Base Ortogonal

Ejercicios resueltos

Sea R3 un espacio vectorial definido con producto interno (/). Además, S=(u, v, w) es base de R3 tal que u=(1,-1,1), v=(2,1,1), w=(1,0,1)

A partir de S calcular una base ortogonal de R3 conociendo que:

║v║ = ║w║ = 1, v/(u+v)=0, (v/w)=0, (u/w)=4

Nota: El producto interno (/) no es el usual.

t3 = α 3[s3−(s3/ t 2)(t 2/t 2)

t 2−(s2/t 1)(t 1/ t1)

t1]t 2=α 2[s2−

(s2/ t1)(t1/ t 1)

t 1]( s2/ t 1 )=( v /w )=0

║v║= 1 √ (v / v )=1

║v║= √ (v / v ) ( v /v )=1

v/(u + v) = 0 v/u + v/v = 0

v/u + 1 = 0 v/u = -1

(t1,t1) = (v,v)

t 2=α 2 [ (2,1,1 )−0(1 ,−1,1)] t 2=(2,1,1 )

(s3/t2) = (u/t2) = (v,v) = -1

(t2/t2) = (v/v) = 1

(s3/t1) = (u/w) = 4

t 3=α 3[ (1,−1,1 )−(−1)1

(2,1,1 )− 41(1,0,1)] t3 = (-1,0,-2)

T = {(1,0,1),(2,1,1),(-1,0,-2)}

En R2, determinar x, tal que (3,2) y (1, x+2) sean ortogonales.

Sea: u = (3, 2)

v = (1, x+2)

(u/ v)║u║║v║

=0

(u/ v) = 0

(u/v) = (3+2x+4)

0 = (3+2x+4)

-7 = 2x

x=−72

Ejercicios propuestos

1.- Sea f: M2x2 M2x2 tal que:

f (1 00 0)=(1 0

0 0) f (0 10 0)=( 0 1/2

1/2 0 )f (0 0

1 0)=( 0 1/21/2 0 ) f (0 0

0 1)=(0 00 1)

a ) Dar una aplicación ortogonal para la imagen de f.

b) Completar una base ortogonal para el espacio vectorial M2x2 a partir de la base calculada para la imagen de f.

2.- Sea (R3,R,+,*) un e.v. con producto interno (/)

S = (u, v, w) base de R3, u = (1,-1,1); v = (2,1,1); w = (1,0,1).

A partir de S calcule una base ortogonal de R3 , conociendo que:

║v║= ║w║ = 1, v/(u+v) = 0, (v/w) = 0, (u/w) = 4

Nota: El producto interno(/) no es el usual.

Evaluación

1.- Explique brevemente con sus propias palabras que es base ortogonal.

2.- Cual es la condición necesaria para que exista este tipo de bases.

3.- Ponga un ejemplo de base ortogonal en R2