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Clase 6
10-Febrero-2015
La ley de voltaje de Kirchhoff proporciona una importante relación entre losniveles de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado de una red. En seguida seconsidera la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), la cual proporciona unaigualmente importante relación entre los niveles de corriente en cualquier unión.
La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de lascorrientes que entran y salen de un área, sistema o unión es cero.
En otras palabras
La suma de todas las corrientes que entran en una área, sistema o unión debe serigual a la suma de las corrientes que salen del área, sistema o unión.
En forma de ecuación:
Por ejemplo la figura 1, el área sombreada puede encerrar un sistema entero, unared compleja o simplemente una unión de dos o mas trayectorias.
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Figura 1Presentación de la ley de corriente de Kirchhoff
En cada caso, la corriente que entra debe ser igual a la que sale, de acuerdo con:
𝐼1 + 𝐼4 = 𝐼2 + 𝐼3
4𝐴 + 8𝐴 = 2𝐴 + 10𝐴
12𝐴 = 12𝐴
La aplicación mas común de la ley será en la unión de dos o mas trayectorias deflujo de corriente, como se muestra en la figura 2. Para algunos estudiantes,inicialmente es difícil determinar si una corriente esta entrando o saliendo de launión.
Un enfoque para ayudarlos consiste en
imaginarse que se esta de pie sobre la
unión y tratar las trayectorias de las
corrientes como flechas. Si la flecha
parece dirigirse hacia la persona, como
es el caso para 𝐼1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 ,
entonces la corriente esta entrando a la
unión. Si se ve la cola de la flecha
(desde la unión) al viajar por su
trayectoria alejándose del observador,
la corriente esta saliendo de la unión,
tal es el caso para 𝐼2 𝑦 𝐼3 en la figura 2.Figura 2 Demostración de la ley de corriente de Kirchhoff
Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff a la unión de la figura 2 tenemos que:
En los dos ejemplos siguientes, se puede determinar corrientes desconocidasaplicando la ley de corriente de Kirchhoff. Simplemente recuerde colocar todos losniveles de corriente que entran a una unión a la izquierda del signo de igual, y lasuma de todas las corrientes que salen de la unión a la derecha del signo de igual.
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡
6𝐴 = 2𝐴 + 4𝐴6𝐴 = 6𝐴 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
La analogía del tubo de agua es excelente para aclarar la ley mencionada. Es obvioque la suma total del agua que entra a una unión debe ser igual al total del aguaque salga de los tubos.
En la terminología común, se utiliza por lo regular el término nodo para referirsea una unión de dos o más ramas. Por tanto, este termino se usara con frecuenciaen los análisis subsiguientes.
Ejemplo 1
Determine las corrientes 𝐼3 𝑒 𝐼4 de la figura 3 utilizando la ley de corriente deKirchhoff
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3
Solución
En el nodo 𝑎 tenemos que
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼3
2𝐴 + 3𝐴 = 𝐼3
𝐼3 = 5𝐴
En el nodo 𝑏 tenemos que
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼3 + 𝐼5 = 𝐼4
5𝐴 + 1𝐴 = 𝐼4
𝐼4 = 6𝐴
Ejemplo 2
Determine 𝐼1, 𝐼3, 𝐼4 𝑒 𝐼5 para la red de la figura 4
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4
Solución
En el nodo 𝑎 tenemos que
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2
5𝐴 = 𝐼1 + 4𝐴
Al restar 4𝐴 en ambos lados resulta
5𝐴 − 4𝐴 = 𝐼1 + 4𝐴 − 4𝐴
𝐼1 = 5𝐴 − 4𝐴 = 1𝐴
Solución
En el nodo 𝑏 tenemos que
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼1 = 𝐼3 = 1𝐴
Tal como debe ser, ya que 𝑅1 𝑦 𝑅3 están en serie y la corriente es lamisma en elementos en serie.
En el nodo 𝑐 tenemos que
𝐼2 = 𝐼4 = 4𝐴
Por las mismas razones que para la unión 𝑏
Solución
En el nodo 𝑑 tenemos que
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼3 + 𝐼4 = 𝐼5
1𝐴 + 4𝐴 = 𝐼5
𝐼5 = 5𝐴
Si se encierra la red entera, se encontrara que la corriente que entra es𝐼 = 5𝐴; la corriente neta que sale del extremo derecho es 𝐼5 = 5𝐴. Las
dos corrientes deben ser iguales ya que la corriente neta que entra acualquier sistema debe ser igual a la que sale.
Ejemplo 3
Determine 𝐼3 𝑒 𝐼5 para la red de la figura 5 mediante aplicaciones de la ley decorriente de Kirchhoff
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5
Solución
Observe que como el nodo 𝑏 tiene dos cantidades desconocidas y el nodo𝑎 tiene solo una, debemos aplicar primero la ley de corriente deKirchhoff al nodo 𝑎. El resultado podrá entonces aplicarse al nodo 𝑏
Para el nodo 𝑎 tenemos que
𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼3
4𝐴 + 3𝐴 = 𝐼3
𝐼3 = 7𝐴
Solución
Para el nodo 𝒃 tenemos
𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐼𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐼3 = 𝐼4 + 𝐼5
7𝐴 = 1𝐴 + 𝐼5
𝐼5 = 7𝐴 − 1𝐴 = 6𝐴
Ejemplo 4
Encuentre la magnitud y la dirección de las corrientes 𝐼3, 𝐼4, 𝐼6 𝑒 𝐼7 para la red dela figura 6. Aunque los elementos no están en serie ni en paralelo, la ley decorriente de Kirchhoff se puede aplicar para determinar todas las corrientesdesconocidas.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6
Solución
Considerando el sistema entero, sabemos que la corriente que entra debeser igual a la que sale. Por tanto,
𝐼7 = 𝐼1 = 10𝐴
Como 10 A están entrando al nodo 𝑎 y 12𝐴 están saliendo de él, 𝐼3 debeestar suministrando corriente al nodo.
Se aplica entonces la ley de corriente de Kirchhoff al nodo 𝑎
𝐼1 + 𝐼3 = 𝐼2
10𝐴 + 𝐼3 = 12𝐴
𝐼3 = 12𝐴 − 10𝐴 = 2𝐴
Solución
En el nodo 𝑏, como 12A están entrando y 8A están saliendo, 𝐼4 debe estarsaliendo. Por tanto,
𝐼2 = 𝐼4 + 𝐼5
12𝐴 = 𝐼4 + 8𝐴
𝐼4 = 12𝐴 − 8𝐴 = 4𝐴
En el nodo 𝑐, 𝐼3 esta saliendo con 2 A e 𝐼4 está entrando con 4 A,requiriéndose que 𝐼6 este saliendo. Aplicando la ley de corriente deKirchhoff en el nodo 𝑐,
𝐼4 = 𝐼3 + 𝐼6
4𝐴 = 2𝐴 + 𝐼6
Solución
𝐼6 = 4𝐴 − 2𝐴 = 2𝐴
Como revisión, en el nodo 𝑑
𝐼5 + 𝐼6 = 𝐼7
8𝐴 + 2𝐴 = 10𝐴
10𝐴 = 10𝐴 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
La aplicación de la ley de corriente de Kirchhoff no esta limitada a redesdonde las conexiones internas son conocidas o visibles. Por ejemplo(ejemplo 5) , todas las corrientes del circuito integrado de la figura 7 sonconocidas excepto 𝐼1.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7
Tratando el sistema como un solo nodo, es posible aplicar la ley de corrientede Kirchhoff empleando los siguientes valores para asegurar un listadoexacto de todas las cantidades conocidas:
Al comparar la corriente total de entrada contra la salida se advierteclaramente que 𝐼1 es una corriente de 22 𝑚𝐴 − 17 𝑚𝐴 = 5𝑚𝐴 que sale delsistema.
𝑰𝒊 𝑰𝟎
10 𝑚𝐴 5 𝑚𝐴
4 𝑚𝐴 4 𝑚𝐴
8 𝑚𝐴 2 𝑚𝐴
22𝑚𝐴 6 𝑚𝐴
17 𝑚𝐴
Tal como sugiere su nombre, la regla del divisor de corriente (RDC) determinaracomo se divide entre los elementos la corriente que entra a un conjunto de ramasparalelas.
Para dos elementos en paralelo de igual valor, la corriente se dividirá en formaequitativa.
Para elementos en paralelo con valores diferentes, a menor resistencia, mayorserá la porción de la corriente de entrada.
Para elementos en paralelo de valores diferentes, al corriente se dividirá segúnuna razón igual a la inversa de los valores de sus resistores.
Por ejemplo, si uno de dos resistores en paralelo es lo doble del otro, entonces lacorriente a través del resistor mayor será la mitad de la del otro.
En la figura 8 como 𝐼1 es de 1 𝑚𝐴 y 𝑅1 e seis veces 𝑅3, la corriente a través de 𝑅3debe ser de 6𝑚𝐴 (sin hacer ningún otro calculo incluyendo la corriente total o losniveles de resistencia). Para 𝑅2 la corriente debe ser 2 𝑚𝐴 ya que 𝑅1 es dos veces𝑅2. La corriente total debe ser entonces la suma de 𝐼1, 𝐼2 𝑒 𝐼3 𝑜 9𝑚𝐴. En total, portanto, conociendo solo la corriente por 𝑅1, fue posible encontrar todas las otrascorrientes de la configuración sin conocer nada mas acerca de la red.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠
En redes sólo son dados los valores de los resistores junto con la corriente deentrada, se debe aplicar la regla del divisor de corriente para determinar lasdistintas corrientes de rama. Ello se puede derivar utilizando la red de la figura 9
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
La corriente de entrada 𝐼 es igual a 𝑉/𝑅𝑇, donde 𝑅𝑇 es la resistencia total de lasramas paralelas. Sustituyendo 𝑉 = 𝐼𝑥𝑅𝑥 en la ecuación anterior, donde 𝐼𝑥 se refierea la corriente a través de una rama paralela de resistencia 𝑅𝑥, se tiene:
Que es la forma general para la regla del divisor de corriente.
𝐼 =𝑉
𝑅𝑇=𝐼𝑥𝑅𝑥𝑅𝑇
𝐼𝑥 =𝑅𝑇𝑅𝑋𝐼
En otras palabras la corriente a través de cualquier rama paralela es igual alproducto de la resistencia total de las ramas paralelas y la corriente de entradadividida entra la resistencia de la rama a través de la cual la corriente va a serdeterminada.
Para la corriente 𝐼1
Y para 𝐼2
Y así sucesivamente
𝐼1 =𝑅𝑇𝑅1𝐼
𝐼2 =𝑅𝑇𝑅2𝐼
Para el caso particular de dos resistores en paralelo, como se muestra en la figura10
Figura 10
Desarrollo de una ecuación para división de Corriente entre dos resistores en paralelo.
𝑅𝑇 =𝑅1𝑅2𝑅1 + 𝑅2
𝐼1 =𝑅𝑇𝑅1𝐼 =
𝑅1𝑅2𝑅1 + 𝑅2𝑅1
𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼2
En otras palabras, para dos ramas paralelas, la corriente a través decualquier rama es igual al producto del otro resistor paralelo y lacorriente de entrada dividido entre la suma (no la resistencia total enparalelo) de las dos resistencias en paralelo.
Ejemplo 7
Determine la corriente 𝐼2 para la red de la figura 11 usando la regla deldivisor de corriente
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 11
Solución
𝐼2 =𝑅1𝐼𝑠
𝑅1+𝑅2=4𝑘Ω 6𝐴
4𝑘Ω+8𝑘Ω=4
126𝐴 =
1
36𝐴 = 2𝐴
Ejemplo 8
Encuentre la corriente 𝐼1 para la red de la figura
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12
Solución
Hay dos opciones para resolver este problema. En primer lugar, utilizar
la ecuación 𝐼𝑥 =𝑅𝑇
𝑅𝑠𝐼 como sigue:
1
𝑅𝑇=1
6Ω+1
24Ω+1
48Ω= 0.1667𝑆 + 0.0417𝑆 + 0.0208𝑆 = 0.2292𝑆
Y
𝑅𝑇 =1
0.2292𝑆= 4.363Ω
Y con
𝐼1 =𝑅𝑇
𝑅1𝐼 =4.363Ω
6Ω42𝑚𝐴 = 30.54𝑚𝐴
Solución
La segunda opción es aplicar la ecuación 𝐼1 =𝑅2𝐼
𝑅1+𝑅2después de combinar
𝑅2 𝑦 𝑅3 como sigue:
24Ω||48Ω =24Ω 48Ω
24Ω+48Ω= 16Ω
Esto implica que
𝐼1 =16Ω 42𝑚𝐴
16Ω+6Ω= 30.54𝑚𝐴
Ambas opciones generaron la misma respuesta; por ello, en cálculosfuturos que impliquen mas de dos resistores en paralelo puede elegirsecualquiera de las dos.
