INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA

Propiedades de los Números Reales

CALCULO DEIFERENCIAL

Alumno: Rosa María Guadalupe Gutiérrez PanalesMatrícula: AL12535518

Docente:Patricia Abril Hernández Herrera

Los números reales son aquellos números que se permiten redactar con una anotación decimal, abarcando de igual manera a aquellos que requieren un desarrollo decimal infinito.

El conjunto de los números reales está compuesto por:

Los números naturales N son:

Los números enteros Z se denotan:

R Reales

QRacionales

Irracionales

Z Enteros

Trascendentes

Algebraicos irracionales

Fraccionarios

NNaturales

Enteros negativos

0Cero

Fracciones propiasFracciones impropias

1Primos

Compuestos

Los números racionales Q son:

Los axiomas en las matemáticas son inferencias que, se aprecian claramente, aceptándose sin probarse, para partir de este punto así demostrando otras formulas.

Por tradición los axiomas se escogen de entre las analizadas “verdades evidentes” ya que hacen posible deducir las demás fórmulas.

Axiomas de la suma:

De los números “a” y “b” resulta por adición un número “z” llamado suma; el cual se expresa:

z=a + b

Demostración:

108 = 25 + 83

Propiedad asociativa de la suma

(a + b) + c = a + (b + c)

Demostración

(6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4)

(9) + 4 = 6 + (7)

13 = 13

Propiedadconmutativa de la suma

a + b = b + a

Demostración

8 + 9 = 9 + 8

17 = 17

Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la suma

a + 0 = 0 + a = a

Demostración

21 + 0 = 0 + 21 = 21

Propiedad inversa de la suma

a + (-a) = (-a) + a = 0

Demostración

51 + (-51) = (-51) + 51 = 0

Axiomas de la multiplicación

De los números “a” y “b” da como resultado de la multiplicación un número “p” llamado producto, se expresa:

p = a ⋅ bDemostración

21 = 7 x 3

Propiedad asociativa de la multiplicación

(a b) c = a ( b c)

Demostración

(6 x 3) x 4 = 6 x (3 x 4)

(18) x 4 = 6 x (12)

72 = 72

Propiedad conmutativa de la multiplicación

a b = b a

Demostración

8 x 9 = 9 x 8

72 = 72

Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la multiplicación

a x 1 = 1 x a = a

Demostración

21 x 1 = 1 x 21 = 21

Propiedad inversa de la multiplicación

a1⋅ a-1 = a1/1 ⋅ 1/a1 = a/a = 1

Demostración

24⋅ 2-4 = 24/1 ⋅ 1/24 = 24/24 = 16/16=1

6/3 ⋅ 3/6 = 18/18 = 1

Axioma de distribución

a (b + c ) = (a b) + (a c)

(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)= (a c + a d) + (b c + b d)

Demostración

5 ( 2x + 6) = (5 ⋅ 2x) + ( 5 ⋅ 6) = 10x + 30

Axiomas de orden

x < y

Leemos como “x” es menor que “y”, la cual cumple las siguientes propiedades que las llamamos axiomas de orden.

Demostración

22 < 34

Propiedad de la tricotomía

Para cualesquiera números reales x y y, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero x<y o x>y o bien x=y

Demostración

Propiedad de transitiva

Si x < yyy< zentonces x < z

Demostración

32<55<63⟹32<63

y<0<6⟹ y<6

Propiedad de monotonía para la suma:

Si x<y entonces x+z<y+z para cualquier número real z

Demostración

x< 6

x + 4 < 6 + 4

x + 4 < 10

Propiedad de monotonía para la multiplicación

Si x<yy z>0 entonces xz<yz

Demostración

x – 5 < 7

5(x – 5) < 7 (5)

5x – 5 < 35

5x < 35 + 5

1/5 (5x) < 40 (1/5)

x< 8

Axioma de completitud

Los números reales R no contienen los vacíos que influyen profundamente a los números racionalesQ. Por dicha diferencia entre los números reales R y los racionalesQ, se tiene que ser totalmente exactos para esta suposición, conocida como axioma de completitud.

El axioma de completitud nos dice que cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.

Un conjunto A⊆Restá acotado superiormente si existe un número b∈R tal que a≤b para todoa∈ A . Al númerob  se le llama una cota superior de A.

Un número real s es la menor cota superior de un conjunto A⊆Rsi cumple los dos criterios siguientes:

ses una cota superior de A; si b es cualquier cota superior de A, entoncess≤b.

A la menor cota superior se le llama también frecuentemente el supremo del conjunto A. Aunque se puede expresar de dos formas; la primera notación es s= lub A, pero en todo caso utilizaremoss=A ¿ para la menor cota superior.

La mayor cota inferior o ínfimo de A se determina de forma semejante y se indica por inf A.

Aunque un conjunto puede contener una sucesión de cotas superiores, sólo puede tener una menor cota superior. Si s1y s2 son ambos supremos para un conjunto A, por lo tanto tomando la segunda propiedad en la definición preponderamos que s1≤ s2 y que s2≤s1. Se concluye que s1=s2 y los supremos son únicos.

Demostración

E={x ϵ R /x=(−1)n

n,nϵ N }

El conjunto Een forma extensiva es:

E={−11 , 12 ,−13 , 14 ,−15 , 16 ,…}Reordenando

E={−1 ,−13 , 15 ,−17 ……, 18 , 16 , 14 , 12 }

Esto no dice que el conjunto Ees acotado ya que se encuentra

k=−3 y K=1

Tal que

k ≤ x≤ K ,∀ x∈ E

O

∃M=3

Tal que

|x|≤M ,∀ x∈E

En efecto

(−1)n

n=x≤1 y x=(−1)n

n≥−3

∴−3≤x ≤1

Pero

1≤3⇒−3≤x ≤3

⇒|x|≤3

Bibliografía

Corry, Leo. (2004). David Hilbert and the axiomatization of physics (1898–1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: Kluwer.

Guerrero, A. (2006). Geometría. Desarrollo axiomático. Bogotá: ECOE.

González, M. y Mancilli, J.. (2007). Algebra Elemental Moderna. Ecuador: LIBRESA.

Stewart,J. et al. (2007), Precalculo, matemáticas para el cálculo, Quinta edición.  

http://es.slideshare.net/jhonsedano7/precalculo-matematicas-para-el-calculo-james-stewart-5ed-edicion-completa