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Cuaderno de Actividades: Física I
2) Dinámica de una partícula
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 42
Cuaderno de Actividades: Física I
2) Dinámica de una partícula
Describe el movimiento a partir del concepto de FUERZA (CF vectorial)
Cantidad física derivada en el SI
Permite representar interacciones:
Interacción gravitacional(IG)
o Fuerza gravitacional ≡ W (peso)
Interacción electromagnética (IEM)
o Fuerza E.M. = f (fricción)o Tensióno Comprensióno Fuerzas de contacto
IND {de cierta forma se cumplen las fuerzas}
INF {idem}
Hay que recordar que este concepto fue introducido por I. Newton en la descripción del movimiento de los cuerpos.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 43
Cuaderno de Actividades: Física I
2.1) Leyes de Newton
Estas leyes constituyen las leyes del movimiento de los cuerpos (v <<<c)
Estas leyes son válidas para los observadores inerciales (describen la Física {mecánica}en forma equivalente).
“Os” Inerciales:
PRIMERA LEY
Todo cuerpo conservará su estado de reposo v MRU mientras no actúe sobre el una fuerza resultante (Fza resultante, FR)
Reposo
o si 1 2 3 0RF F F F≡ + + ≡rr r r r
MRU
Observación:
Esta 1ra ley pretende “conocer” a la fuerza como aquella que produce cambio en el estado de movimiento de los cuerpos.
En los “Principia”, la obra cumbre de Isaac, estas Leyes aparecen en el tomo I, en muchos casos la fuerza resultante asume solo una fuerza.
¿? Hacer monografía sobre la vida de Isaac Newton.
¿? Leer la Leyes en los Principia.
¿? Cuál es el correcto nombre de esta obra.
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0v ≡rr
v cte≡r 't t≡
Tierra (reposo) O O’
1Fr
2Fr
3Fr
44
Cuaderno de Actividades: Física I
SEGUNDA LEY:
Si la fuerza resultante es diferente de 0r
, entonces, el cuerpo acelerara.
// Ra Frr
1
Ra Fm
≡
rr
La cantidad “m” se determina experimentalmente y es denominada PROPIEDAD MASA DEL CUERPO.
m ≡ ml : masa inercial se opone a los movimientos
m ≡ mg: masa gravitacional favorece a los movimientos
⇒ m ≡ ml ≡ mg : de esta forma Newton resuelve magistralmente la disyuntiva.
La segunda ley establece un orden de hechos:
Causa: RFr
Efecto: ar
Se desarrolla la corriente filosófica basada en el llamado Principio de Casualidad ⇒ Física clásica.
TERCERA LEY:
Las fuerzas en la naturaleza aparecen apareadas.
1Fr
: acción ≡ Ar
2Fr
: reacción ≡ Rr
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FR ≠ 0r
ar
2Fr
1Fr
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Cuaderno de Actividades: Física I
Características:
i) Actúan sobre cuerpos diferentes.
ii) A R≡ −r r
Observaciones:
k) El estado de reposo o MRU suele ser llamado estado de EQUILIBRIO o INERCIAL.
kk) En particular el equilibrio con MRU suele ser llamado estado natural, libre de los cuerpos.
¿? Un cuerpo está en equilibrio en los puntos de Lagrange.
kkk) La forma operacional de la segunda ley es:
RF ma= r
p mv=r r
: ;R
dF p m cte
dtFI ≡ =r
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Cuaderno de Actividades: Física I
kv) DCL (Diagrama Cuerpo Libre): Consiste en aislar al cuerpo (o parte del sistema), graficando todas las fuerzas actuantes. Recordar que las fuerzas son representaciones de interacciones, por lo tanto, en el DCL deberán de existir tantas fuerzas como interacciones experimente el cuerpo.
Ejemplo 1) Determine la fuerza constante F que se necesita para acelerar un automóvil (m = 1000 kg) por una carretera llana desde el reposo hasta 20 m/s en 10s.
SOLUCION:
DCL (m):
Asumiendo que la fuerza de fricción es despreciable,
y
W x
F
N
De la 2da Ley: RF ma≡r r
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )RF Fi Nj wj Fi N w j ma mai→ ≡ + − ≡ + − ≡ ≡r r
Igualando componentes:
x: F ma≡ : 0y N w N w∧ − ≡ → ≡
Ahora, usando la cinemática hallamos la a constante,
(10) (0) 202
10 0 10
v va
−= = =−
Por lo tanto,
(1000)(2) 2F kN≡ ≡
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10s
V0 = 0 V1 = 20 m/s
47
Cuaderno de Actividades: Física I
Ejemplo 2) Un bloque de hielo cuya masa es de 15 kg se desliza 20 m sobre una superficie horizontal antes de pararse. Si su velocidad inicial era de 15 m/s, determine:a) La fuerza de rozamiento entre bloque y superficie.b) El coeficiente de rozamiento cinético µk.
SOLUCION: De la dinámica,
ΣFy = 0 → N – mg = 0 ⇒ N = mg
ΣFx = ma → f = ma ⇒ f Nµ− = − = maa
gµ→ ≡ −
De la cinemática,
2 20 0 0
1 1
2 2x x v t at x v t at= + + → = +
0 15 15fv va a
t t t
− − −= = → =2
15 1 1520 15
2a
a a
− − → = +
21 1520
2 a= − ⋅
215
405,6a a = −= − →
)a f = ma= (15) (-5,6)= -84 84f→ ≡ −
5,6) 0,
16
0 kk gb
aµ µ− → =≡ − ≡
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20 m x
mg
15g v0 = 15 m/s vf = 0 f N
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Cuaderno de Actividades: Física I
Ejemplo 3: Analice los pares A-R de m1.
SOLUCION:
DCL (m1):
Ejemplo 4: Una caja de masa 100 kg descansa sobre el suelo de un montacargas. Determine la fuerza que la caja ejerce sobre dicho suelo si el montacargas.
a) Arranca hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2.b) Arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2. Asuma g=9,8m/s2.
SOLUCION: Haciendo el DCL (m), la fuerza A es la fuerza que ejerce la caja al piso del montacargas,
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m1
µ ≠ 0
m2
W1 v
T
f
N1
-N1
-f
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Cuaderno de Actividades: Física I
a) ΣFy = ma
N – mg = maN = m (a+g) = 100 (3 + 9,8) = 1280 N
b) ΣFy = ma mg – N = ma ν N – mg = m (-a)N = m (g – a)N = 100 (9,8-2) = 780 N
Ejemplo 5) Sobre una superficie plana y horizontal se apoya un bloque que pesa 1000 N, según se indica en la figura. Determinara) El módulo de la fuerza F que produciría una aceleración de 1,5
m/s2, si la superficie fuese lisa.b) La aceleración que originaria una fuerza F de 500 N si el
coeficiente de rozamiento cinético, µk, entre bloque y suelo fuese 0,25.
SOLUCION: Haciendo DCL de la caja y descomponiendo las fuerzas en x-y,
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a
a
W m
a y R=N
x
A
F y 37°
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Cuaderno de Actividades: Física I
a) ΣFx = ma
Fcos37 = m a
100 1,5
187,5cos37 cos37
maF
×= = ≡
ΣFy = 0 N – w – Fsen37 = 0
b) F = 500 N µk = 0,25
ΣFx = m.aFcos37 – f = maFcos37 – µN = ma
N=?: ΣFy = 0 N – w – Fsen37 = 0 N = mg +Fsen37
Fcos37 – µ (mg +Fsen37)= ma500 (4/5) – (0,25) (1000 + 500 (3/5)) = 100 a
a=0,75
Ejemplo 6) En la figura los cuerpos A y B pesan 250 N y 225 N respectivamente. El coeficiente de rozamiento cinético µk para el cuerpo B vale 0,20 y al sistema se libera partiendo del reposo. Durante el movimiento de los cuerpos determine,
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Fx v F Fy w y 37°
f
N
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Cuaderno de Actividades: Física I
a) La aceleración del cuerpo A. b) La tensión del cable que une los cuerpos. c) La distancia recorrida por el cuerpo B durante los primeros 5
segundos de movimiento.
2xA + xB = cte( la longitud de la cuerda es cte)
2 0A Bv v+ =2 0A Ba a+ =2aA + aB = 02aA =- aB
2| aA| = |aB|…….(1)
Para A:
ΣFy =mAg-2T=mA aA…….(2)
Para B:
ΣFx =mBaB=T- mBgsenθ-f……(3)
ΣFy = 0: N – mB gcosθ = 0……..(4)
Resolviendo (1), (2) (3) y (4) aA =? aB =? T =?
2,2) Algunas fuerzas especiales
i) Fuerza de fricción, fr
Es una fuerza que aparece durante el desplazamiento (o intento de desplazamiento) relativo de superficies. Se opone siempre a dicho desplazamiento.
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mBgsenθ T mBgcosθ T T B y y N SR
v mBg f x 4 A 3 θ x mAg
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Cuaderno de Actividades: Física I
→ fr
por deslizamiento
Es una fuerza de procedencia electromagnética y se estudia de dos formas:
→ Experimental: Descripción fenomenológica
v
Hace ∼ 500 años: Coulomb, Amontons.
→ Analítica: Nanotribología
Modelos de f a nivel, atómico – molecular, propuestos hace 15 años.
Descripción Experimental
i) 0v ≡rr
F = fs → Fmax = fs, max = µs N
F > Fmax → v ≠ 0
Fmax : caracteriza el estado de movimiento inminente
ii) v ≠ 0
fk ≡ µk N
fk ≤ fs ⇒ µk ≤ µs
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F
f
f
µsN=fs,max
µkN
F max F
0v ≡r 0v ≠rr
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Cuaderno de Actividades: Física I
Observación: f generalmente modelada por el experimento.
f ≡ a + bv + cv2 + … ↑ ↑ ↑
Propuesta Experimental: “La velocidad limite”, vL
Mediante un montaje experimental sencillo es posible corroborar uno de los resultados más notables de la fuerza de fricción, esto es , cuando se le puede modelar en función a la velocidad, pudiendo comprobar rápidamente la predicción teórica.
¿? Importancia de la velocidad limite. Aplicaciones
ii) Fuerza Gravitacional
Ley de la gravitación universal
→ I. Newton
Teoría general de la relatividad
→ A. Einstein
1 22
Gm mF
r=
211
26,67 10
NmG
kg−≡ ×
“Leyes” de Kepler
→J. Kepler
I. Orbitas
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m2
-Fm1 F r
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Cuaderno de Actividades: Física I
II. Velocidad Areal
dActe
dt=
III. Periodos Orbitales
2 3 ( , )T c R c c M centro gravitacional≡ ← ≡
iii) Fuerza centrípeta, Fcp
Fuerza resultante de todas las fuerzas radiales dirigidas hacia el centro de curvatura.
, 1 2cp R radial r rF F F F≡ ≡ −
iv) Fuerza elástica: Ley de Hooke
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F2r F1
= 0 • F1r F2
P∈
K m x 0
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Cuaderno de Actividades: Física I
Fres = - kx
Describe adecuadamente movimientos periódicos oscilantes.
2,3) Dinámica del movimiento Circular
Aplicando la segunda Ley y escribiéndola en los ejes radial y tangencial obtendríamos las ecuaciones suficientes par describir el MC adecuadamente.
( )R t rF ma m a a≡ ≡ +r r r r
R Rt RrF F F≡ +r r r
2
2: t
RtRt t
dv d sF m mt F ma
dt dt≡ ≡≡ ←
2 2
: tRr cp c cpr p
vn r cp F F ma m Fa m m
RR
s≡ ≡ ≡ ≡≡ ≡ ≡ ←&
Estas ecuaciones también se podrían escribir en la variable angular. Si se conocen las fuerzas se obtendrían 2 ecuaciones en variables cinemáticas, resultando ser una descripción ya conocida.
Aplicaciones:
S2P7)
Un cuerpo de masa m ≡ 10 kg se mueve sobre un plano rugoso (µk ≡ 0,2) como se indica en la figura. La longitud de la cuerda es 1 m y su masa m0 ≡ 0,2 kg. Considerar la cuerda indeformable. Si la mano aplica a la cuerda una fuerza de 122 N, determine:
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m0 m
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Cuaderno de Actividades: Física I
a) Realice los DCL de m y m0 .b) ¿Qué fuerza le aplica la cuerda a m?c) ¿Como modificamos el problema para que el sistema (m + m0) este en
equilibrio?
SOLUCION:
a)
b) Calculamos la aceleración del sistema (m +m0) ,
: Rx F ma≡
0( )R k kF F f m m a f Nµ≡ − ≡ + ← ≡
/ 0 /: :ReM C M Cy N R w w R acciondelamanocontra la cuerda+ ≡ + ←
Del DCL(m0) de la parte a) / //0
/ 2BM C M CC C BR ARw
A ≡≡ ≡ ≡
0 0( )2
: (0,2) (101) 20,22 k
wy fN
www µ≡ + → ≡ × ≡≡ +
Con lo cual la aceleración,
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RB/C RM/C
T F
W0
W Ac/B
T fk
N
a y W W0
x
F fk RM/C
N
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Cuaderno de Actividades: Física I
0
0
2( )
122 20, 210,0
10, 2
wF w
am m
µ−≡
− +
+≡
≡
Analizando el sistema bloque-cuerda de longitud x
De la 2da Ley,
( )
( )
0
0
0
0 0 0
0 0 0
2( )
( ) 2
k
k
wF w
m m wT x m x a f
mT x f m x a
l
m x wl l m m
µµ
− + ≡ + + ≡ + + + +
− ≡ +
( ) ( )0 (20,2) 10 (10) 120,2T x ≡ ≡ + ≡
c) Una opción seria que F=20,2
S2P14) El sistema mostrado está en reposo cuando se aplica una fuerza de 150 N al collarín B.
a)Si la fuerza actúa durante todo el movimiento, determínese la velocidad del collarín B al golpear al soporte C.
b)¿Después de qué distancia d se deberá eliminar la fuerza de 150 N si el collarín debe llegar al soporte C con velocidad cero?
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W a
x T(x)f
N
0,6 m C 8 kg
B 150 N
3 kg A
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Cuaderno de Actividades: Física I
SOLUCION:
a) ( )0 0v ≡
De la 2da Ley:
2 B B BF T m a m a− ≡ ≡
{ }2A A A AT w m a m a− ≡ ≡
2 BF T m a− ≡ 1)
2A AT m g m a− ≡ 2)
2 2 4A AT m g m a− ≡ 2’)
{ } { }(1) (2') : 2 4
2
4A B AA
B A
F m gaF m g m
mm a
m
−≡+ ≡+
− + →
150 2 3 10 9 0
8 4 3a
− × ×∴ ≡ ≡+ × 2 0
4,5≡ → 4,5a ≡
Ahora, de la cinemática:
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T
2a
WA
a
B F T T
a t C ∆x D t ≡ 0
V(t) ≡ ? 0,6 V(0) ≡ 0
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Cuaderno de Actividades: Física I
( ) ( ) ( ) { } 1/ 22 2 0 2 2 4,5 0,6v t v a x v t≡ + ∆ → ≡ × × → ( ) 2,3cv v t≡ ≡
b)
{ }0 2 2 3 1
30 60
34 8 4 3 20A
B A
ma
ma
g
m
− − × × −≡ ≡ ≡ ≡ − →− +
−×
≡%%
Tramo DE: 2 2 4,5Ev d≡ × ×
Tramo EC: ( ) ( )2 20 2 3 0,6c Ev v d≡ ≡ + × − × −
De estas 2 últimas Ecs:
( )2 29 6 0,6E Ev d v d≡ ≡ ≡ −
15 3,6d ≡ → 0,24d ≡
S3P2)
El automóvil de masa m de la figura baja por el plano inclinado con rapidez V0. El coeficiente de fricción cinética entre las ruedas y el piso es µk y el ángulo que forma al plano inclinado con la horizontal es θ. Si en cierto instante el chofer aplica los frenos para evitar que las ruedas giren, halle:
a) El desplazamiento luego de aplicar los frenos hasta que se detiene. (USE METODOS DINAMICOS y CINEMATICOS)
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ã a C E d D
• • •
θ
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Cuaderno de Actividades: Física I
b) La masa del automóvil, si se conoce wc = trabajo de las fuerzas conservativas.
SOLUCION:
a) De la 2da Ley,
cos
cos
R kF f wsen ma
mg mgsen ma
g gsen a
θ
µ θ θ
µ θ θ
≡ − + ≡
− + ≡
− + ≡
De la cinemática,
( ) ( )2 2 200 2 0 2v t v a x v a x≡ + ∆ → ≡ + ∆
0
20
2
cos
2( cos )
2
va g gs
vx
nx
g se
e
g n
µ θ θ
µ θ θ
≡ − ≡ −
−
+∆
∆ ≡
…
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V(0) ≡ V0 m v(t)≡0 A
N W B θ
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Cuaderno de Actividades: Física I
S2P26) Sobre el sistema que se muestra en la figura actúa una fuerza F(t) ≡ (2 t + 2) N. Las masas m1 ≡ 20 kg y m2 ≡ 5 kg tienen coeficientes estático µs ≡ 0,4 y , cinético µk ≡ 0,2. El sistema parte del origen con rapidez cero, determinar:
a) Los DCL de m1 y m2 para todo tb) Las aceleraciones de m1 y m2 en todo t.
SOLUCION:
El T de 2 “quiebre” lo marcara t/ f(t) ≡ fs, max entre los bloques
a)…
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m2
F m1
0 x
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