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Teoría de Conjuntos Semestre 01-2013 Santiago de Chile
Ingeniería Prof. Rubén Rodríguez
¿Por qué estudiar Teoría de
Conjuntos? Entender la teoría de conjuntos ayuda a las personas a ...
- ver las cosas en términos de sistemas
- organizar las cosas en grupos
- comenzar a entender la lógica
Estos matemáticos han influido en el desarrollo de la teoría de conjuntos y lógica:
• Georg Cantor
• John Venn
• George Boole
• Augustus DeMorgan
Georg Cantor 1845 -1918
• Cantor demostró que hay "niveles de infinito“
• una infinidad de números reales existen entre 1 y 2;
• hay más números reales que no son enteros ...
John Venn 1834-1923
Ideó una forma sencilla de operar con los conjuntos (diagramas de Venn)
George Boole 1815-1864
• desarrolló un álgebra de la lógica (Álgebra de Boole)
• ofreció a los operadores:
• Y
• O
• No
Augustus De Morgan 1806-1871 • declaró formalmente las leyes de la teoría de conjuntos
Definiciones básicas: teoría de conjuntos
conjunto :
• es una colección de elementos
• Un elemento es un objeto contenido en un conjunto
Subconjunto:
• Si todos los elementos de la serie A está contenido también en la serie B, entonces la serie A es un subconjunto del conjunto B
Subconjunto propio:
• A es un subconjunto propio de B si B tiene más elementos que A hace
conjunto universal
• contiene todos los elementos relevantes para una discusión dada
Notación :
• {} Encierran elementos en conjunto
• ∈ es un elemento de
• Escriba aquí la ecuación. es un subconjunto de (incluye conjuntos iguales)
• es un subconjunto propio de
• no es un subconjunto de
• | tal que
Ejemplos:
• A = {2,4,6,8,10}
• A = {x|x es un número entero positivo <12}
• A = {1, 2, 3, 4}
1 A 6 A
2 A z A • B = {x | x es un número par 10}
2 B 9 B
4 B z B
Relaciones entre subconjuntos
• A = {x | x es entero positivo 8}
el conjunto A contiene: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
• B = {x | x es positivo y par 10}
el conjunto B contiene: 2, 4, 6, 8
• C = {2, 4, 6, 8, 10}
El conjunto C contiene: 2, 4, 6, 8, 10
Relaciones entre subconjuntos:
A A A B A C
B A B B B C
C A C B C C
Conjuntos iguales:
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 4, 2, 3}
A B y B A; por lo tanto, A = B y B = A
A = {1, 2, 2, 3, 4, 1, 2} B = {1, 2, 3, 4}
A B y B A; por lo tanto, A = B y B = A
Cardinalidad de un conjunto
• Se refiere al número de elementos contenidos en un conjunto.
• Un conjunto finito contiene un número de elementos contables.
• Un conjunto infinito contiene elementos como el conjunto de los números naturales.
• Notación: |A| representa la cardinalidad del conjunto A.
Ejemplos:
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} |B| = 6
C = {x | x es un número par 10} |C|= 4
D = {x | x es un número par 10} |D| = 5
Conjuntos con cardinalidad infinita: A = {1, 2, 3, …}
|A|=Infinita
B = {x | x es un punto sobre una línea}
|B|=Infinita
C = {x| x es un punto en un plano}
|C| = Infinita
Conjunto Universal
• Ejemplos:
U = {todos los estudiantes del IPP}
Algunos subconjuntos:
A = {todos los estudiantes de eco energías}
B = {estudiantes de primer año}
C = {estudiantes de segundo año}
Conjunto vacío:
• Cualquier conjunto que no contenga elementos es llamado conjunto vacío.
• El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto incluyéndose a sí mismo.
• notación: { } o
Ejemplos: Ambos conjuntos A y B son vacío
A = {x | x es un Chevrolet Mustang}
B = {x | x es un número positivo 0}
Caso especial: Conjunto de los número reales: • Z representa el conjunto de los enteros
Z+ conjunto de enteros positivos
Z- conjunto de los enteros negativos
• N representa el conjunto de los número naturales
• ℝ representa el conjunto de los números reales
• Q representa el conjutno de los números racionales
• I Representa el conjunto de los número irracionales.
Diagramas de Venn
• Los diagramas de Venn muestran las relaciones entre conjuntos y sus elementos
Conjunto
Universal
conjuntos A y B
Ejemplo 1 diagrama de Venn
conjuntos Elementos
A = {x | x Z+ y x 8} 1 2 3 4 5 6 7 8
B = {x | x Z+; x es par y 10} 2 4 6 8 10
A B
B A
Ejemplo 2 diagrama de Venn
Conjuntos Elementos
A = {x | x Z+ y x 9} 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B = {x | x Z+ ; x es par y 8} 2 4 6 8
A B
B A
A B
Ejemplo 3 diagrama de Venn
Conjuntos Elementos
A = {x | x Z+ ; x es par y 10} 2 4 6 8 10
B = x Z+ ; x is impar y 10 } 1 3 5 7 9
A B
B A
Ejemplo 4 diagrama de Venn
Conjunto
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {1, 2, 6, 7}
B = {2, 3, 4, 7}
C = {4, 5, 6, 7}
A = {1, 2, 6, 7}
B = {2, 3, 4, 7}
C = {4, 5, 6, 7}
!Gracias por su asistencia!
