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Introduccion a la teoria del caos y los sitemas caoticos
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INTEGRANTES:POVEDA PAREDES GILMER
CASTRO VENTURA VICTOR
TRABAJO DEDICADO A LA ESCUELA DE ING.
ELECTRONICA
CAOS Y TURBULENCIA EN SISTEMAS ELECTRONICOS
CAOS
DEFINICION
ORIGEN
APLICACIONES
CARACTERISTICAS
ANTECEDENTES
DERIVA DEL IDIOMA GRIEGO : Κάος
HACE REFERENCIA A LO IMPREDECIBLE
HACE REFERENCIA A CONFUSION O DESORDEN
HENRI POINCARÉ1854-1912
- Estudió el problema de los tres cuerpos.-Noción de bifurcación-Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
- Estudió el problema de los tres cuerpos.
- Noción de bifurcación.
- Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”.
Un poco de historia
Stephen Smale1940-Medalla Fields, 1966
- En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”.
Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas!
- Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con dinámica muy compleja.
Un poco de historia
Atractor de E. Lorenz (metereólogo)
- 1963. Modelo atmosférico y atractor.
- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas? - Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones.
- Modelos de fenómenos impredecibles.- Modelos simples de fenómenos complejos.
Un poco de historia
Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.
- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.
- Introduce concepto de “atractor extraño”.
- Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional:
v´(t)=fr(v), r>0
- Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica
Un poco de historia
- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.
- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”. - 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales.
- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines”
- 1978. La constante de M. Feigenbaum.
Teoría del Caos, ¿revolución científica?
2 - Sustitución de modelos
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?
3 - El papel de los ordenadores
“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”.
HENRI POINCARÉ1854-1912
TEORIA MATEMATICA
EL SIGNIFICADO DE CAOS ES EL DE UN SISTEMA QUE ESTÁ GOBERNADO POR SIMPLES LEYES FÍSICAS,
PERO QUE PUEDE COMPORTARSE IMPREDECIBLEMENTE AL AZAR
UN SISTEMA DINÁMICO SE DICE QUE ES CAÓTICO CUANDO ES
DETERMINISTA, IMPREVISIBLE Y MUY SENSIBLE A CONDICIONES
INICIALES
DEFINICION
SE OCUPA DE SISTEMAS QUE TIENES UN COMPORTAMIENTO APARENTEMETE
IMPREDECIBLE Y ALEATORIO
DEFINICION
CAOS DENOTA UN ÁREA ÚNICA DE “INESTABILIDAD ENLAZADA”, COMO ENTIDADES QUE SE MUEVEN ENTRE EL EQUILIBRIO POR UN LADO Y ENTRE AL
AZAR POR OTRO LADO.
CAOS ES EL OBSCURO Y SILENCIOSO ABISMO DE DONDE PROCEDE LA EXISTENCIA DE TODAS LAS COSAS
DEFINICION
La Noche y el Erebo se unieron para producir el Amor, que originó la Luz y el Día
El Caos generó la sólida masa de la Tierra , de la que surgió el Cielo estrellado y lleno de nubes, Madre Tierra (Gaya) y su
marido Padre Cielo (Urano), padres de las primeras criaturas del universo
CARACTERISTICAS
EL MUNDO NATURAL TIENEDE A UN COMPORTAMIENTO CAOTICO
LOS ESQUEMAS DEL CAOS ESTÁN RELACIONADOS CON LOS QUE SE OBSERVAN EN LA GEOMETRÍA FRACTAL.
EN LOS SISTEMAS CAÓTICOS NO LINEALES LA RELACIÓN ENTRE CAUSAS Y EFECTOS SE DESVANECEN EN UNA RETROALIMENTACIÓN TIPO CIRCUITO CERRADO, QUE A PARTIR DE PEQUEÑAS VARIACIONES PUEDE GENERAR CONSECUENCIAS DESCOMUNALES.
CARACTERISTICAS
SENSIBLE A CONDICIONES INICIALES
EJEMPLOS DE CAOS
LA VIDA MISMA TIENE COMPORTAMIENTO CAOTICO Y ESTA REGIDA POR EL AZAR, ANALIZAR EL SIEGUIENTE CASO DE LA VIDA COTIDIANA
EJEMPLOS DE SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS.
- Modelo de Lorenz (dimensión 3)- Modelo de Hénon(dimensión 2). Fractales.- La ecuación logística de Mau(dimensión 1)
APLICACIONES
EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL
EN EL ARTE
EN LA NATURALEZA
EN EL CUERPO HUMANO
EN LA RELIGION
Un ejemplo de modelo determinista
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Problema real (física, biología, meteorología...)
Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
ATMÓSFERA
Calor
Lámina rectangular
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
x´(t)= 10(y-x)
y´(t)=28x-y-xz
z´(t)=xy-8x/3
Modelo matemáticoEcuaciones diferenciales (no lineales).
Frío
ATMÓSFERA
Calor
Lámina rectangular
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
(x0, y0,z0)
Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2,z2)
...
ITERACION
Primer ejemplo. El Atractor de Lorenzsegundo temperatura
1 -14.052872
2 2.757209
3 -7.552990
4 6.621076
5 -8.084304
6 -9.952578
7 -5.981163
8 -13.023813
9 0.041168
10 9.314363
11 4.558919
12 7.375924
13 -14.856846
14 -0.246566
segundo temperatura
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -9.952000
7 -6.120309
8 -12.646284
9 -0.724073
10 11.848833
11 -1.204758
12 6.826824
13 13.773982
14 1.474239
(x0, y0,z0)
Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2,z2)...
ITERACION
Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)...
(1/3y, 1+x-7y/5)
(x,y)
Otros ejemplos.
Atractor de Ikeda (Optica)
a + b z exp i[k - p/(1 +|z|2)]
z=(x,y)
a,b,k,p parámetros
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z2+c
z
c=-0,2-0,7i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z3+c)/(dz)
z
c=0,001
d=0,95-0,31225i
Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z5+c)/z3
z
c=0,001
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Brocoli IFS
F
Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Helecho de Barnsley
Función 1 Función 2 Función 3 Función 4
a 0 0,2 -0,15 0,75
b 0 -0,26 0,28 0,04
c 0 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0 0 0 0
f 0 1,6 0,44 1,6
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
Problema real (física, química,biología...)
Modelo Matemático (Iteración)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
x0
Condición Inicial
Regla
x1
Regla
x2
...
ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An c=tasa de crecimiento
An+1= c An (M-An)
M= población máxima admitida
se normaliza y...
xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística
x c x (1-x) ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An c=tasa de crecimiento
An+1= c An (M-An)
M= población máxima admitida
se normaliza y...
xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística
x c x (1-x) ITERACION
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
cn-cn-1
cn+1-cn4,669201...
¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!
Ele efecto mariposa
es un concepto que hace referencia a la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos
La idea es que, dadas unas condiciones iniciales de un determinado sistema caótico, la más mínima variación en ellas puede provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes
Sucediendo así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande
Su nombre proviene de las frases: "el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo" (proverbio chino) o "el aleteo de las alas de una mariposa pueden provocar un Tsunami al otro lado del mundo" así como también "El simple aleteo de una mariposa puede cambiar el mundo"
Este nombre también fue acuñado a partir del resultado obtenido por el meteorólogo y matemático Edward Lorenz al intentar hacer una predicción del clima atmosférico
TURBULENCIA
DEFINICION
ORIGEN
APLICACIONES
CARACTERISTICAS
DEFINICION
TURBULENCIA O FLUJO TURBULENTO ES UN RÉGIMEN DE FLUJO CARACTERIZADO POR BAJA DIFUSIÓN DE
MOMENTO
flujo turbulento se denomina al movimiento de un fluido que se da en forma caótica
las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran
pendiente
variaciones pequeñas en la entrada producen grandes cambios en la salida
Caos Ruido
Dadas dos condiciones iniciales incluso las muy cercanas
la diferencia en la forma de los estados crece exponencialmente y continuamente
La evolución de los estados es siempre aleatoria
Caracteristica Caos es un sistema extremadamente complejo (entendiendo complejo como un proceso que obedece patrones complicados de estudio, pero aun así sigue algún tipo de patrón)
ruido es un sistema aleatorio (no sigue ningún tipo de patrón predictivo).
Principio: El mensaje es mezclado con caos. Asi, no se puede distinguir el mensaje del caos que se asemeja y confunde con ruido. Entones, un oyente furtivo solo entiende ruido
Mensajerecuperado
transmisor Caotico
receptor
+
+
mensaje
ENCRIPTACION
* La sincronización del caos es posible si el receptor es el adecuado.
Receptor
Làser
Caòtico
Làser
Caòtico
transmisor
mensaje
* La amplitud del mensaje tiene que ser menor que la portadora.
* El mensaje no tiene que interferir con caos
Laurant Larger, University of Franche-Comté, France
Los escenarios mas importantes son: Generación del caos Construcción del receptor que puede reproducir
exactamente lo que hace el transmisor
Entonces, lo que buscamos en nuestros estudios es: ¿como podemos ocultar un mensaje confidencial garantizando que nuestro interlocutor lo decodificara?
caos en la amplitud Caos de la fase
Hay dos tipos del caos:
Después la generación del caos, el mensaje se pone por modulación sea con la amplitud sea con la fase
Transmisor
I
Fibra EspejoReceptor
I trtt
Espejo
P Emisor (x105)
P R
ecep
tor
(x10
5 )
Sin acoplamiento
P Emisor (x105)
P R
ecep
tor
(x10
5 )
Con acoplamiento
Generalmente, la información es transmitida en forma digital: Una larga secuencia de “1” y “0”.
Ejemplo, el códigoa 01100001
b 01100010
c 01100011
Onda portadora
Mensaje: “uib”
Señal transmitida
28 =256
transmisor Caotico
receptor
+
+
2.- Sistemas caóticos Comunicaciones ópticas caóticas
Diodo laser en régimen caótico (“feedback”)El mensaje se esconde en la portadora caótica.El receptor se sincroniza a la portadora caótica.Extracción del mensaje.
¡El caos puede ser util!
La comunicación caótica necesita tres procesos muy importantes:
1. La generación del caos: Se puede generar caos de dos maneras diferentes
2. La construcción de un receptor adecuado que puede sincronizar casi-perfectamente con el transmisor.
3. Algunas condiciones de seguridad como la amplitud del mensaje comparado a el del caos.
Pero el mensaje decodificado en la majaría de los casos se sale con una pequeña diferencia comparado al mensaje original
Así, seguimos con Sr. Pep que con los experimentos podría explicar mas el origen de esta diferencia
RecapitulandoPropiedades de un sistema caótico
- La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.
- Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración
- El atractor es un fractal.
- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.
Recapitulando...Regularidades (orden) de un sistema caótico
- Autosemejanza en atractores. Dimensión.
- La solución al modelo acaba convergiendo al atractor.
- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov
- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)
Teoría del Caos, ¿revolución científica?
2 - Sustitución de modelos
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?
3 - El papel de los ordenadores
DISEÑO DE CIRCUITO PARA SIMULAR LA GRAFICA DEL ATRACTOR DE LORENTZ
GRAFICA OBTENIDA USANDO EL SIMULADOR MULTISIM