Cinematica

CINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICACINEMÁTICA

Luis David Narváez

CINEMÁTICA (MRU)CINEMÁTICA (MRU)CINEMÁTICA (MRU)CINEMÁTICA (MRU)

Estudia las propiedades geométricas delas trayectorias que describen los cuerposen movimiento mecánico,independientemente de la masa delcuerpo y de las fuerzas aplicadas.

CONCEPTO DE CINEMÁTICACONCEPTO DE CINEMÁTICA

Estudia las propiedades geométricas delas trayectorias que describen los cuerposen movimiento mecánico,independientemente de la masa delcuerpo y de las fuerzas aplicadas.

1 . SISTEMA DE REFERENCIA1 . SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, esnecesario asociar al observador un sistema de coordenadascartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se ledenomina sistema de referencia.


1 . SISTEMA DE REFERENCIA1 . SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, esnecesario asociar al observador un sistema de coordenadascartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se ledenomina sistema de referencia.

22. MOVIMIENTO MECÁNICO. MOVIMIENTO MECÁNICOEs el cambio de posición que experimenta un cuerporespecto de un sistema de referencia en el tiempo. Esdecir, el movimiento mecánico es relativo.


22. MOVIMIENTO MECÁNICO. MOVIMIENTO MECÁNICOEs el cambio de posición que experimenta un cuerporespecto de un sistema de referencia en el tiempo. Esdecir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOa) MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistemade referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se diceque está en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto deun sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa.Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llamacurvilíneo y si es una recta, rectilíneo.


3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOa) MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistemade referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se diceque está en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto deun sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa.Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llamacurvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c) Recorrido (e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).d) Desplazamiento (∆r)Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio

de posición que experimenta un cuerpo. Se consigueuniendo la posición inicial con la posición final. Esindependiente de la trayectoria que sigue el móvil.

e) Distancia (d)Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo

del vector desplazamiento. Se cumple que:


c) Recorrido (e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).d) Desplazamiento (∆r)Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio

de posición que experimenta un cuerpo. Se consigueuniendo la posición inicial con la posición final. Esindependiente de la trayectoria que sigue el móvil.

e) Distancia (d)Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo

del vector desplazamiento. Se cumple que:

44.. MEDIDAMEDIDA DELDEL MOVIMIENTOMOVIMIENTOa) Velocidad media (Vm)Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez delcambio de posición que experimenta el móvil respecto de unsistema de referencia. Se define como la relación entre elvector desplazamiento y el intervalo de tiempocorrespondiente.


44.. MEDIDAMEDIDA DELDEL MOVIMIENTOMOVIMIENTOa) Velocidad media (Vm)Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez delcambio de posición que experimenta el móvil respecto de unsistema de referencia. Se define como la relación entre elvector desplazamiento y el intervalo de tiempocorrespondiente.


Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posiciónB(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada.Determinar la velocidad media entre A y B.

EJEMPLOEJEMPLO

b) Rapidez Lineal (RL) (v)Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez delcambio de posición en función del recorrido. Se define comola relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempocorrespondiente.


b) Rapidez Lineal (RL) (v)Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez delcambio de posición en función del recorrido. Se define comola relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempocorrespondiente.



El móvil describe una trayectoriarectilínea respecto de un sistemade referencia.

MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEO

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorridotienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de lavelocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria unalínea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias igualesen tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidadmedia constante en módulo, dirección y sentido, durante sumovimiento.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

a)a) VelocidadVelocidad (V)(V)Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidezdel cambio de posición respecto de un sistema dereferencia. En consecuencia la velocidad tiene treselementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de lavelocidad también se le llama RAPIDEZRAPIDEZ.


a)a) VelocidadVelocidad (V)(V)Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidezdel cambio de posición respecto de un sistema dereferencia. En consecuencia la velocidad tiene treselementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de lavelocidad también se le llama RAPIDEZRAPIDEZ.

b)b) DesplazamientoDesplazamiento ((∆r∆r))El desplazamiento queexperimenta el móvil esdirectamente proporcional altiempo transcurrido.

MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEOUNIFORMEUNIFORME

b)b) DesplazamientoDesplazamiento ((∆r∆r))El desplazamiento queexperimenta el móvil esdirectamente proporcional altiempo transcurrido.

c)c) TiempoTiempo dede encuentroencuentro (Te)(Te)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente ensentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:


d) Tiempo de alcance (Ta)d) Tiempo de alcance (Ta)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente enel mismo sentido, el tiempo de alcance es:


CINEMÁTICA (MRUV)CINEMÁTICA (MRUV)CINEMÁTICA (MRUV)CINEMÁTICA (MRUV)

Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil dondela trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?Es una magnitud vectorial que nos permitedeterminar la rapidez con la que un móvilcambia de velocidad.

MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEOUNIFORMEMENTE VARIADOUNIFORMEMENTE VARIADO

Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil dondela trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?Es una magnitud vectorial que nos permitedeterminar la rapidez con la que un móvilcambia de velocidad.

EJEMPLO:EJEMPLO:Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoriahorizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.


EJEMPLO:EJEMPLO:Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoriahorizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

POSICIÓN DE UNAPOSICIÓN DE UNAPARTÍCULA PARA ELPARTÍCULA PARA ELM.R.U.V.M.R.U.V.La posición de una partícula,que se mueve en el eje “x”en el instante “t” es.


POSICIÓN DE UNAPOSICIÓN DE UNAPARTÍCULA PARA ELPARTÍCULA PARA ELM.R.U.V.M.R.U.V.La posición de una partícula,que se mueve en el eje “x”en el instante “t” es.


ECUACIONES DELECUACIONES DELM.R.U.V.M.R.U.V.

II. ACELERADO. ACELERADO– El signo (+) es para un movimientoacelerado (aumento de velocidad).


II. DESACELERADOII. DESACELERADO– EL signo (–) es para unmovimiento desacelerado(disminución de velocidad).

OBSERVACIÓN:OBSERVACIÓN:Números de Galileo


EJEMPLOEJEMPLO::Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primersegundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuartosegundo?

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRESi permitimos que un cuerpo caiga enSi permitimos que un cuerpo caiga envacío, de modo que la resistencia del airevacío, de modo que la resistencia del aireno afecte su movimiento, encontraremosno afecte su movimiento, encontraremosun hecho notable: todos los cuerposun hecho notable: todos los cuerposindependientemente de su tamaño, formaindependientemente de su tamaño, formao composición, caen con la mismao composición, caen con la mismaaceleración en la misma región vecina aaceleración en la misma región vecina ala superficie de la Tierra. Estala superficie de la Tierra. Estaaceleración, denotada por el símbolo g ,aceleración, denotada por el símbolo g ,se llama aceleración en caídase llama aceleración en caída librelibre


CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRESi permitimos que un cuerpo caiga enSi permitimos que un cuerpo caiga envacío, de modo que la resistencia del airevacío, de modo que la resistencia del aireno afecte su movimiento, encontraremosno afecte su movimiento, encontraremosun hecho notable: todos los cuerposun hecho notable: todos los cuerposindependientemente de su tamaño, formaindependientemente de su tamaño, formao composición, caen con la mismao composición, caen con la mismaaceleración en la misma región vecina aaceleración en la misma región vecina ala superficie de la Tierra. Estala superficie de la Tierra. Estaaceleración, denotada por el símbolo g ,aceleración, denotada por el símbolo g ,se llama aceleración en caídase llama aceleración en caída librelibre

CAÍDACAÍDA LIBRELIBRE

SiSi bienbien hablamoshablamos dede cuerposcuerpos enen caída,caída, loslos cuerposcuerpos conconmovimientomovimiento haciahacia arribaarriba experimentanexperimentan lala mismamismaaceleraciónaceleración enen magnitudmagnitud yy direccióndirección.. ElEl valorvalor exactoexacto dede lalaaceleraciónaceleración enen caídacaída librelibre varíavaría concon lala latitudlatitud yy concon lalaaltitudaltitud.. HayHay tambiéntambién variacionesvariaciones significativassignificativas causadascausadasporpor diferenciasdiferencias enen lala densidaddensidad locallocal dede lala cortezacortezaterrestre,terrestre, peropero esteeste nono eses elel casocaso queque vamosvamos aa estudiarestudiarenen estaesta secciónsección..LasLas ecuacionesecuaciones vistasvistas enen lala secciónsección anterioranterior parapara ununmovimientomovimiento rectilíneorectilíneo concon aceleraciónaceleración constanteconstantepuedenpueden serser aplicadasaplicadas aa lala caídacaída librelibre,, concon laslassiguientessiguientes variacionesvariaciones::



SiSi bienbien hablamoshablamos dede cuerposcuerpos enen caída,caída, loslos cuerposcuerpos conconmovimientomovimiento haciahacia arribaarriba experimentanexperimentan lala mismamismaaceleraciónaceleración enen magnitudmagnitud yy direccióndirección.. ElEl valorvalor exactoexacto dede lalaaceleraciónaceleración enen caídacaída librelibre varíavaría concon lala latitudlatitud yy concon lalaaltitudaltitud.. HayHay tambiéntambién variacionesvariaciones significativassignificativas causadascausadasporpor diferenciasdiferencias enen lala densidaddensidad locallocal dede lala cortezacortezaterrestre,terrestre, peropero esteeste nono eses elel casocaso queque vamosvamos aa estudiarestudiarenen estaesta secciónsección..LasLas ecuacionesecuaciones vistasvistas enen lala secciónsección anterioranterior parapara ununmovimientomovimiento rectilíneorectilíneo concon aceleraciónaceleración constanteconstantepuedenpueden serser aplicadasaplicadas aa lala caídacaída librelibre,, concon laslassiguientessiguientes variacionesvariaciones::


EstablecemosEstablecemos lala direccióndirección dede lala caídacaída librelibre comocomo elel ejeeje YY yytomamostomamos comocomo positivapositiva lala direccióndirección haciahacia arribaarriba..++

ReemplazamosReemplazamos enen laslas ecuacionesecuaciones dede unun movimientomovimientouniformementeuniformemente aceleradoacelerado aa lala aceleraciónaceleración porpor --gg ,, puestopuestoqueque nuestranuestra elecciónelección dede lala direccióndirección positivapositiva deldel ejeeje YY eseshaciahacia arriba,arriba, significasignifica queque lala aceleraciónaceleración eses negativanegativa..ReemplazamosReemplazamos enen laslas ecuacionesecuaciones dede unun movimientomovimientouniformementeuniformemente aceleradoacelerado aa lala aceleraciónaceleración porpor --gg ,, puestopuestoqueque nuestranuestra elecciónelección dede lala direccióndirección positivapositiva deldel ejeeje YY eseshaciahacia arriba,arriba, significasignifica queque lala aceleraciónaceleración eses negativanegativa..



EstablecemosEstablecemos lala direccióndirección dede lala caídacaída librelibre comocomo elel ejeeje YY yytomamostomamos comocomo positivapositiva lala direccióndirección haciahacia arribaarriba..++

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En la gráfica podemos observar la dirección de losvectores aceleración y velocidad, de un objeto queha sido lanzado hacia arriba con una velocidadinicial; en el primer instante (bola a la izquierda)notamos que el vector velocidad apunta haciaarriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras elvector aceleración ( g ) tiene una dirección haciaabajo, en el sentido negativo del eje Y. En elsegundo instante cuando el objeto cae (bola a laderecha) la dirección de la velocidad es hacia abajoen el mismo sentido del desplazamiento y el vectoraceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en elsentido negativo del eje Y.



En la gráfica podemos observar la dirección de losvectores aceleración y velocidad, de un objeto queha sido lanzado hacia arriba con una velocidadinicial; en el primer instante (bola a la izquierda)notamos que el vector velocidad apunta haciaarriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras elvector aceleración ( g ) tiene una dirección haciaabajo, en el sentido negativo del eje Y. En elsegundo instante cuando el objeto cae (bola a laderecha) la dirección de la velocidad es hacia abajoen el mismo sentido del desplazamiento y el vectoraceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en elsentido negativo del eje Y.

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRE

ConCon estas variaciones las ecuaciones resultan ser:estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) =a ( t ) = -- gg

v ( t ) = v0v ( t ) = v0 -- gtgt


CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRE

ConCon estas variaciones las ecuaciones resultan ser:estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) =a ( t ) = -- gg

v ( t ) = v0v ( t ) = v0 -- gtgt

CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO PARABÓLICO)(MOVIMIENTO PARABÓLICO)

CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO PARABÓLICO)(MOVIMIENTO PARABÓLICO)

LlamamosLlamamos movimientomovimiento parabólicoparabólico aa lala trayectoriatrayectoria dede unun objetoobjetoqueque describedescribe unun vuelovuelo enen elel aireaire despuésdespués dede haberhaber sidosidolanzadolanzado desdedesde unun puntopunto cualquieracualquiera enen elel espacioespacio.. SiSi elel objetoobjetotienetiene unauna densidaddensidad dede masamasa suficientementesuficientemente grande,grande, loslosexperimentosexperimentos muestranmuestran que,que, aa menudo,menudo, podemospodemos despreciardespreciarlala resistenciaresistencia deldel aireaire yy suponersuponer queque lala aceleraciónaceleración deldelobjetoobjeto eses debidadebida sólosólo aa lala gravedadgravedad.. ComoComo dede costumbre,costumbre,vamosvamos aa definirdefinir elel ejeeje xx comocomo horizontalhorizontal yy elel +y+y enen lala direccióndirecciónverticalvertical haciahacia arribaarriba.. EnEn esteeste casocaso lala aceleraciónaceleración eses aa == --gg .. jj ,,entoncesentonces::

MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO

LlamamosLlamamos movimientomovimiento parabólicoparabólico aa lala trayectoriatrayectoria dede unun objetoobjetoqueque describedescribe unun vuelovuelo enen elel aireaire despuésdespués dede haberhaber sidosidolanzadolanzado desdedesde unun puntopunto cualquieracualquiera enen elel espacioespacio.. SiSi elel objetoobjetotienetiene unauna densidaddensidad dede masamasa suficientementesuficientemente grande,grande, loslosexperimentosexperimentos muestranmuestran que,que, aa menudo,menudo, podemospodemos despreciardespreciarlala resistenciaresistencia deldel aireaire yy suponersuponer queque lala aceleraciónaceleración deldelobjetoobjeto eses debidadebida sólosólo aa lala gravedadgravedad.. ComoComo dede costumbre,costumbre,vamosvamos aa definirdefinir elel ejeeje xx comocomo horizontalhorizontal yy elel +y+y enen lala direccióndirecciónverticalvertical haciahacia arribaarriba.. EnEn esteeste casocaso lala aceleraciónaceleración eses aa == --gg .. jj ,,entoncesentonces::

SupongamosSupongamos queque unun proyectilproyectil seselanzalanza dede formaforma queque susu velocidadvelocidadinicialinicial vv00 formeforme unun ánguloángulo qq concon elelejeeje dede laslas xx ,, comocomo sese muestramuestra enenlala figurafigura::


DescomponiendoDescomponiendo lala velocidadvelocidad inicial,inicial,obtenemosobtenemos laslas componentescomponentes inicialesinicialesdede lala velocidadvelocidad::

SupongamosSupongamos queque unun proyectilproyectil seselanzalanza dede formaforma queque susu velocidadvelocidadinicialinicial vv00 formeforme unun ánguloángulo qq concon elelejeeje dede laslas xx ,, comocomo sese muestramuestra enenlala figurafigura::

ParaPara deducirdeducir laslas ecuacionesecuaciones deldel movimientomovimiento parabólico,parabólico,debemosdebemos partirpartir deldel hechohecho dede queque elel proyectilproyectil experimentaexperimenta ununmovimientomovimiento rectilíneorectilíneo uniformeuniforme aa lolo largolargo deldel ejeeje xx ,, yyuniformementeuniformemente aceleradoacelerado aa lolo largolargo deldel ejeeje yy .. DeDe estaesta formaformatenemostenemos queque::


ParaPara deducirdeducir laslas ecuacionesecuaciones deldel movimientomovimiento parabólico,parabólico,debemosdebemos partirpartir deldel hechohecho dede queque elel proyectilproyectil experimentaexperimenta ununmovimientomovimiento rectilíneorectilíneo uniformeuniforme aa lolo largolargo deldel ejeeje xx ,, yyuniformementeuniformemente aceleradoacelerado aa lolo largolargo deldel ejeeje yy .. DeDe estaesta formaformatenemostenemos queque::

SiSi derivamosderivamos estasestas ecuacionesecuaciones obtenemosobtenemos lala aceleraciónaceleración yysisi integramosintegramos obtenemosobtenemos elel desplazamientodesplazamiento::

EliminamosEliminamos elel tiempotiempo dede laslas ecuacionesecuaciones deldel desplazamientodesplazamientoxx ee yy ,, obtenemosobtenemos lala ecuaciónecuación dede lala trayectoriatrayectoria ::

yy == ax^ax^22 ++ bxbx +c+c


SiSi derivamosderivamos estasestas ecuacionesecuaciones obtenemosobtenemos lala aceleraciónaceleración yysisi integramosintegramos obtenemosobtenemos elel desplazamientodesplazamiento::

EliminamosEliminamos elel tiempotiempo dede laslas ecuacionesecuaciones deldel desplazamientodesplazamientoxx ee yy ,, obtenemosobtenemos lala ecuaciónecuación dede lala trayectoriatrayectoria ::

yy == ax^ax^22 ++ bxbx +c+c


ALCANCEALCANCEMÁXIMOMÁXIMO


ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA


TIEMPO DETIEMPO DEVUELOVUELO


CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO CIRCULAR)(MOVIMIENTO CIRCULAR)

CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO CIRCULAR)(MOVIMIENTO CIRCULAR)

ExaminaremosExaminaremos ahoraahora elel casocaso especialespecial enen queque unauna partículapartículasese muevemueve aa velocidadvelocidad constanteconstante enen unauna trayectoriatrayectoriacircularcircular.. ComoComo veremos,veremos, tantotanto lala velocidadvelocidad comocomo lalaaceleraciónaceleración sonson dede magnitudmagnitud constante,constante, peropero ambasambascambiancambian dede direccióndirección continuamentecontinuamente..EstaEsta situaciónsituación eses lala queque sese definedefine comocomo movimientomovimiento circularcircularuniformeuniforme.. ParaPara elel movimientomovimiento enen círculo,círculo, lala coordenadacoordenadaradialradial eses fijafija (( rr )) yy elel movimientomovimiento quedaqueda descritodescrito porpor unaunasolasola variable,variable, elel ánguloángulo ,, queque puedepuede serser dependientedependiente deldeltiempotiempo (t(t)).. SupongamosSupongamos queque durantedurante unun intervalointervalo dedetiempotiempo dtdt,, elel cambiocambio dede ánguloángulo eses dd..

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

ExaminaremosExaminaremos ahoraahora elel casocaso especialespecial enen queque unauna partículapartículasese muevemueve aa velocidadvelocidad constanteconstante enen unauna trayectoriatrayectoriacircularcircular.. ComoComo veremos,veremos, tantotanto lala velocidadvelocidad comocomo lalaaceleraciónaceleración sonson dede magnitudmagnitud constante,constante, peropero ambasambascambiancambian dede direccióndirección continuamentecontinuamente..EstaEsta situaciónsituación eses lala queque sese definedefine comocomo movimientomovimiento circularcircularuniformeuniforme.. ParaPara elel movimientomovimiento enen círculo,círculo, lala coordenadacoordenadaradialradial eses fijafija (( rr )) yy elel movimientomovimiento quedaqueda descritodescrito porpor unaunasolasola variable,variable, elel ánguloángulo ,, queque puedepuede serser dependientedependiente deldeltiempotiempo (t(t)).. SupongamosSupongamos queque durantedurante unun intervalointervalo dedetiempotiempo dtdt,, elel cambiocambio dede ánguloángulo eses dd..

LaLa longitudlongitud dede arcoarco recorridarecorrida durantedurante eseese intervalointervalo estáestá dadadadaporpor dsds == rr dd.. AlAl dividirdividir entreentre elel intervalointervalo dede tiempotiempo dtdt,,obtenemosobtenemos unauna ecuaciónecuación parapara lala rapidezrapidez deldel movimientomovimiento::

DeDe dondedonde dd/dt/dt eses lala rapidezrapidez dede cambiocambio deldel ánguloángulo yy sesedefinedefine comocomo lala velocidadvelocidad angularangular,, sese denotadenota porpor yy sussusdimensionesdimensiones sese expresanexpresan enen radianesradianes porpor segundosegundo (rad/s)(rad/s) enenelel SISI.. EnEn términostérminos dede w,w, tenemostenemos queque::

v = rv = r ww


LaLa longitudlongitud dede arcoarco recorridarecorrida durantedurante eseese intervalointervalo estáestá dadadadaporpor dsds == rr dd.. AlAl dividirdividir entreentre elel intervalointervalo dede tiempotiempo dtdt,,obtenemosobtenemos unauna ecuaciónecuación parapara lala rapidezrapidez deldel movimientomovimiento::

DeDe dondedonde dd/dt/dt eses lala rapidezrapidez dede cambiocambio deldel ánguloángulo yy sesedefinedefine comocomo lala velocidadvelocidad angularangular,, sese denotadenota porpor yy sussusdimensionesdimensiones sese expresanexpresan enen radianesradianes porpor segundosegundo (rad/s)(rad/s) enenelel SISI.. EnEn términostérminos dede w,w, tenemostenemos queque::

v = rv = r ww

UnaUna cantidadcantidad importanteimportante queque caracterizacaracteriza elel movimientomovimientocircularcircular uniformeuniforme eses elel períodoperíodo yy sese definedefine comocomo elel tiempotiempoenen queque tardatarda elel cuerpocuerpo enen dardar unauna revoluciónrevolución completa,completa,comocomo lala distanciadistancia recorridarecorrida enen unauna revoluciónrevolución eses 22r,r, elelperíodoperíodo TT eses::


UnaUna cantidadcantidad importanteimportante queque caracterizacaracteriza elel movimientomovimientocircularcircular uniformeuniforme eses elel períodoperíodo yy sese definedefine comocomo elel tiempotiempoenen queque tardatarda elel cuerpocuerpo enen dardar unauna revoluciónrevolución completa,completa,comocomo lala distanciadistancia recorridarecorrida enen unauna revoluciónrevolución eses 22r,r, elelperíodoperíodo TT eses::

2 r = v T

LaLa frecuenciafrecuencia eses elel númeronúmero dede revolucionesrevoluciones queque efectúaefectúa lalapartículapartícula porpor unidadunidad dede tiempo,tiempo, porpor lolo generalgeneral eses 11 segundosegundo..LaLa unidadunidad enen elel SISI eses elel HertzHertz (Hz),(Hz), queque sese definedefine comocomo unun

ciclociclo porpor segundosegundo.. LaLa frecuenciafrecuencia eses elel inversoinverso deldel período,período,estoesto eses::


LaLa frecuenciafrecuencia eses elel númeronúmero dede revolucionesrevoluciones queque efectúaefectúa lalapartículapartícula porpor unidadunidad dede tiempo,tiempo, porpor lolo generalgeneral eses 11 segundosegundo..LaLa unidadunidad enen elel SISI eses elel HertzHertz (Hz),(Hz), queque sese definedefine comocomo unun

ciclociclo porpor segundosegundo.. LaLa frecuenciafrecuencia eses elel inversoinverso deldel período,período,estoesto eses::

ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETAAunqueAunque lala rapidezrapidez eses constanteconstante enen elel casocaso deldel movimientomovimiento circularcircularuniforme,uniforme, lala direccióndirección dede lala velocidadvelocidad cambia,cambia, porpor lolo tanto,tanto, lalaaceleraciónaceleración nono eses cerocero..


SeaSea PP11 lala posiciónposición dede lala partículapartícula enen elel tiempotiempo tt11 yy PP22 susu posiciónposiciónenen elel tiempotiempo tt22.. LaLa velocidadvelocidad enen PP11 eses VV11,, unun vectorvector tangentetangente aa lalacurvacurva enen PP11.. LaLa velocidadvelocidad enen PP22 eses VV22,, unun vectorvector tangentetangente aa lalacurvacurva enen PP22.. LosLos vectoresvectores VV11 yy VV22 tienentienen lala mismamisma magnitudmagnitud VV ,,yaya queque lala velocidadvelocidad eses constante,constante, peropero sussus direccionesdirecciones diferentesdiferentes..LaLa longitudlongitud dede lala trayectoriatrayectoria descritadescrita durantedurante tt eses lala longitudlongitud deldelarcoarco deldel puntopunto PP11 aa PP22,, queque eses igualigual aa rr.. (( dondedonde qq estaesta medidamedidaenen radianesradianes ),), lala velocidadvelocidad eses lala derivadaderivada deldel desplazamientodesplazamiento conconrespectorespecto alal tiempo,tiempo, dede estaesta formaforma::


SeaSea PP11 lala posiciónposición dede lala partículapartícula enen elel tiempotiempo tt11 yy PP22 susu posiciónposiciónenen elel tiempotiempo tt22.. LaLa velocidadvelocidad enen PP11 eses VV11,, unun vectorvector tangentetangente aa lalacurvacurva enen PP11.. LaLa velocidadvelocidad enen PP22 eses VV22,, unun vectorvector tangentetangente aa lalacurvacurva enen PP22.. LosLos vectoresvectores VV11 yy VV22 tienentienen lala mismamisma magnitudmagnitud VV ,,yaya queque lala velocidadvelocidad eses constante,constante, peropero sussus direccionesdirecciones diferentesdiferentes..LaLa longitudlongitud dede lala trayectoriatrayectoria descritadescrita durantedurante tt eses lala longitudlongitud deldelarcoarco deldel puntopunto PP11 aa PP22,, queque eses igualigual aa rr.. (( dondedonde qq estaesta medidamedidaenen radianesradianes ),), lala velocidadvelocidad eses lala derivadaderivada deldel desplazamientodesplazamiento conconrespectorespecto alal tiempo,tiempo, dede estaesta formaforma::

r . = V . t

PodemosPodemos ahoraahora trazartrazar loslos vectoresvectores VV11 yy VV22 dede taltal formaforma queque seseoriginenoriginen enen unun puntopunto enen comúncomún::

EstaEsta figurafigura nosnos permitepermite verver claramenteclaramente elel cambiocambio enen lala velocidadvelocidad alalmoversemoverse lala partículapartícula desdedesde PP11 hastahasta PP22 ..EsteEste cambiocambio eses:: VV11 -- VV22 == VVYaYa queque lala direccióndirección dede lala aceleraciónaceleración promediopromedio eses lala mismamisma queque laladede VV,, lala direccióndirección dede aa estáestá siempresiempre dirigidadirigida haciahacia elel centrocentro deldelcírculocírculo oo deldel arcoarco circularcircular enen elel queque sese muevemueve lala partículapartícula..ParaPara unun movimientomovimiento circularcircular uniforme,uniforme,lala aceleraciónaceleración centrípetacentrípeta eses::


PodemosPodemos ahoraahora trazartrazar loslos vectoresvectores VV11 yy VV22 dede taltal formaforma queque seseoriginenoriginen enen unun puntopunto enen comúncomún::

EstaEsta figurafigura nosnos permitepermite verver claramenteclaramente elel cambiocambio enen lala velocidadvelocidad alalmoversemoverse lala partículapartícula desdedesde PP11 hastahasta PP22 ..EsteEste cambiocambio eses:: VV11 -- VV22 == VVYaYa queque lala direccióndirección dede lala aceleraciónaceleración promediopromedio eses lala mismamisma queque laladede VV,, lala direccióndirección dede aa estáestá siempresiempre dirigidadirigida haciahacia elel centrocentro deldelcírculocírculo oo deldel arcoarco circularcircular enen elel queque sese muevemueve lala partículapartícula..ParaPara unun movimientomovimiento circularcircular uniforme,uniforme,lala aceleraciónaceleración centrípetacentrípeta eses::

CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO CIRCULAR(MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORMEMENTE VARIADO)UNIFORMEMENTE VARIADO)

CINEMÁTICACINEMÁTICA(MOVIMIENTO CIRCULAR(MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORMEMENTE VARIADO)UNIFORMEMENTE VARIADO)

CuandoCuando el movimiento es uniformemente acelerado, existeel movimiento es uniformemente acelerado, existeuna aceleración angular, y se define como la razónuna aceleración angular, y se define como la razóninstantánea de cambio de la velocidad angular:instantánea de cambio de la velocidad angular:

MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULARUNIFORMEMENTE ACELERADOUNIFORMEMENTE ACELERADO

LasLas unidadesunidades dede lala aceleraciónaceleración angularangular sonson radianesradianes porporsegundosegundo alal cuadradocuadrado.. SiSi lala aceleraciónaceleración angularangular eses constante,constante,entoncesentonces lala velocidadvelocidad angularangular cambiacambia linealmentelinealmente concon eleltiempotiempo;; eses decir,decir,

== 00 + a t+ a tdondedonde ww00 eses lala velocidadvelocidad angularangular enen tt == 00.. Entonces,Entonces, elelánguloángulo estáestá expresadoexpresado porpor

(t) =(t) = 00 ++ 00 t + ½ a tt + ½ a t ²²

MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULARUNIFORMEMENTE ACELERADOUNIFORMEMENTE ACELERADO

LasLas unidadesunidades dede lala aceleraciónaceleración angularangular sonson radianesradianes porporsegundosegundo alal cuadradocuadrado.. SiSi lala aceleraciónaceleración angularangular eses constante,constante,entoncesentonces lala velocidadvelocidad angularangular cambiacambia linealmentelinealmente concon eleltiempotiempo;; eses decir,decir,

== 00 + a t+ a tdondedonde ww00 eses lala velocidadvelocidad angularangular enen tt == 00.. Entonces,Entonces, elelánguloángulo estáestá expresadoexpresado porpor

(t) =(t) = 00 ++ 00 t + ½ a tt + ½ a t ²²

EJERCICIOSEJERCICIOSDE REFUERZODE REFUERZOEJERCICIOSEJERCICIOS

DE REFUERZODE REFUERZO

11.. ((1515)) DosDos cochescoches partieronpartieron alal mismomismo tiempotiempo unouno dede “A”“A” concon direccióndirección aa “B”“B” yy elel otrootro dede“B”“B” concon direccióndirección aa “A”,“A”, cuandocuando sese encontraronencontraron habíahabía recorridorecorrido elel primerprimer cochecoche 3636 kmkm másmásqueque elel segundosegundo.. AA partirpartir deldel momentomomento enen queque sese encontraronencontraron.. ElEl primeroprimero tardótardó 11 horahora enenllegarllegar aa “B”“B” yy elel segundosegundo 44 horashoras enen llegarllegar aa “A”“A”.. HallarHallar lala distanciadistancia entreentre “A”“A” yy “B”“B”..

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

B

EJERCICIOSEJERCICIOS

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

B

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

A

e1 e2

De la ecuación IDe la ecuación Iee22 = X = V= X = V22TTee11 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran TT22 = T= T11 = T= T

VV22 == XXTT

VV11 == X + 36X + 36TT

Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones IIee22 = X = (V= X = (V11) (1h) =) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1) X + 36 = X TX + 36 = X T T=T= X + 36X + 36

TT XXee11 = X + 36 = (V= X + 36 = (V22) (4h) =) (4h) = XX (4)(4)

TTReemplazo IIIReemplazo IIIX + 36 = (X + 36 = ( XX22 ) (4)) (4) 4 X4 X 22 = (X + 36)= (X + 36)22 (raíz) X = 36(raíz) X = 36

X + 36X + 36etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36

De la ecuación IDe la ecuación Iee22 = X = V= X = V22TTee11 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran TT22 = T= T11 = T= T

VV22 == XXTT

VV11 == X + 36X + 36TT

Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones IIee22 = X = (V= X = (V11) (1h) =) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1) X + 36 = X TX + 36 = X T T=T= X + 36X + 36

TT XXee11 = X + 36 = (V= X + 36 = (V22) (4h) =) (4h) = XX (4)(4)

TTReemplazo IIIReemplazo IIIX + 36 = (X + 36 = ( XX22 ) (4)) (4) 4 X4 X 22 = (X + 36)= (X + 36)22 (raíz) X = 36(raíz) X = 36

X + 36X + 36etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m

22.. ((1717)) UnUn móvilmóvil parteparte deldel reposoreposo concon unauna aceleraciónaceleración constanteconstante dede1010/ms/ms22,, luegoluego dede transcurrirtranscurrir ciertocierto tiempo,tiempo, elel móvilmóvil empiezaempieza aa desacelerardesacelerarenen formaforma constanteconstante concon aa == 55 m/sm/s22 hastahasta detenerse,detenerse, sisi elel tiempotiempo totaltotalempleadoempleado eses dede 3030 segundossegundos.. ¿Cuál¿Cuál eses elel espacioespacio recorrido?recorrido?..

V0 VfT1 T2

e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primertramo

Vf1 = V0 ± a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundotramo

Vf = Vi ± aT

Vf = Vf1 ± aT

0 = 10 T1 – (5) (T2) ….Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Para el primertramo

Vf1 = V0 ± a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundotramo

Vf = Vi ± aT

Vf = Vf1 ± aT

0 = 10 T1 – (5) (T2) ….Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando eSumando e22 y ey e22ee11 + e+ e22 = 10 T= 10 T11 TT22 –– (( 11 ) (5) T) (5) T22

22 + 5T+ 5T1122

22

X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020)) –– (( 11 ) (5) (20)) (5) (20)22 + (5) (10)+ (5) (10)22

22

Sumando eSumando e22 y ey e22ee11 + e+ e22 = 10 T= 10 T11 TT22 –– (( 11 ) (5) T) (5) T22

22 + 5T+ 5T1122

22

X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020)) –– (( 11 ) (5) (20)) (5) (20)22 + (5) (10)+ (5) (10)22

22

X = 1500 mX = 1500 m

33.. UnaUna piedrapiedra lanzadalanzada enen unun planetaplaneta haciahacia arribaarriba alcanzaalcanza 100100 mm dede altura,altura,mientrasmientras queque lanzadalanzada enen lala TierraTierra concon lala mismamisma velocidadvelocidad alcanzaalcanza 2020mm.. ¿Qué¿Qué distanciadistancia recorrerárecorrerá enen dichodicho planetaplaneta unauna piedrapiedra soltadasoltada dede400400 mm dede alturaaltura enen elel últimoúltimo segundosegundo dede susu caída?caída?

PlanetaPlaneta XXVVff == 00

hh

VV11

ParaPara lala tierratierra::VVff

22 == VV0022 ±± 22gege

0022 == (V(V11)) 22 -- 22(g)(g) ((100100)) ---- raizraizVV11 == 2020 m/sm/s (I)(I)

hmax = 100 m

Gravedad

+ -

Planeta TierraPlaneta Tierra

Hmax = 20 m

Vf = 0

h

V1

33.. UnaUna piedrapiedra lanzadalanzada enen unun planetaplaneta haciahacia arribaarriba alcanzaalcanza 100100 mm dede altura,altura,mientrasmientras queque lanzadalanzada enen lala TierraTierra concon lala mismamisma velocidadvelocidad alcanzaalcanza 2020mm.. ¿Qué¿Qué distanciadistancia recorrerárecorrerá enen dichodicho planetaplaneta unauna piedrapiedra soltadasoltada dede400400 mm dede alturaaltura enen elel últimoúltimo segundosegundo dede susu caída?caída?

PlanetaPlaneta XXVVff == 00

hh

VV11

ParaPara lala tierratierra::VVff

22 == VV0022 ±± 22gege

0022 == (V(V11)) 22 -- 22(g)(g) ((100100)) ---- raizraizVV11 == 2020 m/sm/s (I)(I)

Vf = V1 – gt ---- Vi = V1

0 = 20 – 10 T

T = 2 Seg

V1

Para el planeta X:Para el planeta X:VVff

22 = V= V0022 ±± 2 ge2 ge

0022 == (V(V11))22 -- 22 (g)(g) ((100100))202022 == 22(g)(g) ((100100))gg == 22m/sm/s22

1er Tramo1er Tramoe = Ve = V00t +t + 11 gtgt22

22400400 –– X = 0 +X = 0 +11 (2) (T(2) (T--1)1)22

22400400 –– X = (TX = (T--1) …1) … (I)(I)VVff = V= V00 + gt+ gtVV11’= 0+(2) (T’= 0+(2) (T--1)1)VV11’ = 2 (T’ = 2 (T--1)1)VV11’ = 2 (20’ = 2 (20 –– 1) = 38 m/s1) = 38 m/s

(II)

V0=02do Tramo2do Tramoe = Ve = V00TT ±± 11 g tg t 22

22e = Ve = V11’ (1) +’ (1) + 11 (2) (1)(2) (1)22

22e = Ve = V11’ + 1’ + 1 e=38+1= 39 me=38+1= 39 m

Reemplazo V1 en hReemplazo V1 en h

Tomando el movimiento total:Tomando el movimiento total:e = V1 Te = V1 T ±± 11 gt2gt2 400=400=11 (2) (t)2(2) (t)2 T = 20T = 20

22 22

1er Tramo1er Tramoe = Ve = V00t +t + 11 gtgt22

22400400 –– X = 0 +X = 0 +11 (2) (T(2) (T--1)1)22

22400400 –– X = (TX = (T--1) …1) … (I)(I)VVff = V= V00 + gt+ gtVV11’= 0+(2) (T’= 0+(2) (T--1)1)VV11’ = 2 (T’ = 2 (T--1)1)VV11’ = 2 (20’ = 2 (20 –– 1) = 38 m/s1) = 38 m/s

400-x <-- 1er tramo

X T=1 Seg

2do Tramo

V 1’

2do Tramo2do Tramoe = Ve = V00TT ±± 11 g tg t 22

22e = Ve = V11’ (1) +’ (1) + 11 (2) (1)(2) (1)22

22e = Ve = V11’ + 1’ + 1 e=38+1= 39 me=38+1= 39 m

Reemplazo V1 en hReemplazo V1 en h

44.. ((1919)) UnUn móvilmóvil recorrerecorre lala trayectoriatrayectoria mostradamostrada enen lala figurafigura concon unaunarapidezrapidez constanteconstante enen elel tramotramo ABAB yy unauna aceleraciónaceleración dede 66m/sm/s22.. ConConotraotra rapidezrapidez constanteconstante enen elel tramotramo BCBC yy aceleraciónaceleración dede 55 m/sm/s22..HallarHallar elel tiempotiempo queque demorademora enen elel recorridorecorrido totaltotal ABCABC..

ParaPara ABABVV == CteCteaa == 66m/sm/s22

rr == 66 mm

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

44.. ((1919)) UnUn móvilmóvil recorrerecorre lala trayectoriatrayectoria mostradamostrada enen lala figurafigura concon unaunarapidezrapidez constanteconstante enen elel tramotramo ABAB yy unauna aceleraciónaceleración dede 66m/sm/s22.. ConConotraotra rapidezrapidez constanteconstante enen elel tramotramo BCBC yy aceleraciónaceleración dede 55 m/sm/s22..HallarHallar elel tiempotiempo queque demorademora enen elel recorridorecorrido totaltotal ABCABC..

ParaPara ABABVV == CteCteaa == 66m/sm/s22

rr == 66 mm

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad linealr

Para AB:Para AB:VV22

== aarr * r* r

VVABAB22 == (6) (6)(6) (6)

VVABAB == 6 m/s6 m/s

Para BC:Para BC:VV2 =2 = ar * rar * rVVBCBC22 = 5 * 5= 5 * 5

VVBC = 5 m/sBC = 5 m/s

Sabemos queSabemos que S =S = .r.rPara AB:Para AB:1)1) SSAB = (AB = (∏∏) () ( 66 ) =) = 66 ∏∏

2)2) SSABAB = e = vt= e = vt 66 ∏∏ = VT= VT11

66 ∏∏=(=(66)T)T11 TT11 == ∏∏ SegSeg

Para BC:Para BC:1)1) SSBC = (BC = (∏∏) () (55) =) = 55 ∏∏2)2) egvTegvT 55 ∏∏ == 5511TT11 TT22 == ∏∏SegSeg

Ttotal = TTtotal = T11 + T+ T22

Para AB:Para AB:VV22

== aarr * r* r

VVABAB22 == (6) (6)(6) (6)

VVABAB == 6 m/s6 m/s

Para BC:Para BC:VV2 =2 = ar * rar * rVVBCBC22 = 5 * 5= 5 * 5

VVBC = 5 m/sBC = 5 m/s

Sabemos queSabemos que S =S = .r.rPara AB:Para AB:1)1) SSAB = (AB = (∏∏) () ( 66 ) =) = 66 ∏∏

2)2) SSABAB = e = vt= e = vt 66 ∏∏ = VT= VT11

66 ∏∏=(=(66)T)T11 TT11 == ∏∏ SegSeg

Para BC:Para BC:1)1) SSBC = (BC = (∏∏) () (55) =) = 55 ∏∏2)2) egvTegvT 55 ∏∏ == 5511TT11 TT22 == ∏∏SegSeg

Ttotal = TTtotal = T11 + T+ T22 == 22 ∏∏ SegSeg

55.. ((1616)) HallarHallar laslas velocidadesvelocidades “V“V11”,”, yy “V“V22””.. SiSi lanzadaslanzadas laslas partículaspartículassimultáneamentesimultáneamente chocanchocan comocomo muestramuestra lala figurafigura..

ParaPara 11MM.. HorizontalHorizontalee == VV TT

1010 == VV11 T (I)(I)

55.. ((1616)) HallarHallar laslas velocidadesvelocidades “V“V11”,”, yy “V“V22””.. SiSi lanzadaslanzadas laslas partículaspartículassimultáneamentesimultáneamente chocanchocan comocomo muestramuestra lala figurafigura..

ParaPara 11MM.. HorizontalHorizontalee == VV TT

1010 == VV11 T (I)(I)

Para 2

M. Horizontal

e = V T

30 = V2 T (II)

VY = 0

Vx

Vx

VxVy

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2T = 6 (III)

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2

III en I y II

V1 = 10 = 5 m/s

6 3

V2 = 30 = 5 m/s

6

T = 6 (III)

Luis David NarváezLuis David Narváez

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS

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