ESCUELA:

NOMBRES

v

LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

FECHA:

Ing. Diana A. Torres G.

OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010

1

Ciencias de la Computación

I BimestreBIMESTRE

CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS

MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO

3

INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES

Dibujar la Gráfica de la función f dada por:

Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores.

Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del

comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.

1,1

1)(

3

xx

xxf

4

x se aproxima a 1 por laizquierda

x se aproxima a 1 por laderecha

x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81

f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3

3)(1

xflímx

5

Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:

cxLxf

)(lim

7

Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función

en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.

11)( xxxf

8

x se aproxima a 0 por laizquierda

x se aproxima a 0 por laderecha

x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01

f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499

f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2

9

El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0

f no es definida en x = 0

11)( xxxf

2)(lim0

xfx

10

LÍMITES QUE NO EXISTEN

Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe:

x

x

0xlim

Solución

0,1 xx

x0,1 x

x

x

11

• Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán

f(x) = 1 y f(x)=-1

)0,( )0,(Los valores

negativos de x dan como

resultado |x|/x = -1.

Los valores positivos de x dan como resultado |

x|/x = 1.

Límite no existe

20x

1lim

x

12

LÍMITES QUE NO EXISTEN

Ejemplo: Comportamiento no acotado.Analizar la existencia del límite:

Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:

1001

)(10

10

2

xxfx

10000001

)(1000

10

2

xxfx

13

f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el

límite no existe.

xsen

1lim

0x

14

LÍMITES QUE NO EXISTEN

Ejemplo: Comportamiento oscilante.Analizar la existencia del límite:

x 2/∏ 2/3∏ 2/5∏ 2/7∏ 2/9∏ 2/11∏

Sen (1/x) 1 -1 1 -1 1 -1

Por tanto el límite no existe

15

Conclusiones:

1. f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda.

2. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c.

3. f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.

16

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

cxLxf

)(lim

Lxfentoncescx )(,0

CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

18

PROPIEDADES DE UN LÍMITE

Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

bbcx

lim cx

cx

lim

nn

cxcx

lim

19

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

33lim2

x

4lim4

x

x

42lim 22

2

x

x

20

Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:

1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia

3. Producto:

Lxfcx

)(lim Kxgcx

)(lim

bLxfbcx

)(lim

KLxgxfcx

)()(lim

LKxgxfcx

)()(lim

21

4. Cociente:

5. Potencias:

0,)(

)(lim

KquesiempreK

L

xg

xfcx

nn

cxLxf

)(lim

22

Ejemplo: Límite de un Polinomio

3lim4lim)34(2

2

2

2

2 xxx

xxlím

19

316

3)2(4

3lim)lim(4

2

2

2

2

xx

x

23

Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

)()(lim cpxpcx

)(

)()()(lim

cq

cpcrxr

cx

24

Ejemplo: Límite de una Función racional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

1

22

1

x

xxlímx

22

411

2112

1

xlím

25

Teorema 1.4:Límite de una Función radical

Si n es un entero positivo:

• Para toda c si n es impar• c > si n es par

nn

cxcx

lim

26

Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta

Si f y g son funciones tales que: y

Entonces:

Lxgcx

)(lim )()(lim LfxfLx

)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

27

Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas

Sea c un número real: csenxsen

cx

)(lim cx

cxcos)cos(lim

cxcx

tan)tan(lim

cxcx

cot)cot(lim

cxcx

sec)sec(lim

cxcx

csc)csc(lim

28

Ejemplos

00tan)tan(lim0

xx

)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx

00)(limlim 22

0

2

0

xsenxsen

xx

CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O

UNILATERALES

30

Definición de Continuidad

Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

)()(lim

)(lim

)(

cfxf

existexf

definidaestacf

cx

cx

31

Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.

Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

32

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

33

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

34

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

35

Ejemplo límite Lateral

04lim 2

2

x

x

Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

24)( xxf

36

Teorema 1.10 Existencia de un límite

LxfyLxfcxcx

)(lim)(lim

Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

37

Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado

)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n

La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

38

Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado

Analizar la continuidad de

Se concluye que f es continua en [-1,1]

21)( xxf

)1(01lim 2

1

fx

x

)1(01lim 2

1fx

x

Continua por la derecha

Continua por la izquierda

39

Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad

Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c:

Múltiplo escalar: bf

Suma o Diferencia: f ± g

Producto: fg

Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

LÍMITES INFINITOS

41

Definición de Límites Infinitos

Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

cxxf

)(lim

cxxf

)(lim

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

42

1

1lim1 xx

1

1lim1 xx

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

43

21 )1(

1lim

xx

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

44

21 )1(

1lim

xx

45

Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos

Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:

Suma o Diferencia:

Producto:

)(lim xfcx

Lxgcx

)(lim

)()(lim xgxfcx

0,)()(lim

,)()(lim

)()(lim

Lxgxf

oLxgxf

xgxf

cx

cx

cx

46

Cociente:

0)(

)(lim xf

xgcx

47

Ejemplo: Cálculo de Límites

Calcular los siguientes límites

20

20

0

20

11lim

1lim

11lim

11lim

x

x

x

x

x

x

x

BIBLIOGRAFÍA

CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.

CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

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