

Se llama sistema de referencia afın del espacio (IR3, V 3, f) al par R = (O,B), donde Oes un punto arbitrario que se elige como origen y B es una base del espacio vectorial V 3.

13.10 Espacio afın euclıdeo

El espacio afın euclıdeo es un espacio afın en el que V esta dotado de un producto escalar.Es decir, es una terna (IR3, (V 3·), f), donde (·) representa el producto escalar. Se llamasistema de referencia ortonormal del espacio al par R = (O,B), donde O es un puntoarbitrario que se elige como origen y B es una base ortonormal del espacio vectorial euclıdeoV 3.

Con esta nueva estructura ya se puede hablar de propiedades derivadas de ella talescomo:

- distancias: entre puntos, rectas y planos.

- angulos: entre rectas y planos; perpendicularidad.

- areas: de triangulos, de paralelogramos, de polıgonos.

- volumenes: de tetraedros, de paralelepıpedos, de poliedros.



T13.1 Dados los vectores ~u = (2,−3, 5) y ~v = (6,−1, 0), halla:

(1) Los modulos de ~u y ~v.

(2) El producto escalar de ~u y ~v.

(3) El coseno del angulo que forman.

(4) La proyeccion del vector ~u sobre ~v.

(5) La proyeccion de ~v sobre ~u.

(6) Halla m para que el vector (m, 2, 3) sea ortogonal a ~u.

T13.2 Comprueba si los vectores ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1) son ortogonales. Hallasus modulos.

T13.3 Dados los vectores ~u = (3, 1,−1) y ~v = (2, 3, 4), halla:

(1) Los modulos de ~u y ~v.

(2) El producto vectorial de ~u y ~v.

(3) Un vector unitario ortogonal a ~u y ~v.

(4) El area del paralelogramo que tiene por lados los vectores ~u y ~v.

T13.4 Dados los vectores ~u = 3~ı − ~ + ~k y ~v = ~ı + ~ + ~k, halla su producto vectorial. Compruebaque el vector hallado es ortogonal a ~u y ~v.

T13.5 Calcula los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y(2, 1,−1).

T13.6 Dados los vectores ~u1 = (2, 0, 0), ~u2 = (0, 1,−3) y ~u3 = a ~u1 + b ~u2, ¿que relacion debensatisfacer a y b para que el modulo de ~u3 sea la unidad?

T13.7 Halla dos vectores de modulo 1 y ortogonales a (2,−2, 3) y (3,−3, 2).

T13.8 Dados los vectores ~u = (2, 1, 3), ~v = (1, 2, 3) y ~w = (−1,−1, 0), halla el producto mixto[~u,~v, ~w].

T13.9 Halla el volumen del paralelepıpedo que tiene por aristas los vectores del ejercicio anterior.

T13.10 Dada la base B = {(

1√5, 0, 2√

5

),(0, −2√

5, 1√

5

),(

−2√5, 1√

5, 0)} comprueba si es normada,

ortogonal u ortonormal.

T13.11 Halla un vector perpendicular a ~u = (2, 3, 4) y ~v = (−1, 3,−5), y que, ademas, sea unitario.

T13.12 Dados los vectores ~u = (2, 4, 5) y ~v = (3, 1, 2), halla el modulo del vector ~u − ~v.

T13.13 Demuestra que el vector ~a = (~b · ~c)~d − (~b · ~d)~c es ortogonal al vector ~b.

T13.14 Demuestra que si dos vectores tienen el mismo modulo, entonces los vectores suma ydiferencia son ortogonales.

T13.15 Dados los vectores ~u = 3~ı − ~ + ~k y ~v = 2~ı − 3~ + ~k, halla el producto ~u × ~v y compruebaque este vector es ortogonal a ~u y a ~v. Halla el vector ~v × ~u y comparalo con ~u × ~v.

T13.16 Sean ~u y ~v dos vectores tales que (~u+~v)2 = 25 y (~u−~v)2 = 9. Calcula el producto escalarde ~u y ~v.

T13.17 Sean ~u y ~v dos vectores tales que |~u| = 9 y (~u + ~v) · (~u− ~v) = 17. Calcula el modulo de ~v.

T13.18 Dos vectores ~a y ~b son tales que |~a| = 10, |~b| = 10√

3, y |~a +~b| = 20. Halla el angulo que

forman los vectores ~a y ~b.

T13.19 ¿Puede ser el modulo de la suma de dos vectores de modulos 10 y 5, mayor que 15? ¿Ymenor que 4?

T13.20 Un vector de modulo 10 se descompone en suma de otros dos de modulos iguales y queforman un angulo de 45◦. Halla el modulo de cada uno de los vectores sumandos.

Tema 14 Ecuaciones de rectas y planos

A lo largo del tema nos moveremos en el espacio euclıdeo IR3 con el sistema de referenciaortonormal R = {O,~ı,~, ~k} donde ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1).

14.1 Coordenadas de un vector libre

Vamos a expresar las coordenadas de un vector libre−→AB en funcion de las coordenadas

de su origen A y su extremo B. Si representamos por ~a y ~b los vectores de posicion de A yB, respectivamente, se tiene:

6

-

�

3:

~k

~~ı

~a ~b

A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)

~a +−→AB = ~b ⇒ −→

AB = ~b − ~a

Si A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2) son las coordenadasde A y B, sustituyendo en la expresion anterior se tiene:

−→AB = (x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

14.2 Coordenadas del punto medio de un segmento

Sean A y B dos puntos distintos,−→AB el segmento que determinan, y M el punto medio

de dicho segmento. Entonces se verifica:

�

�3

�

O

A

M

B

~a

−→m ~b

−−→AM =

1

2

−→AB

Si representamos por ~a, ~b y −→m los vectores de posicion de los puntosA, B y M respectivamente, se tiene:

−→m = ~a +−−→AM = ~a +

1

2

−→AB = ~a +

1

2(~b − ~a) =

1

2(~a +~b)

es decir, −→m = 12 (~a +~b)

Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) y M = (xm, ym, zm) son las coordenadas de A, B y M ,sustituyendo en la expresion vectorial anterior se tiene:

(xm, ym, zm) =1

2[(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)], es decir:

xm =1

2(x1 + x2), ym =

1

2(y1 + y2), zm =

1

2(z1 + z2)

105

106 TEMA 14. ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

14.3 Ecuacion de la recta. Determinacion lineal

Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector ~u no nulo,llamado vector director o vector de direccion de la recta; a la expresion r(A, ~u) se le llamadeterminacion lineal de la recta r.- Expresion vectorial

*

A~u

Xr

Un punto cualquiera X pertenece a la recta r(A, ~u) si los

vectores−→AX y ~u son linealmente dependientes (proporcio-

nales). Por tanto:

−→AX = t~u, t ∈ IR

A~u

X

�

�*

O

~a ~x

Si ~a y ~x son los vectores de posicion de los puntos A y X,se tiene que:

~x − ~a = t~u, t ∈ IR

De donde:

~x = ~a + t~u, t ∈ IR es la ecuacion vectorial de la recta.

- Expresion analıticaSi A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y ~u = (a, b, c),

sustituyendo estas coordenadas en la ecuacion vectorial se tiene:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), t ∈ IR

De donde:

x = x1 + tay = y1 + tbz = z1 + tc

t ∈ IR ecuaciones parametricas de la recta.

Si despejamos el parametro t de cada ecuacion anterior, e igualamos, se obtiene:

x − x1

a=

y − y1

b=

z − z1

cecuaciones continuas de la recta.

Otra forma de determinar la recta es mediante un punto A y dos vectores ~n y ~n′ per-pendiculares a r. El vector director de la recta se obtiene entonces haciendo el productovectorial ~n × ~n′. Ası, la recta queda determinada por r(A,~n × ~n′).- Puntos alineados

Tres o mas puntos estan alineados (o son colineales) cuando pertenecen a la mismarecta.

A1, A2, . . . , An estan alineados ⇐⇒ Rango (−−−→A1A2,

−−−→A1A3, . . . ,

−−−→A1An) = 1

14.4. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 107

- Ejemplos• Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto A = (4,−3, 5) y tiene la direccion

determinada por el vector libre ~u = (2,−1, 7) en forma vectorial, parametrica y continua:

- vectorial: (x, y, z) = (4,−3, 5) + t(2,−1, 7)

- parametricas:

x = 4 + 2ty = −3 − tz = 5 + 7t

- continuas:x − 4

2=

y + 3

− 1=

z − 5

7

• Comprobar si A1 = (1, 3, 2), A2 = (4, 2, 2) y A3 = (−2, 4, 2) estan alineados:

−−−→A1A2 = (4, 2, 2) − (1, 3, 2) = (3,−1, 0);

−−−→A1A3 = (−2, 4, 2) − (1, 3, 2) = (−3, 1, 0)

Rango (−−−→A1A2,

−−−→A1A3) = Rango ((3,−1, 0), (−3, 1, 0)) = 1; luego estan alineados

14.4 Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

Recordemos que, dados dos puntos distintos, existe una unica recta que pasa por ellos.

La recta r que pasa por dos puntos distintos A y B viene determinada por r = (A,−→AB)

*

A

Xr

B

Si X es un punto cualquiera de la recta, se verifica:

−→AX = t

−→AB, t ∈ IR

B

A

X

�

�

O

~a~b ~x

*� Si ~a y ~b son los vectores de posicion de los puntos A y B, y~x el de un punto X cualquiera de la recta, se tiene:

~x − ~a = t(~b − ~a), t ∈ IR

De donde: ~x = ~a + t(~b − ~a), t ∈ IRes la ecuacion vectorial de larecta que pasa por dos puntos.

Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A,B, y X, sustituyendo estas coordenadas en la ecuacion vectorial se tiene:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t[(x2, y2, z2) − (x1, y1, z1)] t ∈ IR

De donde:

x = x1 + t(x2 − x1)y = y1 + t(y2 − y1)z = z1 + t(z2 − z1)

t ∈ IR

ecuaciones parametricas de larecta que pasa por dos puntos.


Despejando el parametro t de las tres ecuaciones, e igualando, se obtiene:

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

ecuaciones continuas de larecta que pasa por dos puntos.

14.5 Ecuacion del plano

Un plano α en el espacio queda determinado mediante un punto A y dos vectores ~v y ~wno nulos y no proporcionales que se llaman vectores direccionales del plano; a la expresionα(A,~v, ~w) se le llama determinacion lineal del plano α.- Expresion vectorial

j~v

~w

A

� : X

Observando la figura, un punto cualquiera X pertenece

al plano α(A,~v, ~w) si el vector−→AX depende linealmente

de ~v y ~w. Es decir:

−→AX = t~v + s~w, t, s ∈ IR

o tambien: det(−→AX,~v,−→w ) = 0

Si ~a y ~x son los vectores de posicion de los puntos A y X respectivamente, se tiene que:

~x − ~a = t~v + s~w, t, s ∈ IR

De donde:~x = ~a + t~u + s~w, t, s ∈ IR es la ecuacion vectorial del plano.

- Expresion analıticaSi A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y ~v = (a, b, c)

y ~w = (a′, b′, c′), sustituyendo estas coordenadas en la ecuacion vectorial se tiene:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) + s(a′, b′, c′), t, s ∈ IR

De donde:

x = x1 + ta + sa′

y = y1 + tb + sb′

z = z1 + tc + sc′

t, s ∈ IR ecuaciones parametricas del plano.

Si utilizamos la expresion vectorial det(−→AX,~v,−→w ) = 0, se tiene:

∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

a b ca′ b′ c′

∣∣∣∣∣∣= 0

Desarrollando el determinante anterior, se llega a una expresion de la forma:

Ax + By + Cz + D = 0 que es la ecuacion general o implıcita del plano.

14.6. ECUACION NORMAL DEL PLANO 109

- Puntos coplanariosCuatro o mas puntos son coplanarios cuando pertenecen a un mismo plano.

A1, A2, . . . , An son coplanarios ⇐⇒ Rango (−−−→A1A2,

−−−→A1A3, . . . ,

−−−→A1An) = 2

- Ejemplo• Hallar la ecuacion del plano determinado por el punto A = (6, 2,−1) y los vectores

~v = (2,−1, 5) y ~w = (3, 2, 4) en forma vectorial, parametrica y continua:

- vectorial: (x, y, z) = (6, 2,−1) + t(2,−1, 5) + s(3, 2, 4)

- parametricas:

x = 6 + 2t + 3sy = 2 − t + 2sz = −1 + 5t + 4s

- general:

∣∣∣∣∣∣

x − 6 y − 2 z + 12 −1 53 2 4

∣∣∣∣∣∣= 0

−4x + 24 + 4z + 4 + 15y − 30 + 3z + 3 − 10x + 60 − 8y + 16 = 0

−14x + 7y + 7z + 77 = 0 =⇒ −2x + y + z + 11 = 0

14.6 Ecuacion normal del plano

Sea A un punto del plano α; cualquier punto X del plano α determina con A un vector−→AX. Si representamos por ~n un vector normal (perpendicular) al plano, se verifica:

~n · −→AX = 0 ⇐⇒ ~n · (~x − ~a) = 0 que es la ecuacion normal del plano.

La determinacion normal del plano se representa por α(A,~n)- Expresion analıtica

Si A = (x1, y1, z1) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, y ~n =(A,B,C) las de un vector normal al plano, sustituyendo en la ecuacion vectorial se tiene:

A(x − x1) + B(y − y1) + C(z − z1) = 0

14.7 Ecuacion del plano que pasa por tres puntos

Por tres puntos cualesquiera no alineados pasa un unico plano. Sean A, B y C esos tres

puntos. El plano α en cuestion tiene por determinacion lineal α(A,−→AB,

−→AC).

Si X es un punto cualquiera del plano, se verifica:

det (−→AX,

−→AB,

−→AC) = 0


Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) y X = (x, y, z) son las coordenadasde los puntos A,B,C y X, se tiene:

∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣= 0

14.8 Ecuacion del plano determinado por una recta y

un punto exterior

Sea r una recta del espacio afın euclıdeo y P un punto no perteneciente a la recta r.Entonces existe un unico plano que pasa por P y contiene a la recta r.

Sea r(A, ~u) una determinacion lineal de la recta r, y P un punto exterior a ella; ladeterminacion lineal del plano α serıa:

α(A, ~u,−→AP )

Si X es un punto cualquiera del plano, se tiene:

det (−→AX,~u,

−→AP ) = 0

Si A = (x1, y1, z1), P = (x2, y2, z2) y X = (x, y, z) son las coordenadas de los puntosA,P y X, y ~u = (a, b, c), se tiene:

∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

a b cx2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

∣∣∣∣∣∣= 0

Desarrollando este determinante se obtiene la ecuacion implıcita del plano.

- EjemploHalla la ecuacion del plano que pasa por el punto P = (2,−1, 5) y por la recta dada por

la ecuacionx − 1

6=

y + 3

7=

z − 2

9

La recta dada pasa por A = (1,−3, 2) y tiene direccion ~u = (6, 7, 9). Por tanto el planopedido es:

∣∣∣∣∣∣

x − 1 y + 3 z − 26 7 9

2 − 1 −1 + 3 5 − 2

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

x − 1 y + 3 z − 26 7 91 2 3

∣∣∣∣∣∣= 0

es decir, 21(x − 1) + 12(z − 2) + 9(y + 3) − 7(z − 2) − 18(x − 1) − 18(y + 3) = 0 ⇒

3x − 9y + 5z − 40 = 0



T14.1 Dado el vector−→AB = (2, 3, 4) y el punto B(5,−3, 7), halla las coordenadas del punto A.

T14.2 Comprueba si los vectores−→AB y

−→CD son equipolentes, si A(2, 1, 3), B(5, 4, 1), C(2, 1, 5)

y D(3, 2,−1). En caso negativo, halla las coordenadas del punto D’ para que−→AB y

−−→CD′ sean

equipolentes.

T14.3 Dados los puntos A(2,−1, 2) y B(3, 5, 7) halla las coordenadas del vector−→AB y su modulo.

T14.4 Dados los puntos A(3,−2, 5) y B(3, 1, 7), halla las coordenadas del punto medio del segmentoAB.

T14.5 Las coordenadas de dos vertices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0).Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Halla las coordenadas de los vertices C y D.

T14.6 Dados los vertices A(3, 3, 6) y B(6, 12, 18), que determinan el segmento AB, halla las coor-denadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

T14.7 Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triangulo ABC son M(1, 0, 0),N(0, 1, 0) y P (0, 0, 1). Halla las coordenadas de los vertices A, B y C.

T14.8 En un triangulo ABC el baricentro es G(1, 2, 1). El punto medio de BC es M(2, 4, 6) y elpunto medio de AC es N(3, 2, 1). Halla las coordenadas de los vertices A, B, y C.

T14.9 Halla el baricentro del tetraedro de vertices A(2, 1, 3), B(4,−1, 3), C(2, 2, 5) y D(8,−3, 5).

T14.10 Halla las ecuaciones de las medianas del triangulo de vertices A(2, 3, 4), B(1,−1, 5) yC(5, 5, 4).

T14.11 Halla las coordenadas del baricentro del triangulo ABC del ejercicio anterior, ası comoel baricentro del triangulo cuyos vertices son los puntos medios de los lados del triangulo anterior.¿Como son ambos baricentros?

T14.12 Dados los puntos A(2, 3, 9) y B(1,−2, 6) halla tres puntos P , Q y R que dividen al segmentoAB en cuatro partes iguales.

T14.13 Halla la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A(2, 3, 4) y B(8,−2, 3). Compruebasi el punto C(2, 1, 3) esta alineado con A y B.

T14.14 Comprueba si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) estan alineados.

T14.15 Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la direccion del vector~.

T14.16 Halla la ecuacion del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1) y tiene por vectores directores

~v = 2~ı − ~ y ~w = 3~ + 2~k.

T14.17 Halla la ecuacion del plano que pasa por los puntos A(2, 0, 0), B(0, 4, 0) y C(0, 0, 7).

T14.18 Comprueba si los planos que pasan por por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0,−1),y por los puntos A′(3, 0, 0), B′(0, 6, 0) y C ′(0, 0,−3) tienen el mismo vector normal.

T14.19 Comprueba si los puntos A(1, 2, 3), B(4, 7, 8), C(3, 5, 5), D(−1,−2,−3) y E(2, 2, 2) soncoplanarios.

T14.20 Halla la ecuacion del plano que pasa por la recta x = 2t, y = 3 + t, z = 1 − t, y por elpunto A(2,−1, 2).

T14.21 Escribe la ecuacion del plano que pasa por el origen y por la recta de ecuaciones:

x − 3

3=

y + 2

−2=

z − 1

1

Tema 15 Posiciones de rectas y planos

15.1 Posiciones de dos planos

Las posiciones de dos planos en el espacio son tres:

• planos secantes: tienen en comun los puntos de una recta.

• planos paralelos: no tienen ningun punto en comun.

• planos coincidentes: tienen todos sus puntos en comun.

Consideremos los planos dados por las ecuaciones generales:

α : Ax + By + Cz + D = 0β : A′x + B′y + C ′z + D′ = 0

Estudiar las posiciones de estos planos equivale a discutir el sistema formado por susecuaciones. Las matrices de coeficientes, M , y la ampliada, M ∗, son:

M =

(A B CA′ B′ C ′

)M∗ =

(A B C DA′ B′ C ′ D′

)

Segun los valores del rango de M y de M ∗, se presentan los siguientes tres casos:

- Caso 1: rango(M) = rango(M∗) = 2

β

αr

El sistema es compatible indeterminado (por el Teorema deRouche). Las infinitas soluciones dependen de un parametro.Por tanto los planos se cortan en una recta y son secantes.

De hecho, el sistema formado por los dos planos secantesson las ecuaciones implıcitas de la recta que determinan y suvector direccional viene dado por:

−→ur = (A,B,C) × (A′, B′C ′)

- Caso 2: rango(M) = 1 y rango(M∗) = 2

β

α El sistema es incompatible. Los planos no tiene ningun puntoen comun, y por tanto son paralelos y distintos.


α ≡ βEl sistema es compatible indeterminado. Las dos ecuaciones

son proporcionales y tienen las mismas soluciones, por tanto, losplanos tienen todos sus puntos en comun, es decir, son coinciden-tes.

112

15.2. POSICIONES DE TRES PLANOS 113

15.2 Posiciones de tres planos

Consideremos tres planos dados por sus ecuaciones generales:

α : Ax + By + Cz + D = 0β : A′x + B′y + C ′z + D′ = 0γ : A′′x + B′′y + C ′′z + D′′ = 0

Las matrices de coeficientes, M , y la ampliada, M ∗, son:

M =

A B CA′ B′ C ′

A′′ B′′ C ′′

M∗ =

A B C DA′ B′ C ′ D′

A′′ B′′ C ′′ D′′

Segun los valores del rango de M y de M ∗, se presentan los siguientes casos:


Pγ

β

α

El sistema es compatible determinado. Los tres pla-nos se cortan en un punto que se obtiene resolviendo elsistema.

- Caso 2: rango(M) = 2 y rango(M∗) = 3El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningun punto en comun. Las dos

posiciones posibles son:

Los planos se cortan dos a dos

βγ

α

(2a)

Dos planos son paralelos y el otro los corta

(2b)

β

α

γ

- Caso 3: rango(M) = rango(M∗) = 2El sistema es compatible indeterminado. Existen por lo tanto dos ecuaciones indepen-

dientes y la otra es combinacion lineal de ellas. Los tres planos tienen infinitos puntos encomun. Si tomamos los dos planos independientes, se cortan en una recta, que son los infi-nitos puntos solucion del sistema. El otro plano pasara entonces por la misma recta comun.Es decir, los planos son secantes en una recta. Las dos posiciones posibles son:

(3a)

r

β

α

γ

(3b)

r

α

γ

β

Los tres planos son distintos y se cortanen una recta

Dos planos son coincidentes y el otro los corta

114 TEMA 15. POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS

- Caso 4: rango(M) = 1 y rango(M∗) = 2El sistema es incompatible. Por ser rango(M)=1, los tres planos son paralelos pero no

coincidentes ya que rango(M∗)=2. Las dos posiciones posibles son:

β

α

γ

βα

γ

Los tres planos son paralelos y distintosdos a dos

Dos planos son coincidentes y el otro paralelo ydistinto


α ≡ β ≡ γEl sistema es compatible determinado. El sistema se reducea una sola ecuacion y los planos son coincidentes.

15.3 Haces de planos

15.3.1 Haz de planos paralelos

Si tenemos un plano de ecuacion general: Ax + By + Cz + D = 0los planos paralelos al mismo son de la forma:

Ax + By + Cz + K = 0, con K ∈ IR

15.3.2 Haz de planos secantes

Si dos planos son secantes en una recta, la ecuacion de un tercerplano que pasa por esa recta es combinacion lineal de las de los dosanteriores, es decir, se puede escribir que:

A′′x + B′′y + C ′′z + D′′ = t(Ax + By + Cz + D) + s(A′x + B′y + C ′z + D′) = 0

Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llamaarista del haz. Este queda determinado por dos planos distintos del mismo. Su ecuacion es

t(Ax + By + Cz + D) + s(A′x + B′y + C ′z + D′) = 0, con s, t ∈ IR

15.4 Posiciones de recta y plano

Las posiciones de una recta y un plano en el espacio son:

15.4. POSICIONES DE RECTA Y PLANO 115

• recta y plano secantes: tienen un punto en comun.

• recta y plano paralelos: no tienen ningun punto en comun.

• recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Consideremos la recta y el plano dados por las ecuaciones generales:

r :

{Ax + By + Cz + D = 0A′x + B′y + C ′z + D′ = 0

α : A′′x + B′′y + C ′′z + D′′ = 0

Consideremos las matrices de coeficientes, M , y la ampliada, M ∗:

M =


A′′ B′′ C ′′

M∗ =


A′′ B′′ C ′′ D′′


α

P

r

El sistema es compatible determinado. Los tres planos(α y los dos que determinan la recta r) se cortan en ununico punto. Por tanto la recta y el plano son secantes.

El punto en comun se obtiene resolviendo el sistema.

- Caso 2: rango(M) = 2 y rango(M∗) = 3

α

rEl sistema es incompatible. Los tres planos no tiene

ningun punto en comun, y por tanto la recta y el plano sonparalelos.


r α

El sistema es compatible indeterminado. Los tres pla-nos tienen una recta en comun, contenida en los tres planos.

En la practica, para ver la posicion de una recta y un plano se observa la ortogonalidado no de los vectores ~ur (vector director de la recta) y ~nα (vector normal al plano α):

• Si ~ur y ~nα son no ortogonales, la recta y el plano son secantes.

• Si ~ur y ~nα son ortogonales, la recta y el plano son paralelos.


15.5 Posiciones de dos rectas

Las posiciones de dos rectas en el espacio son:

• rectas secantes: tienen un punto en comun.

• recta paralelas: no tienen ningun punto en comun y ambas rectas estan en un mismoplano.

• rectas cruzadas: no tienen ningun punto en comun y ambas rectas no estan en unmismo plano.

• rectas coincidentes: tienen todos los puntos en comun.

Consideremos las rectas r y s dadas por las ecuaciones generales:

r :

{Ax + By + Cz + D = 0A′x + B′y + C ′z + D′ = 0

s :

{A′′x + B′′y + C ′′z + D′′ = 0A′′′x + B′′′y + C ′′′z + D′′′ = 0

Las matrices de coeficientes, M , y la ampliada, M ∗ son:

M =


A′′ B′′ C ′′

A′′′ B′′′ C ′′′

M∗ =


A′′ B′′ C ′′ D′′

A′′′ B′′′ C ′′′ D′′′

El rango mınimo que puede tener M es 2, ya que los dos primeros planos y los dosultimos son secantes (si no, no formarıan las ecuaciones de una recta). Segun los rangos deM y M∗ se tienen los siguientes casos:

- Caso 1: rango(M) = 3 y rango(M∗) = 4Sistema incompatible. Las rectas se cruzan.

- Caso 2: rango(M) = rango(M∗) = 3Sistema compatible determinado. Las rectas se cortan en un punto; es decir, son secantes.

- Caso 3: rango(M) = 2 y rango(M∗) = 3Sistema incompatible. Las rectas son paralelas.

- Caso 4: rango(M) = 2 y rango(M∗) = 2Sistema compatible indeterminado. Las rectas son coincidentes.

A

r

sα s rα r s α r

s

α

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas cruzadas Rectas coincidentes



T15.1 Halla la ecuacion del plano que pasa por el punto A(1, 0, 0) y es paralelo al plano dado porx − 2y + 4z + 2 = 0.

T15.2 Halla la ecuacion del plano determinado por las rectas:

r :x − 1

1=

y + 1

2=

z − 2

3y s :

x

1=

y − 2

2=

z − 3

3

T15.3 Halla la ecuacion de la recta s que pasa por el punto A(1, 0, 1) y es paralela a la recta rinterseccion de los planos:

{α : x + y + z − 3 = 0β : 2x − 2y + z − 1 = 0

T15.4 Escribe la ecuacion del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas

r :x − 3

2=

y − 7

3=

z − 8

4y s : x = y = z

T15.5 Halla la ecuacion del plano que pasa por el punto A(1, 1, 2) y es paralelo a las rectas:

r :

{3x + y = 04x + z = 0

y s :

{2x − 2y = 4y − z = −3

T15.6 Dados los puntos A(1, 0, 2), B(0, 1, 3), C(−1, 2, 0) y D(2,−1, 3), halla la ecuacion del planoα que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD.

T15.7 Halla la ecuacion del plano α que pasa por el punto A(1, 0, 0) y contiene a la recta

r :

{x = 2 + ty = 3 − 3tz = 4 + 2t

T15.8 Determina la posicion relativa del plano α : 3x − 2y + z − 3 = 0, y la recta de ecuacion:

r :x − 1

3=

y

2= z + 3

T15.9 Determina m y n para que los planos 6x − my + 4z + 9 = 0 y 9x − 3y + nz − n = 0 seanparalelos.

T15.10 Indica que posicion especial respecto de los ejes tienen los planos en que uno o tres de loscoeficientes de la ecuacion Ax + By + Cz + D = 0 sean nulos.

T15.11 ¿Pertenece el plano x + y + z + 2 = 0 al haz determinado por la recta

r :

{x + 2y − z − 1 = 0x − 3y + 4z + 2 = 0

?

T15.12 Estudia la interseccion de los planos:

{x − y + z = 0

3x + 2y − 2z = 15x = 1

especificando si es vacıa, o se trata de un punto, de una recta o de otra figura.


T15.13 Estudia la posicion relativa de los planos:

{2x + 3y − 5z + 7 = 03x + 2y + 3z − 1 = 07x + 8y − 7z + 13 = 0

T15.14 Discute la posicion de los planos segun el valor de k:

{x + y + z = 2

2x + 3y + z = 3kx + 10y + 4z = 11

T15.15 Discute la posicion de los planos segun los valores de a:

{3x − ay + 2z − (a − 1) = 02x − 5y + 3z − 1 = 0x + 3y − (a − 1)z = 0

T15.16 Estudia la posicion relativa de los siguientes planos segun los valores de a:

{ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1

T15.17 Estudia la posicion relativa que ocupan en el espacio los siguientes planos:

7x + 8y − z = 0x − y = −4

2x + 3y − 5z = −1x + y = 0

T15.18 Estudia la posicion relativa de los cuatro planos del espacio:

x − 2y + z = 0−x + y + bz = 12x − 2y + z = 1ax − 2y + z = −3

T15.19 Halla la ecuacion del plano que pasa por el punto A(−1, 2, 0) y contiene a la recta

r :

{x − 2y + z − 3 = 0

y + 3z − 5 = 0

T15.20 Halla la ecuacion del plano que pasa por la recta

r :x − 1

2=

y − 1

3=

z

1

y es paralelo a la recta s que pasa por los puntos B(2, 0, 0) y C(0, 1, 0).

T15.21 Halla la ecuacion del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a la recta

r :x − 1

2=

y − 1

3=

z − 1

4


T15.22 Dada r, recta determinada por las ecuaciones:{

x − 2y − 2z = 1x + 5y − z = 0

y el plano α : 2x + y + mz = n; halla m y n de modo que:

(1) r y α sean secantes,

(2) r y α sean paralelos,

(3) r este contenida en α.

T15.23 Determina un plano que contiene a la recta

r :

{x + y − 1 = 02x − y + z = 0

y es paralelo a la recta

s :x − 1

2=

y

3=

z + 2

−4

T15.24 Determina la posicion relativa de las rectas

r : x = −y = −z y s : z = 2, y = x + 2

T15.25 Halla la ecuacion de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas:

r : x = 2y = z − 1 y s :x

2=

y − 1

3= z

T15.26 Dadas las rectas del espacio:

r :

{x = z − 1y = 2 − 3z

y s :

{x − 4 = 5z

y = 4z − 3

(1) Decir si se cortan, son paralelas, o se cruzan.

(2) Halla la ecuacion de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas dadas.

T15.27 Halla la ecuacion y el vector direccional de la recta que pasa por el punto A(1, 1, 2) y cortaa las rectas:

r :x − 1

3=

y

2=

z − 1

−1y s :

x

2=

y

1=

z + 1

2

T15.28 Halla las ecuaciones parametricas de la recta s que pasa por el punto A(0, 1, 2) y es paralelaa la recta:

r :x − 1

2=

y − 2

3=

z − 1

5

T15.29 Estudia y resuelve el sistema:{

x + 3y − 2z = 02x − y + z = 04x − 5y − 3z = 0

¿Que figura forman los puntos que tienen por coordenadas las soluciones del sistema?

T15.30 Determina a y b para que los planos de ecuaciones{

2x − y + z = 3x − y + z = 2

3x − y − az = b

se corten en una recta r. Halla tambien la ecuacion del plano que contiene a la recta r y pasa porel punto P (2, 1, 3).


T15.31 Estudia si las siguientes rectas del espacio

r :

{2x + z = 9

y = 1y s :

{x + y = 0

−x + 2y + 2z = 5

se cortan, son paralelas o se cruzan. Halla el plano que contiene a s y es paralelo a r.

T15.32 Se consideran las rectas:

r :x − 3

2=

y − 3

−1=

z + a

2y s :

{x = 1 + 4ty = −1 + 3tz = −4 + 5t

Determina a para que las rectas r y s se corten. ¿Pueden ser coincidentes?

T15.33 Determina a para que las rectas

r :

{x − 2z = 1y − z = 2

y s :

{x + y + z = 1x − 2y + 2z = a

esten situadas en un mismo plano. Halla la ecuacion de este plano.

T15.34 Averigua para que valor de m la recta

r :

{x + 2y + z − m = 0

2x − y − z + 2 = 0

se corta con la recta

s :x − 1

2=

y + 1

3=

z − 4

5

Tema 16 Problemas metricos

16.1 Angulo de dos rectas

El angulo de dos rectas r y s que se cortan es el menor de los angulos que forman en elplano que determinan.

- Expresion vectorial

Ar

rAs

s~us

~ur*

j

Sean las rectas r y s cuyas determinaciones lineales sonr(Ar, ~ur) y s(As, ~us) respectivamente. Se tiene:

cos(r, s) = | cos( ~ur, ~us)| =|~ur · ~us||~ur| · |~us|↗

para que salga el menor

de los angulos

- Expresion analıticaSi los vectores direccionales de las dos rectas son ~ur = (a, b, c) y ~us = (a′, b′, c′), sustitu-

yendo en la expresion anterior resulta:

cos(r, s) =|aa′ + bb′ + cc′|√

a2 + b2 + c2 ·√

a′2 + b′2 + c′2

- Ortogonalidad o perpendicularidad de rectasDos rectas r y s son perpendiculares cuando el angulo que forman es de 90◦. En este

caso el producto escalar de los vectores direccionales ~ur y ~us es cero:

r⊥s ⇐⇒ ~ur · ~us = 0 ⇐⇒ aa′ + bb′ + cc′ = 0

16.2 Angulo de dos planos

El angulo de dos planos secantes α y β es el menor de los angulos diedros (formados pordos caras) que determinan.


6

*

~nα

~nβ

α

β Sean los planos α y β cuyas determinaciones normalesson α(Aα, ~nα) y β(Aβ , ~nβ) respectivamente. Se tiene

cos(α, β) = | cos( ~nα, ~nβ)| =|~nα · ~nβ ||~nα| · |~nβ |↗

para que salga el menor

de los angulos

- Expresion analıtica

121

122 TEMA 16. PROBLEMAS METRICOS

Si los planos vienen dados por las ecuaciones generales:

α : Ax + By + Cz + D = 0β : A′x + B′y + C ′z + D′ = 0

entonces los vectores normales al plano son:

~nα = (A,B,C) y ~nβ = (A′, B′, C ′)

y sustituyendo en la expresion anterior, resulta:

cos(α, β) =|AA′ + BB′ + CC ′|√

A2 + B2 + C2 ·√

A′2 + B′2 + C ′2

- Ortogonalidad o perpendicularidad de planosDos planos α y β son perpendiculares cuando el angulo que forman los vectores normales

es de 90◦. Es decir, cuando el producto escalar de los vectores ~nα y ~nβ es cero:

α⊥β ⇐⇒ ~nα · ~nβ = 0 ⇐⇒ AA′ + BB′ + CC ′ = 0

16.3 Angulo de recta y plano

El angulo de una recta r y un plano α es el angulo que forma la recta r con la recta r′,proyeccion de la recta r sobre el plano α.


6

*

~nα

~ur

α

r′

r

Estos dos angulosson complementarios

Si la recta r y el plano α tienen por determinacionesr(Ar, ~ur) y α(Aα, ~nα) respectivamente, resulta que:

sen(r, α) = | cos( ~ur, ~nα)| =|~ur · ~nα||~ur| · |~nα|

- Expresion analıticaSi ~ur = (a, b, c) y ~nα = (A,B,C), sustituyendo en lo anterior, resulta:

sen(r, α) =|aA + bB + cC|√

a2 + b2 + c2 ·√

A2 + B2 + C2

- Ortogonalidad o perpendicularidad de planosUna recta r y un plano α son perpendiculares cuando el vector director de la recta ~ur =

(a, b, c) y el vector normal del plano ~nα = (A,B,C) son paralelos, es decir, las coordenadasde los vectores son proporcionales.

r⊥α ⇐⇒ rango(~ur, ~nα) = 1 ⇐⇒ a

A=

b

B=

c

C

Una recta r y un plano α son paralelos si los vectores ~ur = (a, b, c) y ~nα = (A,B,C)son ortogonales, es decir, cuando su producto escalar vale 0.

r ‖ α ⇐⇒ ~ur · ~nα = 0 ⇐⇒ aA + bB + cC = 0

16.4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 123

16.4 Distancia entre dos puntos

Si A y B son dos puntos del espacio, la distancia entre ambos puntos coincide con el

modulo del vector−→AB, que es la longitud del segmento AB.

d(A,B) = |−→AB|

Si A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces

las coordenadas del vector−→AB son:

−→AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

y por tanto, la distancia de A a B es

d(A,B) = |−→AB| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

16.5 Distancia de un punto a un plano. Distancia entre

planos paralelos

La distancia de un punto P a un plano α es la distancia medida desde P hasta el puntomas cercano de α. Esta distancia coincide con la longitud del segmento QP , donde Q es laproyeccion ortogonal de P sobre α.


Q

~nα

αAα

P

6

90◦

�

:

6La distancia del punto P al plano α es el modulo

del vector−→QP , es decir,

d(P, α) = |−→QP |

En el triangulo rectangulo AαQP se tiene:

−−→AαP =

−−→AαQ +

−→QP

Multiplicando escalarmente por el vector normal ~nα se tiene:

−−→AαP · ~nα =

−−→AαQ · ~nα︸︷︷︸

‖

0

+−→QP · ~nα︸︷︷︸

‖

|−→QP |·|~nα|

=−→QP · ~nα

son ortogonales → ← forman un angulo de 0◦

Por tanto

d(P, α) = |−→QP | =|−−→AαP · ~nα|

|~nα|

- Expresion analıtica


Sea la ecuacion general del plano

Ax + By + Cz + D = 0

Sea A = (x0, y0, z0) un punto cualquiera perteneciente al plano, ~nα el vector normal al plano,y P = (x1, y1, z1) el punto dado. Sustituyendo en la expresion anterior resulta:

d(P, α) =|(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) · (A,B,C)|

|(A,B,C)|

=|Ax1 + By1 + Cz1 − Ax0 − By0 − Cz0|√

A2 + B2 + C2

Puesto que −Ax0 − By0 − Cz0 = D por ser A = (x0, y0, z0) un punto del plano se tienefinalmente que:

d(P, α) =|Ax1 + By1 + Cz1 + D|√

A2 + B2 + C2

- Distancia entre planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos α y β es igual a la distancia de un punto cual-quiera de un plano al otro plano.

d(α, β) = d(Pα, β) = d(Pβ , α)

16.6 Distancia de un punto a una recta. Distancia

entre rectas paralelas

La distancia de un punto P a una recta r es la distancia medida desde P hasta el puntomas cercano de r. Esta distancia coincide con la longitud del segmento QP , donde Q es laproyeccion ortogonal de P sobre la recta.


Consideremos una recta r dada por la determinacion lineal r(Ar, ~ur) y un punto Pexterior a ella.

� 6

- -Q~urAr

P

r

La distancia del punto P a la recta r es el modulo

del vector−→QP , es decir,

d(P, r) = |−→QP |

En el triangulo rectangulo ArQP se tiene:

−−→ArP =

−−→ArQ +

−→QP

16.7. DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN 125

Multiplicando vectorialmente por el vector ~ur, resulta:

−−→ArP × ~ur =

−−→ArQ × ~ur︸︷︷︸

‖

0

+−→QP × ~ur

← ya que son paralelos

⇒ |−−→ArP × ~ur| = |−→QP × ~ur|︸︷︷︸‖

|−→QP |·|~ur|

← sen 90 = 1

d(P, r) = |−→QP | =|−−→ArP × ~ur|

|~ur|

- Expresion analıticaSea A = (x0, y0, z0) un punto de la recta r, ~ur = (a, b, c) el vector direccional de la

misma y P = (x1, y1, z1). Sustituyendo en la expresion anterior resulta:

d(P, r) =|(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) × (a, b, c)|

|(a, b, c)|

- Distancia entre planos paralelosLa distancia entre dos rectas paralelas r y s es igual a la distancia de un punto cualquiera

de una de ellas a la otra.d(r, s) = d(Pr, s) = d(Ps, r)

16.7 Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paraleloa s que pasa por r y el plano paralelo a r que pasa por s.

- Expresion vectorialSean las rectas r y s dadas por las determinaciones lineales r(Ar, ~ur) y s(As, ~us), res-

pectivamente.

α

β

r

sLa distancia de la recta r a la recta s es igual a la

distancia del punto As al plano α(Ar, ~ur, ~us), es decir,

d(r, s) = d(As, α)


Puesto que la ecuacion vectorial de la distancia de un punto P a un plano α es:

d(P, α) =|−−→AαP · ~nα|

|~nα|

Tomando para este caso Aα = Ar, P = As y ~nα = ~ur × ~us, se tiene:

d(r, s) = d(As, α) =|−−−→ArAs · (~ur × ~us)|

|~ur × ~us|

que, por definicion de producto mixto, queda finalmente:

d(r, s) =|det(

−−−→ArAs, ~ur, ~us)||~ur × ~us|

16.7.1 Perpendicular comun

Se llama perpendicular comun de dos rectas que se cruzan a la recta que cortaortogonalmente a cada una de ellas.

p

>

6

- r~ur

Ar

s

~us

As

α

β

~ur × ~us

La perpendicular comun a las rectas r y s que se cru-zan queda determinada por la interseccion de los planos:

α(Ar, ~ur, ~ur × ~us) y β(As, ~us, ~ur × ~us)

Por tanto la expresion analıtica de la perpendicular co-mun es:

p :

{det(

−−→ArX,~ur, ~ur × ~us) = 0

det(−−→AsX,~us, ~ur × ~us) = 0

- Otro metodo: puntos genericos

p

>

6

- r~ur

Pr

s

~us

Ps

α

β

−−→PrPs

Con este metodo se calculan los puntos Pr y Ps, inter-seccion de la perpendicular comun con las rectas r y srespectivamente. Una vez hallados estos, la perpendicu-lar comun es la recta PrPs y la distancia entre las rectas

coincide con |−−→PrPs|.

El punto Pr tiene por coordenadas genericas las corres-pondientes a las ecuaciones parametricas de la recta r:

Pr = (x1 + ta, y1 + tb, z1 + tc) con Ar = (x1, y1, z1) y ~ur = (a, b, c)

De igual manera, las coordenadas de Ps son:

Ps = (x2 + sa′, y2 + sb′, z2 + sc′) con As = (x2, y2, z2) y ~us = (a′, b′, c′)

16.8. AREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIANGULOS 127

El vector−−→PrPs es perpendicular a los vectores ~ur y ~us, luego:

{ −−→PrPs · ~ur = 0−−→PrPs · ~us = 0

Se obtiene ası un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas (los parametros t y s).Calculadas estas, se obtienen los puntos Pr y Ps.

16.8 Areas de paralelogramos y triangulos

- Area del paralelogramo

A

C D

B

Sea ABCD un paralelogramo. Su area es la siguiente:

S(ABCD) = |−→AB ×−→AC|

- Area del triangulo

A

C

B

Sea ABC un triangulo. El area del triangulo es entonces lamitad del area del paralelogramo.

S(ABC) =1

2|−→AB ×−→

AC|

16.9 Volumenes de paralelepıpedos y tetraedros

- Volumen del paralelepıpedo

A

C

D

B

�

-*

Consideremos el paralelepıpedo cuyas aristas en el ver-

tice A determinan los vectores−→AB,

−→AC y

−→AD. El volu-

men del paralelepıpedo viene dado por:

V = |det(−→AB,

−→AC,

−→AD)|

- Volumen del tetraedro

A

C

D

B

�

-*

El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen delparalelepıpedo construıdo sobre sus aristas.

V =1

6|det(

−→AB,

−→AC,

−→AD)|



T16.1 Calcula el angulo de las rectas

r :x − 1

3=

y + 1

4=

z + 1

5y s :

x + 1

−3=

y + 2

−4=

z − 1

5

T16.2 Dadas las rectas

r : 2x = y = z y s : 2x − 4 = y − 1 = z + 3

Halla el angulo que forman y halla, si existe, el plano que las contiene.

T16.3 Halla el angulo que forman los planos

x − y − 3z − 1 = 03x + 2y − z + 3 = 0

T16.4 Halla el angulo que forman el plano α : 3x + y − 2z + 7 = 0 y la recta

r :

{x − 2y − 8 = 0

3y + z + 8 = 0

T16.5 Un cubo tiene los vertices de una de sus caras en los puntos de coordenadas (cartesianasregulares):

A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(−3, 0, 0), D(0,−3, 0)

y los otros cuatro vertices A′, B′, C′y D′ tienen su tercera coordenada positiva (siendo AA′, BB′, CC′yDD′ aristas del cubo).

(1) Determina razonadamente las ecuaciones de las seis caras del cubo y la de los planos ACB ′ yBDA′.

(2) Determina el coseno del angulo diedro formado por los dos ultimos planos citados.

T16.6 Dada la recta de ecuacionx − 3

2=

y

3= z + 1

y los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 0,−3), determina razonadamente:

(1) Las ecuaciones de los planos α y β que pasan por la recta r (es decir, la contienen) y, respec-tivamente, por el punto A y por el punto B.

(2) El coseno del angulo formado por las rectas r y AB.

T16.7 Determina razonadamente si las rectas

r :

{x + y − 2z + 1 = 0

2x − y + z − 1 = 0y s :

{2x + y − z − 1 = 0x − y − 2z + 1 = 0

se cortan o se cruzan. Halla tambien el coseno del angulo que forman sus direcciones.

T16.8 Halla el angulo que forma la recta r : x = y = z con la recta s :

{x + z = 1

y = 0

T16.9 Dado el plano α de ecuacion 2x−y+2z = 4 y el punto A(1, 3,−2), determina razonadamente:

(1) La distancia del punto al plano.

(2) Las coordenadas de la proyeccion ortogonal de A sobre α (es decir, del punto de interseccioncon α de la recta perpendicular a α trazada por A.


T16.10 Halla la distancia entre los planos paralelos:

x + y + z − 3 = 03x + 3y + 3z − 5 = 0

T16.11 Halla la ecuacion del plano paralelo al de ecuacion

2x − 2y + z − 8 = 0

y que diste seis unidades del mismo.

T16.12 Dados los planos α y β de ecuaciones respectivas:

α : 2x − y + 2z = 2β : −4x + 2y − 4z = 1

(1) Prueba que son paralelos y determina la distancia entre ellos.

(2) Determina la ecuacion del plano perpendicular a ambos que pasa por el punto A en que elplano α corta al eje OX y por el punto B en que el plano β corta al eje OY .

T16.13 Se considera el plano de ecuacion x + 3y + z = 7, y los puntos A(1, 1, 1) y B(2, 1,−1).

(1) Comprueba que A y B estan al mismo lado del plano.

(2) Encuentra el punto C situado sobre la perpendicular al plano que pasa por B, a igual distanciadel plano que B, pero al otro lado (es decir, C es simetrico de B respecto al plano).

(3) Determina el punto D en que la recta AC corta al plano.

(4) Comprueba que D es el punto del plano cuya suma de distancias a A y B es mınima.

T16.14 Determina un punto de la recta

r :x − 1

2=

y + 1

3=

z + 2

2

que equidiste de los planos 3x + 4y − 1 = 0 y 4x − 3z − 1 = 0. ¿Es unica la solucion?

T16.15 Sea el punto A(1, 1, 3) y la recta r : x = t, y = 2 + t, z = 2t. Halla:

(1) La ecuacion del plano perpendicular a la recta r que pasa por A.

(2) La interseccion de este plano con la recta dada.

(3) El punto simetrico a A con respecto a r.

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Apuntes-MatematicasII