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general
Rama de las matemáticas que estudia lacantidad considerada de un modo más
general
José A. Sulca [email protected]
La historiahistoria del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y
Babilonia, sus habitantes fueron capaces de resolver;
ecuaciones lineales : ax = b ,
ecuaciones cuadráticas : ax2 + bx = c ,
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ecuaciones cuadráticas : ax2 + bx = c ,
ecuaciones con varias incógnitas : x2 + y2 = z2 ,
sistemas de ecuaciones : x2 + y2 = 100
4x – 3y = 0 .
Profesor: José A. Sulca M.
El papiro RhindDice:
«2/3 sumados y 1/3 restados:hacen 10. Hallar 1/10 de este 10:el resultado es 1: el resto, 9.2/3 de9, es decir, 6, se añaden; total, 15.Una tercera parte es 5. Era 5 loque se había restado: resto, 10».
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Papiro de Rhind – uno de losdocumentos matemáticos mas
antiguos, fue escrito por elegípcio Ahmes
(siglo XVII a.C.)
que se había restado: resto, 10».Traducción:
x + 2/3x - 1/3(x + 2/3x) - 10
En el simbolismo egipcio, laspiernas que andaban hacia la
izquierda significaban«sumar», a la derecha
«restar».
Profesor: José A. Sulca M.
DiofantoDiofanto dede Alejandría,Alejandría, continuocontinuo concon lala tradicióntradición dede EgiptoEgipto yyBabiloniaBabilonia..
DeDe DiofantoDiofanto sese conoceconoce susu librolibro LasLas aritméticasaritméticas;; dondedonde presentapresentamuchasmuchas solucionessoluciones sorprendentessorprendentes parapara ecuacionesecuaciones indeterminadasindeterminadasdifíciles,difíciles, dede allíallí queque sese lele consideraconsidera elel padrepadre griegogriego deldel álgebraálgebra..
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difíciles,difíciles, dede allíallí queque sese lele consideraconsidera elel padrepadre griegogriego deldel álgebraálgebra..
DeDe elel tenernostenernos unun epigramaepigrama dondedonde podemospodemos conocerconocer lala edadedad enen quequeDiofantoDiofanto habríahabría fallecidofallecido.. EnEn elel epigramaepigrama sese dividedivide lala vidavida dedeDiofantoDiofanto enen segmentos,segmentos, cadacada unouno dede loslos cualescuales eses unauna parteparte dede susutotal,total, representadorepresentado porpor xx..
La ecuación es:La ecuación es: xx ––x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = 9x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = 9 ,,
unun cálculocálculo simplesimple muestramuestra queque DiofantoDiofanto vivióvivió 8484 añosaños
Profesor: José A. Sulca M.
Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuacionesEsta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones
encontró acogida en el mundo islámico, en donde se laencontró acogida en el mundo islámico, en donde se la
llamóllamó “ciencia de reducción y equilibrio”.“ciencia de reducción y equilibrio”.
La palabra árabeLa palabra árabe alal--jabrjabr que significa `reducción', es elque significa `reducción', es el
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La palabra árabeLa palabra árabe alal--jabrjabr que significa `reducción', es elque significa `reducción', es el
origen de la palabraorigen de la palabra álgebra.álgebra.
En el siglo IX, el matemático alEn el siglo IX, el matemático al--Jwarizmi escribió uno deJwarizmi escribió uno de
los primeros libros árabes de álgebra, una verdaderalos primeros libros árabes de álgebra, una verdadera
presentación de la teoría fundamental de ecuaciones, conpresentación de la teoría fundamental de ecuaciones, con
ejemplos y demostraciones incluidas.ejemplos y demostraciones incluidas.
Profesor: José A. Sulca M.
Cuadrado de la cosa igual a la cosaCuadrado de la cosa igual a la cosa
Cuadrado de la cosa igual a númeroCuadrado de la cosa igual a número cx
bxx
2
2
6
Cuadrado de la cosa igual a númeroCuadrado de la cosa igual a número
Cosa igual a númeroCosa igual a número
Cuadrado de la cosa más cosa igual a númeroCuadrado de la cosa más cosa igual a número
Cuadrado de la cosa más número igual a cosaCuadrado de la cosa más número igual a cosa
Cuadrado de la cosa igual a cosa más númeroCuadrado de la cosa igual a cosa más número cbxx
bxcx
cbxx
cbx
cx
2
2
2
Profesor: José A. Sulca M.
cbxx 2
4b
2 2
4 44 4
b bC u a dra d os de la s esq u in a s
24 4
4
bCuadrado central retángulos x x c
7
x
cbb
xtotalCuadrado
42
22
cbb
x 42
2
Entonces
Profesor: José A. Sulca M.
A finales del siglo IX, el matemático Abu Kamil enuncióA finales del siglo IX, el matemático Abu Kamil enunció
yy demostró las identidades del álgebra, y resolvió problemaslas identidades del álgebra, y resolvió problemas
tan complicados como encontrar lastan complicados como encontrar las x, y,x, y, zz que cumplenque cumplen :
xx ++ yy ++ zz == 1010
xx22 ++ yy22 == zz22
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xx22 ++ yy22 == zz22
ElEl matemáticomatemático OmarOmar KhayyamKhayyammostrómostró cómocómo expresarexpresar laslas raícesraíces dedeecuacionesecuaciones cúbicascúbicas utilizandoutilizando loslossegmentossegmentos obtenidosobtenidos porporintersecciónintersección dede seccionessecciones cónicascónicas..
Profesor: José A. Sulca M.
Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci
( 1170 - 1241) escribió el libro “Liber Abacci” .
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Fibonacci consiguió encontrar una solución aproximada de laFibonacci consiguió encontrar una solución aproximada de la
ecuación cúbica :ecuación cúbica :
xx33 ++ 22xx22 ++ cxcx == dd
por el método arábigo de aproximaciones sucesivas.por el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
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Los matemáticos italianos del Ferro, Tartaglia y
Cardano resolvieron la ecuación cúbica general.
3 ,
SOLUCIÓN
qpqpxx
10
3
32
3
32
322322
pqqpqqx
Funcionaba bien en algunos casos:333 1010810108;206 xxx
333 21212121;415 xxx
Pero en otros ……
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Como consecuencia, muchos matemáticos de los siglos
posteriores intentaron encontrar la fórmula de las
Más tarde, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontróla solución para la ecuación de cuarto grado.
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posteriores intentaron encontrar la fórmula de las
soluciones de las ecuaciones de quinto grado y más.
Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático
noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois
demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
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La contribución más importante de Descartes fue el
En 1637, el matemático francés RenéDescartes escribió su libro “ La Geometría”,allí introduce símbolos para las incógnitas ypara las operaciones.
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La contribución más importante de Descartes fue eldescubrimiento de la geometría analítica, que reduce laresolución de problemas geométricos a la resolución deproblemas algebraicos.
Su libro contiene también los fundamentos de la teoría deecuaciones, incluyendo la regla de los signos para contar elnúmero de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) deuna ecuación.
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En 1799, el matemático alemán Gauss a sus 20 años dio laprimera demostración rigurosa del teorema fundamental delálgebra : “Toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz
en el plano complejo”
También estableció la interpretación geométrica de un númerocomplejo: x+iy → (x,y) .
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complejo: x+iy → (x,y) .
En esta época; el foco de atención se trasladó de las ecuacionesal estudio de la estructuras algebraicas. Dos ejemplos de dichossistemas son los grupos y las cuaternas.
Los matemáticos franceses Galois y Cauchy, el británico Cayleyy los noruegos Abel y Lie hicieron importantes contribuciones alestudio de los grupos; mientras que el matemático irlandésHamilton descubrió la cuaternas.
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El matemático alemán Grassmann empezó a
investigar los vectores. A pesar de su carácter
abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs
encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran
utilidad para los físicos.
La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó
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La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó
a George Boole a escribir en 1854; un tratamiento
algebraico de la lógica básica.
Desde entonces, el álgebra moderna; también
llamada álgebra abstracta, ha seguido evolucionando
obteniéndose resultados importantes y sobre todo se
han encontrado aplicaciones en todas las ramas de
las matemáticas y en muchas otras ciencias.
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ÁlgebraÁlgebra
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Álgebra clásica Álgebra moderna
Se ocupa deresolver ecuaciones
Se ocupa de lasestructuras algebraicas
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16Profesor: José A. Sulca M.
