Clase 6

10-Febrero-2015

El método de análisis de mallas simplemente elimina la necesidad desustituir los resultados de la ley de corriente de Kirchhoff en lasecuaciones derivadas a partir de la ley de voltaje de Kirchhoff. Esto secumple ahora en la escritura inicial de las ecuaciones. El enfoquesistemático descrito a continuación deberá seguirse al aplicar estemétodo.

1.- Asigne una corriente diferente en el sentido de las manecillas delreloj a cada lazo cerrado e independiente de la red. No esabsolutamente necesario elegir el sentido de las manecillas del relojpara cada corriente de lazo. De hecho es posible elegir cualquierorientación para cada corriente de lazo sin perdida de precisión;siempre y cuando los pasos restantes se sigan de forma adecuada. Sinembargo al elegir el sentido de las manecillas del reloj como unestándar, es posible desarrollar un método abreviado para escribir lasecuaciones requeridas que ahorrar el tiempo y posiblemente contribuiráa evitar algunos errores.

2.- Indique las polaridades dentro de cada lazo para cada resistor segúnlo determine la dirección asumida para la corriente de lazo en ese lazo.Advierta el requisito de que las polaridades se coloquen dentro de cadalazo.

3.- Aplíquela ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerradoen el sentido de las manecillas del reloj para establecer uniformidad ycomo preparación para el método que se esta trabajando ahora.

3a.- Si un resistor cuenta con dos o mas corrientes asumidas a través deel la corriente total por el será la corriente asumida del lazo en el quese este aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, mas las corrientesasumidas de los otros lazos que lo cruzan en la misma dirección, menoslas corrientes asumidas que van en dirección opuesta.

3b.- La polaridad de la fuente de voltaje no se ve afectada por ladirección asignada a las corrientes de lazo.

4.- Resuelva las ecuaciones lineales simultaneas resultantes para lascorrientes de lazo asumidas.

Problema 1

Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:

Solución

Paso 1

Las polaridades de las corrientes ya están asignadas, así como las caídas de tensión encada elemento.

Paso 2

La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de lasmanecillas del reloj.

Lazo 1 : +𝐸1 − 𝑉1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en elpunto a)

+5𝑉 − 1Ω 𝐼1 − 6Ω

𝐼1 − 𝐼2

𝐼2 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 6Ω𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝐼1

− 10𝑉 = 0

Solución

Lazo 2 : 𝐸2 − 𝑉2 − 𝑉3 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en elpunto b)

+10𝑉 − 6Ω 𝐼2 − 𝐼1 − 2Ω 𝐼2 = 0

Las ecuaciones se vuelven a escribir como:

5 − 𝐼1 − 6𝐼1 + 6𝐼2 − 10 = 010 − 6𝐼2 + 6𝐼1 − 2𝐼2 = 0

−7𝐼1 + 6𝐼2 = 5+6𝐼1 − 8𝐼2 = −10

Solución

Paso 4

𝐼1 =5 6

−10 −8−7 66 −8

=−40+60

56−36=

20

20= 1𝐴

𝐼2 =−7 56 −10−7 66 −8

=70−30

56−36=

40

20= 2𝐴

Solución

Debido a que 𝐼1 𝑒 𝐼2 son positivas y fluyen en direcciones

opuestas a través del resistor de 6Ω y la fuente de 10V, la

corriente total en esta rama es igual a la diferencia de las dos

corrientes en la dirección de la mas grande.

𝐼2 > 𝐼1 2𝐴 > 1𝐴

Solución

Por tanto

𝐼𝑅2 = 𝐼2 − 𝐼1 = 2𝐴 − 1𝐴 = 1𝐴 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐼2

Problema 2

Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:

Solución

Las polaridades ya esta indicadas .

Paso 1 La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado

Lazo 1:

−𝐸1 − 𝐼1𝑅1 − 𝐸2 − 𝑉2 = 0 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎)

−6𝑉 − 2Ω 𝐼1 − 4𝑉 − 4Ω 𝐼1 − 𝐼2 = 0

Lazo 2:

−𝑉2 − 𝐸2 − 𝑉3 − 𝐸3 = 0 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑏)

− 4Ω 𝐼1 − 𝐼2 + 4𝑉 − 6Ω 𝐼2 − 3𝑉 = 0

Solución

Lo cual se puede escribir como

−10 − 4𝐼1 − 2𝐼1 + 4𝐼2 = 0−1 + 4𝐼1 − 4𝐼2 − 6𝐼2 = 0

−6𝐼1 + 4𝐼2 = +10+4𝐼1 − 10𝐼2 = −1

O mediante la multiplicación superior por -1, se obtiene

6𝐼1 − 4𝐼2 = −104𝐼1 − 10𝐼2 = −1

Solución

Paso 2

𝐼1 =−10 −4−1 −106 −44 −10

=100−4

−60+16=

96

−44= −2.182𝐴

𝐼2 =6 −104 −16 −44 −10

=−6+40

−60+16=

34

−44= −0.733𝐴

Solución

La corriente en el resistor de 4Ω y en la fuente de 4V para el lazo 1 es:

𝐼1 − 𝐼2 = −2.182𝐴 − −0.773𝐴 = −2.182𝐴 + 0.773𝐴

𝐼1 − 𝐼2 = −1.409𝐴

Mostrando que son 1.409A en dirección opuesta (debido al signo menos)

a 𝐼1 en el lazo 1.

Solucion

Primero se definen las corrientes de malla para la red, como se muestra en la figura A

. Luego la fuente de corriente se elimina mentalmente como se muestra en la figura B,

y se aplica la ley de voltaje de Kirchhoff a la red resultante. La trayectoria sencilla

que ahora incluye los efectos de las dos corrientes de malla se denomina trayectoria

de una corriente de supermalla.

En ocasiones existirán fuentes de corriente dentro de la red a la cual se aplicara el

análisis de mallas. En tales casos es posible convertir la fuente de corriente a fuente

de voltaje (si se encuentra presente un resistor en paralelo) y continuar como antes o

utilizar una corriente de supermalla y proceder de la siguiente forma.

Se empieza como antes y se asigna una corriente de malla a cada trayectoria (lazo)

independiente, incluyendo las fuentes de corriente, como si fueran resistores o fuentes

de voltaje. Luego mentalmente (se vuelve a trazar la red si es necesario) se eliminan

las fuentes de corriente (reemplazandolas con equivalentes de circuito abierto), y se

aplica la ley de voltaje de Kirchhoff a todas las trayectorias independientes restantes

de la red utilizando a las corrientes de malla que se acaban de definir.

Cualquier trayectoria resultante, que incluya dos o mas corrientes de malla, se dice

ser la trayectoria de una corriente de supermalla. Luego se relacionan las corrientes

de malla elegidas de la red con las fuentes de corriente independientes de la red, y se

resuelve para las corrientes de malla.

Problema 3

Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguientefigura

Solucion

Figura A

Solucion

Figura B

Solucion

Al aplicar la ley de Kirchhoff

20𝑉 − 𝐼1 6Ω − 𝐼1 4Ω − 𝐼2 2Ω + 12𝑉 = 0

O bien

10𝐼2 + 2𝐼2 = 32

Solucion

El nodo a se utiliza entonces para relacionar las corrientes de malla y la fuente de

corriente por medio de la ley de corriente de Kirchhoff

𝐼1 = 𝐼 + 𝐼2

El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas

10𝐼2 + 2𝐼2 = 32𝐼1 − 𝐼2 = 4

Solucion

Al aplicar los determinantes

𝐼1 =32 24 −110 21 −1

=32 −1 − 2 4

10 −1 − 2 1=

40

12= 3.33𝐴

E 𝐼2 = 𝐼1 − 𝐼 = 3.33𝐴 − 4𝐴 = −0.67𝐴

Solucion

En el análisis anterior, podría parecer que 𝐼1 = 𝐼2 cuando la

fuente de corriente fue eliminada. Sin embargo, el método de

supermalla requiere que se siga la definición original de cada

corriente de malla y no se alteren esas definiciones cuando se

elimina las fuentes de corriente.

Problema 4

Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguientefigura

Solucion

Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se

eliminan, y la trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.

Solucion

Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se

eliminan, y la trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.

Solucion Figura A

Solucion Figura B

Solucion

Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de la trayectoria de la supermalla:

−𝑉2Ω − 𝑉6Ω − 𝑉8Ω = 0

− 𝐼2 − 𝐼1 2Ω − 𝐼2 6Ω − 𝐼2 − 𝐼3 8Ω = 0

−2𝐼2 + 2𝐼1 − 6𝐼2 − 8𝐼2 + 8𝐼3 = 0

2𝐼1 − 16𝐼2 + 8𝐼3 = 0

Solucion

Al introducir la relación entre las corrientes de malla y las fuentes de corriente:

𝐼1 = 6𝐴

𝐼3 = 8𝐴

Da por resultado las siguientes soluciones

2𝐼1 − 16𝐼2 + 8𝐼3 = 0

2 6𝐴 − 16𝐼2 + 8 8𝐴 = 0

Solucion

E 𝐼2 =76𝐴

16= 4.75𝐴

Entonces:

𝐼2Ω ↓= 𝐼1 − 𝐼2 = 6𝐴 − 4.75𝐴 = 1.25𝐴

𝐼8Ω ↓= 𝐼3 − 𝐼2 = 8𝐴 − 4.75𝐴 = 3.25𝐴

Solucion

Nuevamente, observe que debe seguir con las definiciones

originales de las distintas corrientes de malla al aplicar la

ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de las trayectorias de

supermalla resultantes.