Figura 1: Circuito RLC en serie, conectado a una fuente de voltaje alterno.

fs2212

Circuito RLC en serie con corriente alterna: resonancia y filtros

por Leonardo Reyes

Departamento de Fısica

USB

27-6-2005

Nos proponemos repasar los conceptos de resonancia y filtros en el marco de un circuito RLCen serie con corriente alterna, como el mostrado esquematicamente en la figura 1. La diferenciade potencial instantanea en la fuente esta dada por

ǫ = ǫmsen(ωt). (1)

Para todo instante de tiempo, las diferencias de potencial en cada uno de los dispositivos dela figura 1 satisfacen:

ǫ = VC + VR + VL, (2)

donde VC , VR y VL son cantidades que oscilan armonicamente con la misma frecuencia ω de lafuente. Como vimos en clase, los voltajes en este circuito no estan en fase, por lo que la sumaen la ecuacion (2) debe hacerse con cuidado. La corriente instantanea en el circuito esta dadapor:

i = imsen(wt− φ). (3)

Nos interesa caracterizar la respuesta del circuito relacionando el voltaje en la fuente con lacorriente que se establece. Esto lo hacemos relacionando im y φ con la amplitud y frecuenciade la fuente, y con los parametros del circuito R, L y C (esto es, nos interesa encontrar lasrelaciones im = im(ǫm, ω,R, L,C) y φ = φ(ǫm, ω,R, L,C)).

En la figura 2 se muestra el diagrama de fasores de voltaje para el circuito de la figura 1. VR

esta en fase con la corriente, VC se atrasa con respecto a la corriente un cuarto de ciclo y VL seadelanta un cuarto de ciclo. El fasor asociado a la diferencia de potencial en los extremos del

1

VL

VL-V

C

Vs2

VR

ε

ωt

φ

VC

Figura 2: Fasores de voltaje para el circuito de la figura 1.

circuito, cuya longitud es ǫm, se adelanta en una fase φ a la corriente. Se ha supuesto que lasamplitudes de VL y VC satisfacen: VL,m > VC,m.

A partir del diagrama mostrado en la figura 2, obtenemos:

ǫm =√

V 2R + (VL − VC)2 = im

√

R2 + (XL −XC)2, (4)

que podemos reescribir como

im =ǫmZ

(5)

donde Z es la impedancia del circuito ([Z] = Ω y Z = Z(ω,R,L,C)).La impedancia es mınima para ω = ω0, donde

ω0 =1√LC

(6)

es la frecuencia natural del circuito, por lo que para ω = ω0 la amplitud de la corriente im esmaxima. Este efecto se llama resonancia. En resonancia, Z = R y el voltaje en la fuente y lacorriente estan en fase (esto es φ = 0). La maxima amplitud de corriente iM esta dada por

iM =ǫmR

. (7)

Para estudiar la respuesta del circuito, es conveniente introducir una amplitud de corrientenormalizada con la maxima amplitud de corriente, y una frecuencia normalizada con la frecuencia

2

0 2 4 6 8 10w

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Im

α=0.1α=1α=10

Figura 3: Curvas de respuesta del circuito, a partir de la ecuacion (11), para distintos valoresdel parametro del circuito α. Im = im/iM es el cociente de la amplitud de la corriente con sumaximo valor. Es equivalente al cociente entre la amplitud del voltaje en la resistencia y laamplitud del voltaje de la fuente.

natural del circuito. Esto es, introducimos las cantidades adimensionales:

Im =imiM

(8)

y

w =ω

ω0

. (9)

En estas nuevas “unidades”, la corriente adimensional maxima es 1 y la frecuencia naturaldel sistema es 1. Dado que en la resistencia el voltaje esta en fase con la corriente, estudiar loque ocurre con la corriente ante una fuente dada, es equivalente a estudiar lo que ocurre con ladiferencia de potencial en la resistencia, ante una fuente dada. De hecho, puede verificarse queuna expresion equivalente a la ecuacion (8) para la corriente adimensional Im es:

Im =VR,m

ǫm. (10)

A partir de las ecuaciones (4) y (5), y utilizando las definiciones de Im y w, podemos obtener:

Im =1

√

1 + α(w − w−1)2, (11)

donde el parametro adimensional α esta dado por

α = (τω0)2 =

L

CR2, (12)

y τ = L/R es la constante de amortiguamiento (repasar oscilaciones amortiguadas).

3

0 w- 1 w

+ 2 3 4 5w

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Im w

+-w

-=(3/α)

1/2

Figura 4: Curva de respuesta del circuito, a partir de la ecuacion (11), para α = 10. El anchode la curva es caracterizado mediante ∆w = w+ −w

−, donde w+ y w

−son las frecuencias para

las cuales Im = 1/2.

La amplitud de la corriente normalizada Im depende de la frecuencia de forzamiento normal-izada w y, a traves de α, de los parametros del circuito. Con solo dos parametros adimensionalesindependientes, w y α, logramos caracterizar la respuesta del circuito. Esto implica, por ejem-plo, que si duplicamos la resistencia del circuito de la figura 1, y ademas disminuimos a la mitadla capacitancia y duplicamos la inductancia, el parametro α no cambia y la respuesta del cir-cuito es, cualitativamente, la misma. En la figura 3 se muestra la respuesta del circuito comofuncion de w para distintos valores de α. La frecuencia de resonancia es independiente de α,pero el ancho de la curva no. Para valores de α grandes (R pequena), el circuito “filtra” todaslas frecuencias salvo las muy cercanas a la frecuencia natural del sistema.

En la figura 4 se muestra una manera de caracterizar el ancho de la curva de respuesta,mediante la cantidad ∆w = w+ − w

−, donde w+ y w

−son las frecuencias para las cuales la

amplitud de la corriente se reduce a la mitad de su valor maximo (ver figura 4). A partir de laecuacion (11), w+ y w

−satisfacen la ecuacion:

1√

1 + α(w − w−1)2=

1

2, (13)

que puede reescribirse comoα(w − w−1)2 = 3. (14)

Para encontrar w+ y w−podemos resolver (como se muestra en la figura 5) la ecuacion

w4 − βw2 + 1 = 0 (15)

con β = (2 + 3/α) o, de manera equivalente, la ecuacion

w2 ±√

3

αw − 1 = 0. (16)

4

-2 -1 0 1 2w

-2

0

2

4β=2β=2.3β=3w

4-βw

2+1

w-

w+

Figura 5: El ancho de la curva de respuesta del circuito es caracterizado mediante ∆w = w+−w−,

donde w+ y w−satisfacen la ecuacion w4 − βw2 + 1 = 0.

A partir de la ecuacion (16) obtenemos:

∆w = w+ − w−=

√

3

α, (17)

por lo que, como en efecto se observa en la figura 3, el ancho de la curva disminuye al aumentarα.

***

Otra manera de describir lo que ocurre en el sistema de la figura 1 es resolver la ecuaciondiferencial:

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

q

C= ǫ(t) (18)

donde ǫ(t) es el voltaje suministrado por la fuente. La ecuacion (18) es una ecuacion diferencialde segundo orden lineal y forzada. El que sea lineal implica que es valido aplicar el principio desuperposicion, lo que nos va a permitir utilizar los resultados anteriores para el caso en que ǫ(t)sea una funcion arbitraria. Una funcion arbitraria ǫ(t) puede ser descompuesta en sus compo-nentes por frecuencia mediante un analisis de Fourier. En terminos generales, podemos pensara ǫ(t) como una superposicion de senales armonicas de distintas frecuencias, cada una con unaamplitud y fase dadas por el analisis de Fourier. Para R pequena, el efecto del circuito RLCmostrado en la figura 1 sobre la senal de entrada ǫ(t) sera el de filtrar todas las frecuencias de lasenal ǫ(t), salvo las muy cercanas a ω0. En este caso, hemos pensado a i(t) como senal de salidadel sistema, y dado que en la resistencia el voltaje esta en fase con la corriente, es equivalente ausar la diferencia de potencial en la resistencia como senal de salida del sistema.

5

0 1 2 3w

0

0,5

1

1,5

2

Vs1,m

/εm

α=0.1α=1α=10α=100

Figura 6: Curva de respuesta del circuito, a partir de la ecuacion (21), para distintos valores deα. Vs1,m, el voltaje de salida, es la amplitud de la diferencia de potencial en el capacitor de lafigura 1. En este caso el sistema se comporta como un filtro paso bajo: las frecuencias altas seeliminan.

Filtros pasa bajo y pasa alto.

Tenemos otras opciones. En la figura 1 se muestran las senales de salida Vs1 y Vs2. Vamos aestudiar los cocientes Vs1,m/ǫm y Vs2,m/ǫm que, junto con las fases de Vs1 y Vs2, caracterizan larespuesta del sistema. Vs1 es la caıda de potencial en el capacitor y Vs2 es la caıda de potencialen la combinacion en serie de la resistencia y el inductor, tal como puede apreciarse en la figura1.

Tenemos queVs2 = VR + VL (19)

por lo que podemos escribir, a partir de la figura 2,

Vs2,m =√

V 2Lm + V 2

R = im

√

X2L +R2. (20)

Usando la misma notacion de la seccion anterior, y despues de un poco de algebra, obtenemos

Vs1,m

ǫm=

√αw−1

√

1 + α(w − w−1)2(21)

yVs2,m

ǫm=

√1 + αw2

√

1 + α(w − w−1)2. (22)

En la figuras 6 y 7 se pueden apreciar graficos de las funciones de respuesta dadas por las ecua-ciones (21) y (22). En la figura 6 se observa que si usamos como salida el voltaje Vs1 (ver figura1), entonces el sistema filtra las frecuencias altas; se dice en este caso que el sistema funciona

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3w

0

0,5

1

1,5

2

Vs2,m

/εm

α=0.1α=1α=10α=100

Figura 7: Curva de respuesta del circuito, a partir de la ecuacion (22), para distintos valores deα. Vs2,m, el voltaje de salida, es la amplitud de la diferencia de potencial entre la resistenciay el inductor de la figura 1. En este caso el sistema se comporta como un filtro paso alto: lasfrecuencias bajas se eliminan.

como un filtro paso bajo. Si usamos como salida el voltaje Vs2, el sistema filtra las frecuenciasbajas, tal como se aprecia en la figura 7; en este caso el sistema funciona como un filtro paso alto.

Referencias

Sears, Zemansky, Young, Freedman, Fısica Universitaria, Vol. 2, undecima edicion. PearsonEducacion, Mexico, 2004.

7