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Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 1 Eleazar Madariaga - UTFSM
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021)
Problemas Resueltos Teorema del Binomio (Binomio de Newton) [email protected] _____________________________________________________________________________
Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM __________________________________
Problema nº 1: Blaise Pascal dio la siguiente definición Sea � � � se define el número � sobre � como: ���� � �!� � ��! · �! Para: � � 0,1,2,3,� , �. y � � � Utilizando la definición anterior y la conversión 0! � 1, compruebe los siguientes resultados.
a) ���� � 1 � ����
b) � ����� � ����
c) � ����� � ���� � ����� �
d) ����� � ���������
e) ������ � ��������� � �� � 1���������
Teorema del Binomio/ Mat-021 Página 2 Eleazar Madariaga - UTFSM
Solución:
a)
��0� � �!� � 0�! · 0! � �!�! · 0! � �!�! � 1
���� � �!� � ��! · �! � �!0! · �! � �!�! � 1
b)
� �� � �� � �!�� � � � ���! · � � ��! � �!�! · � � ��! � ����
c)
� �� � 1� � ���� � �!�� � � � 1��! · � � 1�! � �!� � ��! · �! � �!� � � � 1�� � ��! · � � 1�! � �!� � ��! · �� � 1�!
� �! �� � � � 1�� � ��! · �� � 1�! � �! � � � � 1�� � � � 1�� � ��! · �� � 1�! � ��! � � � � � 1��!� � � � 1�� � ��! · �� � 1�! � �! � � � � � � 1�� � � � 1�� � ��! · �� � 1�!
� � � 1��!� � � � 1�� � ��! · �� � 1�! � � � 1�!� � 1 � ��! �! � �� � 1� �
d)
� ���� � � · �!� � ��! · �! � � �� � 1�!� � ��! �� � 1�! � � � � 1�!� � ��! � � 1�! � � � � 1�!� � � � 1 � 1�! � � 1�!
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� � � � 1�!� � 1 � � � 1��! � � 1�! � � �� � 1� � 1�
e)
�� ���� � � �� � 1� � 1������������
� �� � 1� �� � 2� � 2�
� � ���� � �� � 1� � � 2�!� � ��! � � 2�! Notemos que � � 2�! � �!
������ y �! � �� � 1�� � 2�! � � ���� � �! �� � 1�� � ��! �! � � ���� � �� � 1� �!� � ��! �!
� � ���� � �� � 1� ����
� ���� �� � �� � 1� � �� ����
Problema nº 2: Hallar el termino independiente de ! en el desarrollo de 2!� � �
���
Solución:
2!� � 1!��� � " �12� ���
���2!�������1!��
� "�1�� �12� ���
���2����!�����
Para que se cumpla la condición de independencia, debe tenerse que
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24 � 3� � 0 $ � � 8
Así, el término independiente es
�1�� �128 �2���� � �128 �2� � 7920
Problema nº 3: Hallar el mayor coeficiente numérico de 1 � 5!���
Solución:
1 � 5!��� � " �23� ���
���5!�� � " �23� ���
���5�!�
Para encontrar el mayor coeficiente numérico debemos resolver la siguiente inecuación
�23� �5� ) � 23� � 1�5���
23!23 � ��! �! 5� ) 23!23 � � � 1�! � � 1�! 5���
123 � ��! �� � 1�! ) 1523 � � � 1�23 � ��! � � 1�! 1� ) 1524 � ��
Como los denominadores son positivos no tendremos problema para multiplicar cruzado
120 � 5� ) � $ � * 20
Entonces � tomara los valores � � 0,1,2,3,4,� ,19; de acuerdo con esto el mayor coeficiente se obtendrá si tomamos � � 19, es decir:
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�2319�5��
Problema nº 4: ¿Existirán 2 términos consecutivos con coeficientes iguales en el desarrollo de 3! � 2���?
Solución:
3! � 2��� � " �19� ���
���3!�����2� � " �19� ���
���3����2�!����
Para encontrar los dos términos consecutivos debemos resolver la siguiente ecuación
�19� �3����2� � � 19� � 1�3��������2���
19!19 � ��! �! 3����2� � 19!19 � � � 1�! � � 1�! 3����2���
119 � ��! �� � 1�! � 3219 � � � 1�19 � ��! � � 1�! 1� � 3220 � �� � � 8
Por lo tanto lo dos términos consecutivos con coeficientes iguales son
�197 � 3��2� � �198 �3��2�
Problema nº 5: Use el Teorema del Binomio para probar que + � � �
�1 � 1��� � 2
Solución:
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Del Teorema del Binomio se tiene
�1 � 1��� � " ���� �1����
���
Desarrollando la suma queda
��0� �1��� � ��1� �1��� � " ���� �1����
���� 1 � 1 � " ���� �1����
���
Por lo tanto se puede concluir que
� 2 � " ���� �1����
���� 2
